湖北省恩施土家族苗族自治州2026年高三下学期第五次调研考试数学试题（含答案解析）

这是一份湖北省恩施土家族苗族自治州2026年高三下学期第五次调研考试数学试题（含答案解析），共100页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知全集为，集合，则，若复数满足，则等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵中，，，当阳马体积的最大值为时，堑堵的外接球的体积为（ ）
A．B．C．D．
2．曲线上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ）
A．3B．2C．D．1
3．如图，矩形ABCD中，，，E是AD的中点，将沿BE折起至，记二面角的平面角为，直线与平面BCDE所成的角为，与BC所成的角为，有如下两个命题：①对满足题意的任意的的位置，；②对满足题意的任意的的位置，，则( )

A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立
C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立
4．在长方体中，，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知全集为，集合，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知边长为4的菱形，，为的中点，为平面内一点，若，则（ ）
A．16B．14C．12D．8
8．已知正项等比数列中，存在两项，使得，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
9．若复数满足，则( )
A．B．C．D．
10．已知函数满足当时，，且当时，；当时，且).若函数的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．若函数在时取得极值，则（ ）
A．B．C．D．
12．在钝角中，角所对的边分别为，为钝角，若，则的最大值为（ ）
A．B．C．1D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设复数满足,则_________.
14．已知以x±2y =0为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的标准方程为________.
15．四边形中，，，，，则的最小值是______.
16．不等式对于定义域内的任意恒成立，则的取值范围为__________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知抛物线的准线过椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点F，且点F到直线l：（c为椭圆焦距的一半）的距离为4.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过点F做直线与椭圆C交于A，B两点，P是AB的中点，线段AB的中垂线交直线l于点Q.若，求直线AB的方程.
18．（12分）已知函数.
（Ⅰ）若是第二象限角，且，求的值；
（Ⅱ）求函数的定义域和值域.
19．（12分）已知都是各项不为零的数列，且满足其中是数列的前项和，是公差为的等差数列．
（1）若数列是常数列，，，求数列的通项公式；
（2）若是不为零的常数），求证：数列是等差数列；
（3）若（为常数，），．求证：对任意的恒成立．
20．（12分）设函数f（x）=ax2–a–lnx，g（x）=，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：当x＞1时，g（x）＞0；
（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立.
21．（12分）已知椭圆，点，点满足（其中为坐标原点），点在椭圆上.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的右焦点为，若不经过点的直线与椭圆交于两点.且与圆相切.的周长是否为定值?若是，求出定值；若不是，请说明理由.
22．（10分）如图在棱锥中，为矩形，面，
（1）在上是否存在一点，使面，若存在确定点位置，若不存在，请说明理由；
（2）当为中点时，求二面角的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
利用均值不等式可得,即可求得,进而求得外接球的半径,即可求解.
【详解】
由题意易得平面,
所以,
当且仅当时等号成立,
又阳马体积的最大值为,
所以,
所以堑堵的外接球的半径,
所以外接球的体积,
故选:B
本题以中国传统文化为背景,考查四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不等式的应用,体现了数学运算、直观想象等核心素养.
2．A
【解析】
根据题意，求导后结合基本不等式，即可求出切线斜率，即可得出答案.
【详解】
解：由于，根据导数的几何意义得：
，
即切线斜率，
当且仅当等号成立，
所以上任意一点处的切线斜率的最小值为3.
故选：A.
本题考查导数的几何意义的应用以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.
3．A
【解析】
作出二面角的补角、线面角、线线角的补角，由此判断出两个命题的正确性.
【详解】
①如图所示，过作平面，垂足为，连接，作，连接.
由图可知，，所以，所以①正确.
②由于，所以与所成角，所以，所以②正确.
综上所述，①②都正确.
故选：A
本题考查了折叠问题、空间角、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
4．C
【解析】
在长方体中， 得与平面交于，过做于，可证平面，可得为所求解的角，解，即可求出结论.
【详解】
在长方体中，平面即为平面，
过做于，平面，
平面，
平面，为与平面所成角，
在，
，
直线与平面所成角的余弦值为.
故选:C.
本题考查直线与平面所成的角，定义法求空间角要体现“做”“证”“算”，三步骤缺一不可，属于基础题.
5．A
【解析】
由已知可得，根据二倍角公式即可求解.
【详解】
角的顶点与原点重合，始边与轴的正半轴重合，
终边经过点，则，
.
故选：A.
本题考查三角函数定义、二倍角公式，考查计算求解能力，属于基础题.
6．D
【解析】
对于集合,求得函数的定义域,再求得补集；对于集合,解得一元二次不等式,
再由交集的定义求解即可.
【详解】
,
,.
故选:D
本题考查集合的补集、交集运算,考查具体函数的定义域,考查解一元二次不等式.
7．B
【解析】
取中点，可确定；根据平面向量线性运算和数量积的运算法则可求得，利用可求得结果.
【详解】
取中点，连接，
，，即.
，，
，
则.
故选：.
本题考查平面向量数量积的求解问题，涉及到平面向量的线性运算，关键是能够将所求向量进行拆解，进而利用平面向量数量积的运算性质进行求解.
8．C
【解析】
由已知求出等比数列的公比，进而求出，尝试用基本不等式，但取不到等号，所以考虑直接取的值代入比较即可.
【详解】
，，或（舍）.
，，.
当，时；
当，时；
当，时，，所以最小值为.
故选:C.
本题考查等比数列通项公式基本量的计算及最小值，属于基础题.
9．C
【解析】
化简得到，，再计算复数模得到答案.
【详解】
，故，
故，.
故选：.
本题考查了复数的化简，共轭复数，复数模，意在考查学生的计算能力.
10．C
【解析】
先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可.
【详解】
先作出函数在上的部分图象，再作出关于原点对称的图象，
如图所示，当时，对称后的图象不可能与在的图象有3个交点；
当时，要使函数关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，
则，解得.
故选：C.
本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题.
11．D
【解析】
对函数求导，根据函数在时取得极值，得到，即可求出结果.
【详解】
因为，所以，
又函数在时取得极值，
所以，解得.
故选D
本题主要考查导数的应用，根据函数的极值求参数的问题，属于常考题型.
12．B
【解析】
首先由正弦定理将边化角可得，即可得到，再求出，最后根据求出的最大值；
【详解】
解：因为，
所以
因为
所以
，即，，
时
故选：
本题考查正弦定理的应用，余弦函数的性质的应用，属于中档题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．.
【解析】
利用复数的运算法则首先可得出，再根据共轭复数的概念可得结果.
【详解】
∵复数满足，
∴，∴，
故而可得，故答案为.
本题考查了复数的运算法则，共轭复数的概念，属于基础题．
14．
【解析】
设双曲线方程为，代入点，计算得到答案.
【详解】
双曲线渐近线为，则设双曲线方程为：，代入点，则.
故双曲线方程为：.
故答案为：.
本题考查了根据渐近线求双曲线，设双曲线方程为是解题的关键.
15．
【解析】
在中利用正弦定理得出，进而可知，当时，取最小值，进而计算出结果.
【详解】
，
如图，在中，由正弦定理可得，
即，故当时，取到最小值为.
故答案为：.
本题考查解三角形，同时也考查了常见的三角函数值，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题．
16．
【解析】
根据题意，分离参数，转化为只对于内的任意恒成立，令，则只需在定义域内即可，利用放缩法，得出，化简后得出，即可得出的取值范围.
【详解】
解：已知对于定义域内的任意恒成立，
即对于内的任意恒成立，
令，则只需在定义域内即可，
，
，当时取等号，
由可知，，当时取等号，
，
当有解时，
令，则，
在上单调递增，
又，，
使得，
，
则，
所以的取值范围为.
故答案为：.
本题考查利用导数研究函数单调性和最值，解决恒成立问题求参数值，涉及分离参数法和放缩法，考查转化能力和计算能力.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）；（2）或.
【解析】
（1）由抛物线的准线方程求出的值，确定左焦点坐标，再由点F到直线l：的距离为4，求出即可；
（2）设直线方程，与椭圆方程联立，运用根与系数关系和弦长公式，以及两直线垂直的条件和中点坐标公式，即可得到所求直线的方程.
【详解】
（1）抛物线的准线方程为，
，直线，点F到直线l的距离为，
，
所以椭圆的标准方程为；
（2）依题意斜率不为0，又过点，设方程为，
联立，消去得，，
，设，
，
，
，
线段AB的中垂线交直线l于点Q，所以横坐标为3，
，，
，平方整理得，
解得或（舍去），，
所求的直线方程为或.
本题考查椭圆的方程以及直线与椭圆的位置关系，要熟练应用根与系数关系、相交弦长公式，合理运用两点间的距离公式，考查计算求解能力，属于中档题.
18．（Ⅰ）（Ⅱ）函数的定义域为，值域为
【解析】
（1）由为第二象限角及的值，利用同角三角函数间的基本关系求出及的值，再代入中即可得到结果.
（2）函数解析式利用二倍角和辅助角公式将化为一个角的正弦函数，根据的范围，即可得到函数值域.
【详解】
解：（1）因为是第二象限角，且，
所以.
所以，
所以.
（2）函数的定义域为.
化简，得
，
因为，且，，
所以，
所以.
所以函数的值域为.
（注：或许有人会认为“因为，所以”，其实不然，因为.）
本题考查同角三角函数的基本关系式，三角函数函数值求解以及定义域和值域的求解问题，涉及到利用二倍角公式和辅助角公式整理三角函数关系式的问题，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于常考题型.
19．（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.
【解析】
(1)根据,可求得,再根据是常数列代入根据通项与前项和的关系求解即可.
(2)取,并结合通项与前项和的关系可求得再根据化简可得,代入化简即可知,再证明也成立即可.
(3)由(2) 当时,,代入所给的条件化简可得,进而证明可得,即数列是等比数列.继而求得,再根据作商法证明即可.
【详解】
解：
．
是各项不为零的常数列,
则,
则由,
及得,
当时,,
两式作差,可得．
当时,满足上式,
则；
证明：,
当时,,
两式相减得：
即．
即．
又,
,
即．
当时,,
两式相减得：．
数列从第二项起是公差为的等差数列．
又当时,由得,
当时,由,得．
故数列是公差为的等差数列；
证明：由,当时,
,即,
,
,即,
即
,
当时,即．
故从第二项起数列是等比数列,
当时,．
．
另外,由已知条件可得,
又,
,
因而．
令,
则．
故对任意的恒成立．
本题主要考查了等差等比数列的综合运用,需要熟练运用通项与前项和的关系分析数列的递推公式继而求解通项公式或证明等差数列等.同时也考查了数列中的不等式证明等,需要根据题意分析数列为等比数列并求出通项,再利用作商法证明.属于难题.
20．（Ⅰ）当时，