湖北省恩施土家族苗族自治州高级中学2025届高三下学期高考考前模拟练习（一） 数学试题（含解析）

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一、单选题
1．在复平面内，点对应的复数为，则实数（ ）
A．B．C．1D．2
2．命题“，”的否定是（ ）
A．“，”B．“，”
C．“，”D．“，”
3．已知向量与的夹角为，，，则向量在方向上的投影向量的模长为（ ）
A．B．1C．D．2
4．若数列满足，其前项和为，若，则（ ）
A．0B．1C．5D．11
5．若，，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，轴于点，若，，则（ ）
A．3B．C．D．6
7．已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
8．设椭圆的焦点为是椭圆上的一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．锐角三角形中，角所对的边分别是，已知，，，则（ ）
A．B．
C．D．的面积为
10．化学课上，老师带同学进行酸碱平衡测量实验，由于物质的量浓度差异，测量酸碱度值时会造成一定的误差，甲小组进行的实验数据的误差和乙小组进行的实验数据的误差均符合正态分布，其中，，已知正态分布密度函数，记和所对应的正态分布密度函数分别为，，则（ ）
A．
B．乙小组的实验误差数据相对于甲组更集中
C．
D．
11．已知函数的定义域为R，当时，，且对于任意的，都有，则（ ）
A．B．为偶函数
C．当时，D．当时，
三、填空题
12．设长均相等的正三棱柱中，，若三棱锥的体积为，则该正三棱柱的棱长为 ．
13．有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有共八个点，一枚棋子起始位置在点处，每个相邻的两点间称为1步．抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为，则棋子按顺时针方向前进步到另一个点，抛掷两次骰子后，游戏结束．试问游戏结束时棋子回到点处的概率为 ．
14．已知关于的方程有两个实根，则正数的取值范围是 .
四、解答题
15．在压力日益增大的当下，越来越多的人每日的休息时间无法满足缓解压力的需要．某研究小组随机调查了某地工作人员每日的休息时间，其中一周内（含周末）个人平均休息时长如下表所示，实际数据处理及分析中，认为工作日与周休日无差异：
（1）估计该地内所有工作人员的平均休息时长（同一组的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）在被调查的100名工作人员中，有40人表示“近期内压力过大”．利用相应的统计学知识，设在该地的所有工作人员随机调查3人，合理估计表示“近期内压力过大”的人数为，求的分布列和期望．
16．已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）求不等式的解集．
17．如图，直四棱柱中，，，，，点为棱中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求平面与平面夹角的正切值．
18．已知双曲线的左顶点为，右焦点为，是上的两点，线段的中点为．当直线的倾斜角为时，有．
（1）求双曲线的离心率；
（2）若，求直线的一般式方程；
（3）若三点不共线，且，求证：直线过定点．
19．现定义：对于实数，若，则称是和的加比中项；若、则称是和的减比中项．已知数列满足，，且存在正数，使是和的加比中项与减比中项．
（1）若是与的等比中项，求；
（2）数列满足，，且满足是和的减比中项．记数列的前项和为．
（i）求证：是和的减比中项；
（ii）当时，求证：．
参考答案
1．【答案】C
【详解】在复平面内，点对应的复数为，又，
所以，解得.
故选C.
2．【答案】C
【分析】全称量词命题的否定为存在量词命题.
【详解】依题意全称量词命题“，”的否定为：
存在量词命题“，”.
故选C.
3．【答案】A
【详解】，即，
即，解得或（舍去），
则，则向量在方向上的投影向量的模长为.
故选A.
4．【答案】D
【详解】因为，所以数列为等差数列.
设首项为，公差为，
则.
所以.
故选D
5．【答案】B
【详解】因为.
又，所以，.
所以.
所以.
故选B
6．【答案】C
【详解】如图：

不妨设点在第一象限，因为，所以点坐标为：.
又，所以.
所以.
故选C
7．【答案】D
【详解】，
令，得，.
由有且仅有3个零点得：
，化简得.
故选D.
8．【答案】B
【详解】如图：
的外接圆半径：.
设，，所以.
所以.
又，所以.
由得.
又，所以，
又，所以.
故选B
9．【答案】AD
【详解】因为且为锐角三角形，所以.
根据三角形的内角和定理，得：，故A正确.
由余弦定理：得：.
整理得，又，所以，故B错误；
根据正弦定理：，故C错误；
因为，故D正确.
故选AD
10．【答案】AC
【详解】由正态分布密度函数曲线可知，数据的标准差越小，数据越集中在均值附近，峰值越大，反之，标准差越大，数据越分散，峰值越小.
对于两个小组的误差，甲组的标准差，乙组的标准差
显然甲组的标准差更小，故峰值更大，数据相对乙组更集中，故A正确，B错误；
故C正确;
而对于任何正态分布都有
故，故D错误.
故选AC.
11．【答案】ACD
【详解】对于A，令，得，解得，故A正确；
对于B，令，则，所以是奇函数，故B错误；
对于C，当时，，因为当时，，是奇函数，
所以当时，，所以，故C正确；
对于D，设，令，则，
因为，所以，
因为，所以，因此，即在上单调递增，
因为是奇函数，所以在上单调递增，
当时，，故，故D正确.
故选ACD.
12．【答案】3
【详解】如图：
因为，所以分别为，中点.设三棱柱的棱长为.
则.
所以.
13．【答案】
【详解】两次数字和为的有，，，，共个结果，
其中拋次骰子共有种结果，
所以游戏结束时棋子回到点处的概率.
14．【答案】
【详解】由，可得，即，
等价于，变形得，
令函数，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
又因为当时，，时，，
所以若方程有两个实根，由，
只需满足或，
所以正数的取值范围为.
15．【答案】（1）7.27小时；
（2）分布列见解析，数学期望为.
【详解】（1）记这100名工作人员平均每天的睡眠时长为小时，
则（小时），
故估计该地所有工作人员平均每天的睡眠时长为7.27小时.
（2）被调查的100名工作人员中有40名表示“近期压力过大”，
则表示“近期压力过大”的频率为，
由频率估计概率，在该地的所有工作人员中随机调查1名工作人员，表示“近期压力过大”的概率为，故，
则，，
则，，
故其分布列如下表所示：
故期望.
16．【答案】（1）极小值为，无极大值；
（2）
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
当时,,在时为减函数；
当时,,在时为增函数，
所以的极小值为，无极大值.
（2）不等式，
令函数，求导得，
函数在上单调递减，且，由，解得，
所以原不等式的解集为．
17．【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）
【详解】（1）因为，平面，平面，
所以平面.
（2）因为平面，，，
所以两两垂直.
所以可以以为原点，建立如图空间直角坐标系：
则，，，，.
所以，，.
因为：，，
所以，，
且平面，.
所以平面.
（3）又，，.
设平面的法向量为，则：
，可取.
由（2）知：平面的法向量可取.
设平面与平面的夹角为.
则，
所以，.
18．【答案】（1）2
（2）
（3）过定点，证明见解析
【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则，
当直线的倾斜角为时，有，则，
所以，即，此时点的横坐标为，
代入的方程，得，故，即，
因，所以，故，解得，
故的离心率为.
（2）由（1）知，设，，
因为是上的两点，故，
两式相减得：，
若，则直线的斜率不存在，
由双曲线的对称性可知，此时线段的中点位于轴，故不符合题意；
若，则，
因为是线段的中点，所以，，
则，
所以直线的方程为，即，
经检验此时该直线与双曲线有两个交点，满足题意，
则直线的一般式方程为.
（3）由三点不共线，故设直线，
联立，得，
则，，，
因为，且是线段的中点，则，
所以，则，
因，，
所以，
即，
即，
即，
得，解得或，
若，则直线，过点，不符合题意；
若，则直线，满足，则过定点，
则直线过定点.
19．【答案】（1）1
（2）证明见解析.
【详解】（1）由是和的加比中项，得；由是和的减比中项，得，
则，即有，，，而，
因此，由是与的等比中项，得，即，而，
所以.
（2）（i）由是和的减比中项，得，
而，则，于是，令，则，
因此，即，
由（1）知，，，数列是首项为，公比为的等比数列，
则，于是得，
所以是和的减比中项.
（ii）由（i）知，，，，
由，得，，
而，当时，，，因此，
由，得，即，变形得，
因此，
，
所以.
休息时长/小时
5.75~6.25
6.25~6.75
6.75~7.25
7.25~7.75
7.75～8.25
8.25~8.75
人数
5
12
28
36
17
2
0
1
2
3