广东省佛山市2025届高三下学期二模数学试卷（Word版附解析）

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2025.4
本试卷共4页，19小题.满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1. 答卷前，考生务必要填涂答题卷上的有关项目.
2. 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.
3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.
4. 请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 复数（ ）
A. B. 25C. D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】应用复数的乘法化简求值.
【详解】.
故选：B
2. 已知集合，，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】应用集合的并运算求集合即可.
【详解】由题设.
故选：B
3. 已知向量，，若，则实数（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】先利用线性运算坐标公式求得，然后利用向量垂直的坐标运算列式求解即可.
【详解】因为，，所以.
若，则，所以，解得.
故选：A
4. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C：的周长为（ ）
A. 12B. 14C. 16D. 20
【答案】D
【解析】
【分析】曲线C：去绝对值得四条线段，然后根据距离公式分别求出四条线段的长度，即可得解.
【详解】曲线C：等价于或或或.
对于表示以和为顶点线段，其长度为，
对于表示以和为顶点线段，其长度为，
对于表示以和为顶点线段，其长度为，
对于表示以和为顶点线段，其长度为，
所以曲线C：的周长为.
故选：D
5. 若，则（ ）
A. －1B. 0C. 1D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用正切和角公式得到，展开要求式子，再代入求出答案.
【详解】因为，则，
则，
所以，则，
所以.
故选：D.
6. 学校举办篮球赛，将6支球队平均分成甲、乙两组，则两支最强的球队被分在不同组的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意结合排列组合公式和古典概型计算公式确定满足题意的概率值即可.
【详解】由题意可知，两支最强的球队被分在不同组的分组组数为：，
所有的分组组数为：，
结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：.
故选：C.
7. 已知函数，命题p：是奇函数，命题q：在上是减函数，则p是q的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇函数的性质求参数值，结合指数等相关的函数性质判断的区间单调性判断充分性；根据的单调性，结合指数等相关的函数性质求参数判断必要性，即可得.
【详解】若的奇函数，则，即恒成立，
所以，则，在上单调递增，
所以在上是减函数，充分性成立；
若在上是减函数，在上单调递增，
所以，故，此时不一定有，必要性不成立；
所以p是q充分不必要条件.
故选：A
8. 已知球O的表面积为，球面上有A，B，C，D四点，，，与平面所成的角均为，若是正三角形，则（ ）
A. B. C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由题意三棱锥为正三棱锥，则正三棱锥的外接球的球心在高线上，作出图形，根据外接球的表面积求出外接球半径为，，根据线面角的定义得，根据勾股定理列出关于的等式，解出的值，即可得解.
【详解】由题意三棱锥为正三棱锥，球O为该正三棱锥的外接球，设其半径为，
因为球O的表面积为，所以，设，即正的边长为，
取中点，连接，作，根据正三棱锥的性质可知球心O在上，
如下图所示：
根据线面角的定义知，则，因为，，
所以，在中，，
所以，解得或，即.
（若球心O在的延长线上时，，求得，此时）
故选：D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 最小正周期为B. 是奇函数
C. 在上单调递增D. 最大值为1
【答案】BD
【解析】
【分析】根据三角函数的性质确定的关系判断A；应用奇偶性定义判断B；由特殊值判断C；由，应用换元法及分式不等式的性质求函数的值域判断D.
【详解】由，显然不是的周期，A错；
由的定义域为R，且，所以为奇函数，B对；
由解析式，易得，显然在上不是单调递增，C错；
由，
令，则，且，
若，则，又在、上都单调递减，
在上，，在上，，
所以的最大值为1，D对.
故选：BD
10. 市场监督管理局对9家工厂生产的甲、乙产品进行抽查评分，且得分的平均数分别为77、60，其中A工厂生产的产品得分如下表：
则在此次抽查评分中（ ）
A. 9家工厂甲产品得分的中位数一定小于平均数
B. 9家工厂乙产品得分的中位数一定大于平均数
C. 9家工厂甲产品得分中一定存在极端高分数（高于平均数10分以上）
D. 9家工厂乙产品得分中一定存在极端低分数（低于平均数10分以上）
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据中位数的定义及已知判断A、B；找到一个特殊数据判断C；假设乙产品所有评分都为66分，结合平均数得差值，即可判断D.
【详解】对于甲乙产品，9家工厂抽查评分从低到高的第5位是中位数，
由75分是甲产品按高分到低分的第4位，即从低到高的第6位，故中位数小于等于75分，
由66分是乙产品按高分到低分的第6位，即从低到高的第4位，故中位数大于等于66分，
又甲、乙得分的平均数分别为77分、60分，A、B对；
甲产品评分可以为，此时不存在极端高分数，C错；
对于乙产品，假设所有评分都为66分，则分，
所以从低到高的前3个评分平均比66分低18分，故必存在极端低分数，D对.
故选：ABD
11. 圆C过抛物线：上的两点、，则（ ）
A. 圆C面积的最小值为
B. 圆C与抛物线的公共点个数为2或4
C. 若圆C与抛物线还有另外两个交点P、Q，则P、Q的纵坐标之和为2
D. 若圆C与抛物线还有另外两个交点P、Q，则直线PQ的斜率为2
【答案】ACD
【解析】
【分析】由已知求得抛物线的方程，对于A，圆C以为直径时，圆的面积最小，求出半径，可得圆C的面积；对于B，写出过、、的圆C的方程，与抛物线方程联立，消元后的方程有3个解，则B错误；对于D，写出直线的方程，设出直线的方程为，设出过、P、Q的曲线方程，由方程中的系数为0，可求得直线PQ的斜率的值；对于C，由直线的方程与联立，消元后利用韦达定理可得P、Q的纵坐标之和.
【详解】因为点在抛物线：上，
所以，解得，所以抛物线的方程为，
对于A，因为圆C过抛物线上两点、，
则以为直径时，圆的面积最小，半径，
此时圆C的面积为，故A正确；
对于B，过、、的圆C的方程为，
与联立，得，
所以或，解得或，
则圆C与抛物线的公共点为，个数为3，故B错误；
对于D，直线的方程为，
由已知可知直线的斜率存在，设为，
则直线的方程设为，
设过、P、Q的曲线方程为，
方程左边的系数为，
因为、P、Q的曲线方程为圆，
所以，即，故D正确；
对于C，直线的方程为，与联立，
得，设的纵坐标为，则，故C正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题.
12. 焦点分别为，且经过点的双曲线的标准方程为_______.
【答案】
【解析】
【分析】根据双曲线的定义，设双曲线的标准方程，将点坐标代入即可求解.
【详解】由题意得，可设双曲线的标准方程为，
将代入方程可得，
解得或（舍），
从而，，
所以，
故答案为：.
13. 已知的面积为，，，则______.
【答案】2
【解析】
【分析】应用三角形面积公式可得，再由向量数量积的运算律有，结合已知即可得.
【详解】由题设，则，
又，
所以，则，
综上，.
故答案为：2
14. 已知函数，若有三个零点，，，则实数a的取值范围为______；若，则的最大值为______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据解析式画出大致图象，数形结合可得参数范围，进而有，且，，即可得，最后应用导数求最大值.
【详解】根据函数解析式，可得函数大致图象如下，
由有三个零点，则，
由，而，则，
又，则，，
则，且，
对于且，则，
当，，在上单调递增，
当，，在上单调递减，
所以，
综上，最大值.
故答案为：，.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数，.
（1）若曲线在点处的切线与曲线也相切，求a；
（2）若图象恒在图象的上方，求a的取值范围.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）应用导数的几何意义求得切线为，，根据切线重合列方程求参数值；
（2）问题化为在上恒成立，导数研究右侧的最大值，即可得参数范围.
【小问1详解】
由题设，则，则切线为，
由，令，可得且，
则，所以切线为，则，
曲线在点处的切线与曲线也相切，则；
【小问2详解】
由图象恒在图象的上方，则恒成立，
所以在上恒成立，
对应，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
所以，故.
16. 如图，将一个棱长为2的正方体沿相邻三个面的对角线截出多面体，E是的中点.过点C，E，的平面与该多面体的面相交，交线围成一个多边形.
（1）图中画出该多边形（说明作法和理由），并求其面积；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
【答案】（1）作图、理由见解析，多边形面积为；
（2）.
【解析】
【分析】（1）若为的中点，连接，结合正方体的结构易得共面，即得多边形，进而求其面积；
（2）先证平面平面，再求平面与平面的夹角的余弦值即可.
【小问1详解】
若为中点，连接，显然，
所以共面，即交线围成的多边形为，
由题意，为等腰梯形，且，，
所以.
【小问2详解】
由正方体的结构特征，易知，
由平面，平面，则平面，
同理得平面，都在平面内，
所以平面平面，
故平面与平面的夹角，即为平面与平面的夹角，
而是棱长为的正四面体，所以.
17. 因部分乘客可能误机，航空公司为减少座位空置损失，会对热门航班售卖超过实际座位数的机票，简称“超售”.已知某次热门航班的信息如下：①票价1000元，有195个座位，航空公司超售了5张票；②每一位乘客准时乘机的概率为，航空公司对误机乘客不予以退费；③对于在超售情况下，如出现满座导致个别旅客不能按原定航班成行，航空公司会让受到影响的乘客乘坐下一趟非热门航班，并赔偿每人500元.
（1）求该次航班不会发生赔偿事件的概率；
（2）航空公司在该次航班的收入记为Y，求.
参考数据：若，则X的分布列部分数据的近似值如下：
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据利用对立事件概率公式和二项分布的概率公式求解即可；
（2）根据实际乘机人数与座位数的关系，确定收入Y的取值，根据二项分布概率公式结合题目给的数值及期望公式求解即可.
【小问1详解】
由每一位乘客准时乘机的概率为，得每一位乘客误机的概率为，航班不会发生赔偿事件，
即实际乘机人数不超过195人，也就是误机的乘客至少5人，设误机人数为，则，
所以该次航班不会发生赔偿事件的概率为
；
【小问2详解】
设实际乘机人数为，则，当误机人数时，
该次航班的收入元，其概率为；
当误机人数时，有人乘机，需要赔偿人，
该次航班的收入元，其概率为；
当误机人数时，有人乘机，需要赔偿人，
该次航班的收入元，其概率为；
当误机人数时，有人乘机，需要赔偿人，
该次航班的收入元，其概率为；
当误机人数时，有人乘机，需要赔偿人，
该次航班的收入元，其概率为；
当误机人数时，有人乘机，需要赔偿人，
该次航班的收入元，其概率为；
所以
元
18. 在等差数列和等比数列中，和是下表第i行中的数（），且，，中的任何两个数不在同一列，，，中的任何两个数也不在同一列.
（1）请问满足题意的数列和各有多少个？写出它们的通项公式（无需说明理由）；
（2）若的公比为整数，且.数列满足，求的前n项和.
【答案】（1）满足题意的数列有4个，分别为，，，；满足题意的数列有2个，分别为，；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差数列、等比数列的性质及题目中的数据分别求出数列的通项公式，即可解答；
（2）结合（1）求出，裂项为，利用裂项相消法求和即可.
【小问1详解】
对于等差数列，设公差为d，
当时，则，所以，
当时，则，所以，
当时，则，所以，
当时，则，所以，
满足题意的数列有4个，分别为，，，；
对于等比数列，设公比为q，
当时，则，所以，
当时，则，所以，
满足题意的数列有2个，分别为，；
【小问2详解】
因为的公比为整数，由（1）知，则，所以，
所以，所以，
所以，
所以的前n项和.
19. 对于椭圆：上的任意两点P，Q定义“”运算满足：过点作直线直线（规定当P和Q相同时，直线就是在点P处的切线），若l与有异于S的交点T，则；否则.已知“”满足交换律和结合律，记.
（1）若，，求，以及；
（2）对于上的四点，，，，求证：的充要条件是；
（3）是否存在异于S的点P，使得？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1），，；
（2）证明见解析； （3）存在，为或或.
【解析】
【分析】（1）依次写出过的相关直线，联立椭圆求交点，根据题设定义求，以及即可；
（2）应用向量的坐标表示及三角恒等变换得，同理得，根据向量平行的坐标表示、辅助角公式化简，即可证；
（3）设，，根据平行关系及（2）的结论即可判断存在性并确定点坐标.
【小问1详解】
由题设，直线的斜率为，则过且平行于直线的直线方程，
联立，可得，解得（舍）或，则，
所以，
过且平行于椭圆在点处切线的直线方程为，
联立，可得（舍）或，故，
过且平行于的直线方程为，
联立，可得（舍）或，故，
所以，
过且平行于的直线方程为，
联立，可得（舍）或，故，
过且平行于的直线方程为，
联立，可得，故，
又对于椭圆上任意一点，都有，故，，
所以；
【小问2详解】
由，
，
，
所以，
同理，
故，当且仅当
，
所以，即，得证；
【小问3详解】
设，，
由，点处的切线平行于，
由（2）知，则，
由，所以，则，
由，所以，则，
若，则，即，
所以存在异于S的点P，使得，坐标为或或.分数
名次（按高分到低分排名）
甲产品
75
4
乙产品
66
6
X
0
1
2
3
4
5
6
…
P
0
0
0.002
0.007
0.017
0.036
0.061
…
第一列
第二列
第三列
第四列
第一行
1
2
3
4
第二行
5
6
7
8
第三行
9
10
11
12