北京市东城区2026届高三下学期综合练习（一）数学试卷（含解析）

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本试卷共 6 页，150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作
答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
（1）已知集合 ， ，则
（A） （B）
（C） （D）
（2）已知复数 为纯虚数，则实数
（A） （B）
（C） （D）
（3）双曲线 的焦距为
（A） （B）
（C） （D）
（4）在 中，已知 ， ， ，则
（A） （B）
（C） （D）
（5）实数 满足 ， ，则
（A） （B）
（C） （D）
（6）已知 ，则实数
1
（A）1 （B）
（C）2 （D）
（7）已知 为圆 的一条弦，弦 绕点 旋转一周扫过的区域为 .若点
，则 的取值范围为
（A） （B）
（C） （D）
（8）在长方体 中， ， ，则
（A）棱 上存在点 ，使得
（B）棱 上存在点 ，使得
（C）棱 上存在点 ，使得
（D）棱 上存在点 ，使得
（ 9） 已 知 函 数 的 定 义 域 为 ， 对 实 数 ， 设 集 合 ， 集 合
. 那么“ ， ”是 为奇函数”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（10）已知等差数列 和 的前 10 项均为正整数，且公差均不为 0. 若 ，则
的最小值为
（A）15 （B）10
（C）9 （D）5
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第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
（11）已知抛物线 的准线方程为 ，那么 的焦点到准线的距离为
_____.
（12）已知 ，则 可以为________.
（13）设单位向量 满足 . 若 ，则 _____；若 与 的夹角为
，且 ，则实数 _______.
（14）在乐律学中，将一个纯五度音程分成 7 份得到 8 个音级，这 8 个音级的频率构成公比
为 的等比数列 ，则 _____；为研究纯五度音程与纯四度音程的关系，从该
等比数列 中寻找两项 ，使得 最小，则 ______.(参考数据：
)
（ 15） 已 知 函 数 的 定 义 域 为 ， 且 ， 当 时 ，
设 为大于 1 的正整数，给出下列四个结论：
①存在 ，使得 且 ；
②方程 的解的个数为 ；
③若 为方程 的解，则 的最小值为 4；
④对任意有理数 ，存在 ，使得 .
其中正确结论的序号是_______．
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三、解答题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题 13 分）
已知函数 .
（Ⅰ）若 ， ，求实数 的值；
（Ⅱ）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使函数 存在且唯一，
求 在区间 上的取值范围．
条件①： ；
条件②： 的最小正周期为 ；
条件③： 的最大值与最小值之和为 0．
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得 分；如果选择多个符合要求的条件分
别解答，按第一个解答计分．
（17）（本小题 14 分）
如图，在四棱锥 中， ， ， ， ，
点 为 的中点， .
（Ⅰ）设平面 平面 ，求证： ；
（Ⅱ）若 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值.
（18）（本小题 13 分）
某种机床运行三个月，需对 A，B，C 这三项指标是否合格进行检测. 现随机抽取 10 台
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机床，对指标检测情况统计如下表. 用“ ”表示该指标不合格，用“ ”表示该指标合格.
机 床
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 指标
设各机床之间相互独立. 用频率估计概率.
（Ⅰ）某台机床运行三个月后，估计这台机床的 A 指标合格的概率；
（Ⅱ）规定 A 指标合格记 1 分，B 指标合格记 2 分，C 指标合格记 2 分；若某项指标不合格，
该项指标记 0 分. 将一台机床的三项指标分数之和作为该机床的评分. 现从全体机床中
随机抽取两台，估计这两台机床评分总和大于 的概率；
（Ⅲ）设随机变量 表示一台机床合格指标的个数. 随机抽取 10 台机床进行检测，记事件
“这 10 台机床中合格指标个数为 0，1，2，3 的机床台数分别为 1，2，3，4”. 判
断 服从下面哪个分布，事件 T 发生的概率更大.（结论不要求证明）
分布 1 分布 2
0 1 2 3 0 1 2 3
（19）（本小题 15 分）
已知椭圆 过点 ，离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过点 作斜率为 的直线 与椭圆 交于 两点，点 不在直线 上，直线
， 分别交直线 于点 ， . 求证：四边形 为平行四边形.
（20）（本小题 15 分）
已知函数 的定义域为 ， ，函数 . 对任意 ，
曲线 在点 处的切线方程为 .
（Ⅰ）求 的最小值；
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（Ⅱ）讨论 的单调性；
（Ⅲ）已知 ，求过点 且与曲线 相切的直线的条数.
（21）（本小题 15 分）
已知正整数数列 ，令 . 给定非负整数 ，若对任意
的 ，都存在正整数 ，且 ，
使得 ，则称数列 具有性质 .
（Ⅰ）直接写出数列 和 是否具有性质 ；
（Ⅱ）若数列 具有性质 ，判断 1，2 能否同时为 中的项，并说明理由；
（Ⅲ）已知 n 为奇数， 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求证：数列
具有性质 .
北京市东城区 2025—2026 学年度第二学期高三综合练习一
数学参考答案及评分标准 2026.4
一、选择题（共 10 小题，每小题4 分，共40 分）
（1 ）D （2）A （ 3 ）D （4）C
（ 5）B
（6）A （ 7）D （ 8）C （ 9）B
（10）B
二、填空题（共5 小题，每小题5 分，共25 分）
（11） （12） （答案不唯一）
（13） （14） （15）②③④
三、解答题（共6 小题，共 85 分）
（16）（共 13 分）
解：
（Ⅰ）因为 ， ，
所以 .
解得 . …………………………………………………………………………………………5 分
（Ⅱ）选择条件①②.
.
因为 的最小正周期为 ，
所以 .
解得 .
，即 .
所以 .
因为 ，所以 ，
所以 .
所以函数 在区间 上的取值范围是 ． ……………………………………………13 分
选择条件②③.
，
因为 的最小正周期为 ，
所以 .
解得 .
的最大值为 ，最小值为 ，
所以最大值与最小值之和为 ，即 .
所以 .
因为 ，所以 ，
所以 .
所以函数 在区间 上的取值范围是 ． ……………………………………………13 分
（17）（共 14 分）
解：（Ⅰ） 因为 ∥ ， 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 .
又因为 平面 ，平面 平面 ，
所以 ∥ . ……………………………………………………………………………5 分
（Ⅱ）取 的中点 ，连接 ，
因为 为 中点，
所以 ∥ .
因为 ，
所以 ，
又因为 平面 ， ， 平面 ，
所以 ， .
如图建立空间直角坐标系 ，
则 , , , , .
因此 ， ， ， .
设平面 的法向量为 ，则 即
令 ，则 ， .于是 .
设平面 的法向量为 ，则 即
令 ，则 ， .于是 .
设平面 与平面 夹角为 ，则 .
平面 与平面 夹角的余弦值为 .……………………………………………14 分
（18）（共 13 分）
解：（Ⅰ）设事件 “这台机床的 指标合格”，
样本中 指标合格的机床有 6 台，
所以 ，
所以“这台机床的各项指标都合格”的概率估计为 . ……………………………………………3 分
（Ⅱ）设事件 “一台机床评分为 5”；
设事件 “一台机床评分为 4”；
则 ， .
这两台机床评分总和大于 8 的概率估计为
. .…………………...…10 分
（Ⅲ）分布 2. …………………………………………………………………………………………………13 分
（19）（共 15 分）
解：（Ⅰ）由题意得 ，解得 ， ．
所以椭圆 的方程为 ． ………………………………………………5 分
（Ⅱ）设直线 的方程为 ．
线段 的中点为 .
由 ，得 ，
设 ， ，
则 ， .
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ．
令 ，得点 ， 的纵坐标分别为所以 ， ．
因为
.
所以线段 与 的中点重合.
所以四边形 为平行四边形． ………………………………………………15 分
（20）（共 15 分）
解：（Ⅰ）由题意知 ， ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
所以当 时，函数 取最小值，故函数 的最小值为 .
因为 ，所以函数 的最小值为 1. ………………………………………………5 分
（Ⅱ）由 ，得 .
设 ，则 .
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增.
所以 的最小值为 .
因为 ，
所以当 时， .
所以函数 在 上单调递增. ………………………………………………10 分
（Ⅲ）因为直线 过点 ，
所以 .
令 ，则 .
由（Ⅱ）可知 .
令 ，得 .
与 的变化情况如下：
＋ 0 －
↗ 极大值 ↘
因为 ，
.
，
所以 在 内有且仅有一个零点 .
所以 在 内共且两个零点 1 与 .
因为 ，
所以过点 且与曲线 相切的直线的条数为 2. ……………………………………15 分
（21）（共 15 分）
（Ⅰ） 数列 不具有性质 ，数列 具有性质 .……………………………………………4 分
（Ⅱ）假设数列 具有性质 ，
由已知 ，
因为 为偶数，
所以 与 同为奇数或同为偶数.
若 1 和 2 均为数列 中的项，
则 与 同为奇数或同为偶数，矛盾.
所以 1，2 不能同时为数列 中的项. ………………………………………………………9 分
（Ⅲ）首先证明去掉 后，存在正整数 ，
使得 .
1）若 .
去掉 后剩余 项，子列 满足
.
2）若 .
子列 满足
.
下证去掉 后，存在正整数 ，
使得 .
令 ，此时剩余 项，记为 ，
且 .
分为 组为 ，其中 .
则每组的差的绝对值为 2 或 4，且至多有一个值为 4.
所以 ，
存在 ， ，
使得 ，
当 时，
此时存在正整数 ，使得 .
当 时，
有
因此存在正整数 ，使得 .
综上，结论成立. …………………………………………………………………………………15 分