2026年江苏扬州中学教育集团树人学校中考模拟数学自编试卷含答案

这是一份2026年江苏扬州中学教育集团树人学校中考模拟数学自编试卷含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C．D．
2．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．嘉嘉同学在物理课中学了密度后，想通过实验测量一枚一元硬币的密度，他找到一枚1999年的一元硬币，测得质量大约是，通过排水法测得体积大约为，计算出了密度约6.65×103kg/m³．将数据用科学记数法可表示为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在上，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．设反比例函数的函数值和自变量的部分对应取值如表所示：
则，，的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
6．若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在菱形中，，已知的周长是15，则菱形的周长是（ ）
A．25B．20C．15D．10
8．已知直线经过点，将直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为2的相交（圆心O为坐标原点），则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．因式分解：___________．
10．要使分式有意义，则x的取值范围是_______．
11．若一次函数的图像向上平移两个单位后经过点，则代数式的值为____．
12．如图，某公共场所为游客提供的一次性饮水纸杯可视为圆锥，如果该圆锥底面半径为，母线长为，则该圆锥侧面积为____________．
13．已知分别是的内接正十边形和正五边形的边，交于点P，则的度数为________．
14．如图，在平行四边形中，点E在边上，，与交于点O．若的面积为，则为________．
15．《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部，书中第八章内容“方程”里记载了一个有趣的追及问题，可理解为：速度快的人每分钟走100米，速度慢的人每分钟走80米，现在速度慢的人先走100米，速度快的人去追他．设速度快的人用x分钟追上速度慢的人，则可列方程______．
16．如图，在▱中，，相交于点，，．过点作交于点，记长为长为．当的值发生变化时，代数式的值是___________．
17．如图，菱形的对角线，相交于点，，，与交于点F．若，，则菱形的面积为_____．
18．如图，菱形的边长为6，．M为边上一动点，作点C关于的对称点，射线与交于点P，N为的中点，当点M从点C运动到点N过程中，点P运动路径长为______．
三、解答题
19．计算、解方程
(1)
(2)
20．先化简，再求值：，其中．
21．某初级中学数学兴趣小组为了解本校学生的年龄情况，随机抽取了该校部分学生的年龄作为样本，经过数据整理，绘制出如下不完整的统计图．依据相关信息解答以下问题：
(1)写出样本容量 ，并补全条形统计图：
(2)该校被抽取的学生的年龄的众数是 岁，中位数是 岁．
(3)若该校一共有1000名学生．估计该校学生年龄在15岁及以上的人数．
22．百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：，，，）．
下面给出了部分信息：
甲款评分数据中“满意”的数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100．
乙款评分数据中C组包含的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90．
甲、乙款评分统计表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中____________，____________，____________；
(2)（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法，求两人都选择同款聊天机器人的概率．
23．【操作实验】
小珂在物理综合实践课上，用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流的大小，从而控制小灯泡L的亮度，实验电路图如图1所示，已知小灯泡的电阻为（不计温度对灯泡电阻影响），滑动变阻器的电阻为（串联电路中总电阻灯泡电阻滑动变阻器的电阻），通过多次实验，得到以下数据（如表）（电流电压电阻）：
(1)根据实验结果，填空：______， ，根据实验数据直接写出y与x的函数关系式： ；
(2)【初步探究】请在以下平面直角坐标系中，画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质： ；
(3)【深入探究】已知一次函数，结合（2）中函数图象分析，请直接写出当≤时x的取值范围： ．
24．某商店第一次用600元购进一款圆珠笔若干支，第二次又用750元购进同款圆珠笔，两次所购进的数量相同，但第二次每支的进价比第一次多1元．
(1)第一次圆珠笔的进价是多少元？
(2)若这两次购进的圆珠笔按同一价格进行销售，全部销售完毕后获利不低于450元，求每支圆珠笔的售价至少是多少元？
25．如图，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C．点P为第一象限抛物线上的点，连接．
(1)直接写出结果：________，________；
(2)如图1，当时，求点P的坐标；
(3)如图2，点D在y轴负半轴上，，点Q为抛物线上一点，．点E，F分别为的边上的动点，且，求的最小值．
26．如图，是的直径，C为延长线上一点，为切线，D为切点，于点H，交于点E．
(1)判断和的数量关系，并说明理由；
(2)若，，则半径的长为________．
27．如图1，已知二次函数的图象分别与轴交于、B两点，与y轴交于点，连接，作直线．
(1)求抛物线的表达式及点B的坐标；
(2)在直线上方的抛物线上存在一点P，使得，求点P的坐标；
(3)如图2，将原抛物线沿射线方向平移t（）个单位得到新的抛物线，新抛物线与直线交于M、N两点（点M在点N的左侧）．
①在抛物线平移过程中，线段的长度是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出定值并说明理由；
②当时，点Q在平移后的新抛物线上，且点Q在直线上方，点G在线段上，是否存在点Q，使得以M、Q、G为顶点的三角形与相似，如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
28．在中，，，E是线段的中点．
(1)如图1，连接，求证：是等边三角形；
(2)若是的角平分线，点是线段上的一点，以为一边，在的下方作，交延长线于点．试探究，与数量之间的关系，并说明理由；
(3)如图3，，点为直线上的一动点，连接，在下方作等边，则的最小值为__________．
…
…
…
…
设备
平均数
中位数
众数
甲
86
85.5
b
乙
86
a
87
电阻
…
a
2
3
4
6
电流
…
4
3
2
b
《2026年江苏扬州中学教育集团树人学校九年级数学练习卷》参考答案
1．D
【分析】根据同底数幂的乘法，除法，积的乘方及合并同类项运算法则逐一判断即可．
【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、和不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
D、，计算正确，符合题意.
2．A
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐个判断即可．
【详解】解：A中图形既是中心对称图形，又是轴对称图形，符合题意；
B中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
C中图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
D中图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意．
3．C
【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键．将写成其中，n为整数的形式即可．
【详解】解：，故选：C．
4．A
【分析】本题考查了平行线的性质，外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上性质；根据平行线的性质，外角的性质解题即可；
【详解】解：如图：设与相交于点G，
，
，故选：A．
5．A
【分析】本题考查了反比例函数，根据反比例函数定义，利用已知点求比例系数k，再计算各函数值，最后比较大小．
【详解】解：把，，代入，
∴，
解得，
∴ 反比例函数为，
当时，，即；
当时，，即；
当时，，即；
∵ ，
∴，
故选：A．
6．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，先把原方程化为一般式，再利用判别式求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵关于x的方程有实数根，
∴，
解得，
故选：B．
7．B
【分析】根据菱形的性质得到，，可知是等边三角形，进而求出，即可求出菱形的周长．
【详解】解：∵菱形中，，
∴，，
∴是等边三角形，
即，
∵的周长是15，
∴，
∴菱形的周长．
8．B
【分析】此题主要考查直线与圆的关系，关键是根据待定系数法、勾股定理、直线与圆的位置关系等知识解答． 利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．
【详解】解：∵直线经过点，把点代入直线，
得．解得．
将直线向上平移个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为，
设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，(如图所示)
当时，；
当时，．
，，即，．
在中，．
过点O作于D，
，
．
，
由直线与圆的位置关系可知，
．
故选：B．
9．
【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可得答案．
【详解】解：．
10．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得.
11．7
【分析】本题主要考查一次函数图象的平移规律，点与函数图象的关系以及代数式求值，熟练掌握相关知识是解题的关键．
先根据平移规律得到平移后的一次函数解析式，再代入点坐标得到与的等量关系，最后整体代入所求代数式计算即可．
【详解】解：一次函数的图象向上平移个单位长度后，所得函数解析式为
，
由于平移后的图象经过点，
则，
即，
因此，．
12．
【详解】解：因为圆锥体的底面半径为，母线长为，
所以圆锥形纸杯侧面展开图的面积为：．
13．/126度
【分析】此题考查了正多边形和圆的知识，圆周角定理，三角形内角和的应用，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
连接，首先根据正多边形和圆的性质求出，，然后根据圆周角定理得到，，最后根据三角形内角和定理求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
∵分别是的内接正十边形和正五边形的边，
∴，，
∴，，
∴．
故答案为：．
14．9
【分析】先利用平行四边形的性质，得到对边平行且相等，进一步证明，再结合线段比例关系得到相似比，最后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出答案．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，，
，，
．
，
，
，
，
．
15．
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，掌握追及问题中路程相等的原则是解题的关键．
设速度快的人用x分钟追上速度慢的人，根据速度快的人的路程等于速度慢的人的路程与100米的和列方程即可．
【详解】解：设速度快的人用x分钟追上速度慢的人，则速度快的人的路程为米，速度慢的人的路程为先走的100米加上x分钟内走的米，即米，
根据追上时路程相等，可得方程．
故答案为：．
16．8
【分析】作交的延长线于，由平行四边形的性质可得，，证明，得出，表示出，，由勾股定理得出，即可得解．
【详解】解：如图，作交的延长线于，
，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，，，，
∴，
解得，
∴当x，y的值发生变化时，代数式的值是．
17．24
【分析】根据菱形的对角线性质可得、，易证得四边形是矩形，进而得到，再利用勾股定理求出的长，进而得到的长，从而计算菱形的面积．
【详解】解：菱形的对角线，相交于点，
、，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
，
故答案为：24．
18．
【分析】 首先根据菱形性质得出和是等边三角形，从而，说明 A，B，C 在以 D 为圆心的圆上． 然后利用轴对称和等腰三角形性质计算角度，得出 ，确定 P 点轨迹． 最后确定 M 在起点 C 和终点 N 时 P 的位置，计算圆心角和弧长．
【详解】解：连接，，如图所示，
∵四边形是菱形，，
∴，，，
∴和均为等边三角形，
∴，
∴点A，B，C在以D为圆心，6为半径的圆上，
由对称性可知，，，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，
设，则，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴点P在以D为圆心，6为半径的圆上．
当点M在点C时，点P与点C重合．当点M在点N时，N为中点，为等边三角形，
∴，，此时，，
∵，
∴点在上，
∵，
∴点与点D重合，此时射线即为射线，
∵点P在上，
∴，
∴点P在的延长线上，
∵A，D，P共线，，
∴，
∴点P的运动路径长为．
19．(1)
(2),
【分析】（1）利用绝对值、特殊角的三角函数值、零指数幂、二次根式的性质计算后，再计算加减法即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：
∴
则
∴，
∴，
∴,
20．
；
【分析】先根据分式的减法运算化简，再将代入计算即可．
【详解】解：
，
由，则原式．
21．(1)50，见解析
(2)15，14
(3)该校学生年龄在15岁及以上的有400人
【分析】（1）根据12岁的人数除以所占百分比可求样本容量，样本容量乘以14岁所占百分比可求14岁的人数，样本容量减去其它组人数可求16岁的人数；
（2）出现次数最多的数据为众数，先排序，当总数为偶数时，排在中间两个数据的平均数为中位数，据此求解即可；
（3）根据1000乘以学生年龄在15岁及以上所占百分比即可得解．
【详解】（1）解：样本容量为：，
14岁的有：（人），
16岁的有：（人），
补充完整的条形统计图如图所示；
（2）解：由条形统计图可得，众数是15岁，
把这些数从小到大排列，处于中间位置的是第25、26个数的平均数，则中位数是（岁），
（3）解：（人），
答：该校学生年龄在15岁及以上的有400人．
22．(1)，85，20；
(2)
【分析】（1）根据中位数的定义可得a的值，再根据众数的定义可得b的值，然后求出的值，即可得出m的值；
（2）画树状图，共有9种等可能的结果数，其中小明和小红两人都选择同款聊天机器人的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：由条件可知，众数，
∵乙款评分数据中A、B两组共有个数据，
乙款评分数据的中位数为第10个和第11个数据的平均数，这两个数据分别为86、87，
中位数，
∵乙款评分数据在C组人数所占百分比为，
，
．
（2）解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果数，其中小明和小红两人都选择同款聊天机器人的结果有3种，
∴两人都选择同款聊天机器人的概率为．
23．(1)1；；
(2)见解析，当时，y随x的增大而减小
(3)
【分析】（1）根据电流电压电阻，串联电路中总电阻灯泡电阻滑动变阻器的电阻，可得y关于x的关系式，再求出时，x的值和时，y的值即可得到答案；
（2）根据表格中的数据，利用描点法画出函数图象，再根据图象解答即可；
（3）求出两个函数的交点的横坐标，再结合函数图象可得答案．
【详解】（1）解：∵电流电压电阻，串联电路中总电阻灯泡电阻滑动变阻器的电阻，
∴，
当时，，解得，即；
当时，，即；
（2）解：如图所示，即为所求；
由函数图象可知，当时，y随x的增大而减小；
（3）解：当时，解得（已检验）或（已检验），
∴由函数图象可知，当≤时x的取值范围为．
24．(1)4元
(2)至少6元
【分析】（1）设第一次每支圆珠笔的进价是x元，则第二次每支圆珠笔的进价是元，根据两次购进圆珠笔的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）利用数量总价单价可求出第一次购进圆珠笔的数量，进而可得出第二次购进圆珠笔的数量，设每支圆珠笔售价为y元，根据两次购进的圆珠笔全部销售完毕后获利不低于450元，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】（1）解：设第一次每支圆珠笔的进价是x元，则第二次每支圆珠笔的进价是元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解且符合题意．
答：第一次每支圆珠笔的进价是4元；
（2）解：第一次购进圆珠笔的数量为（支），
∴第二次购进圆珠笔150支．
设每支圆珠笔售价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：每支圆珠笔售价至少是6元．
25．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，再求出点坐标，根据正切定义可求出；
（2）过点C作轴，交于点D，过点 P作轴，交y轴于点E，导角证明，再设点P坐标为，根据相似三角形的性质求解即可；
（3）作，且使，连接，证明得到，Q，F，H共线时，的值最小，作于点G，设，则，得到，求出，再利用勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，
∴
解得
∴抛物线解析式为，
当时，，
∴，
∴，，
在中，；
（2）解：如图1，过点C作轴，交于点D，过点 P作轴，交y轴于点E，
∵轴，轴，
∴，
∵，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
设点P坐标为，则 ，
∴，
解得（舍去）或，
∴点P坐标为；
（3）解：如图2，作，且使，连接，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴Q，F，H共线时，的值最小，即为
作于点G，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
∴．
26．(1)，见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质即可得到结论；
（2）设，根据相似三角形的性质得到，根据三角形的中位线定理得到，求得，再证明，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：，理由如下：
证明: 连接，
∵是的直径，
∴，即
∴，
∵为切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
，
设，则
∵，
∴，
，即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是的中位线，
，
∴，
∵，，
∴，
，
，
∴半径的长为．
27．(1)，点的坐标为
(2)点的坐标为或
(3)①不变，定值为，理由见解析
②点的坐标为或或
【分析】(1)根据题意将A,C点坐标代入抛物线表达式即可，然后，令求得的抛物线的表达式的y值为0 ，解一元二次方程即可得到点B的坐标；
(2)过P作轴于E，交于D，首先，求出直线的表达式为，然后，设P点坐标，用含字母的式子表示出的长度，再根据，代入数据解出m值，再代入计算即可；
(3)①首先，根据题意做出辅助线，证得、均为等腰直角三角形，得，再根据题目条件得，联立，得，接着，由根与系数的关系得，，进而得，，最后，得，即可得结论；
②根据题意求得，然后，求出，，再求得，，，，接着，分三种情况作图并进行“分类讨论”，运用相似三角形的性质分别解得答案，再代入计算即可．
【详解】（1）解：把，代入，得
，解得，
∴抛物线的表达式为，
当时，，解得，，
∴点B的坐标为；
（2）解：如图1，过P作轴于E，交于D，
设直线的表达式为，把代入，得
，解得，
∴直线的表达式为，
∵点P在直线上方的抛物线上，
∴设点，则，
∴，
∵，
∴，整理，得，
解得，，
当时，；当时，，
∴点P的坐标为或；
（3）①解：不变，定值为，理由如下：
如图2，过M作x轴的垂线，过N作x轴的平行线，两线交于F，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴原抛物线沿射线方向平移t（）个单位得到新的抛物线，等同于沿x轴向左平移t个单位，再沿y轴向上平移t个单位，
∵，即，
∴，
联立，得，整理，得，
由根与系数的关系得，，
∴，
∴，
∴，故线段的长度不变，定值为；
②解：存在，点Q的坐标为或或，理由如下：
当时，，相当于将原抛物线沿x轴先向左平移2个单位，再沿y轴向上平移2个单位，
∴，即，
∴，
联立，得，整理，得，解得或，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴，，
第一种情况：当时，，如图3，
∴，
∴，
∵，点Q在新的抛物线上，
∴；
第二种情况：(i)当时，得，，
如图4，过G作轴于H，过M作于E，
∵，
∴轴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
∴，整理，得，解得或(舍去)，
当时，，
∴；
(ii)当时，得，如图5，
∴，即，整理，得，解得或(舍去)，
当时，，
∴；
第三种情况：当时，得，
如图7，过Q作轴交于，
由第一种情况可知，
又∵，
∴，
∵点在线段上，
∴点亦可看成点，故与第二种情况求得的点Q相同，
综上，存在，点Q的坐标为或或．
【点睛】掌握二次函数与几何图形的综合运用，能根据抛物线的平移得到新的抛物线，掌握一元二次方程的解法及根与系数的关系的应用，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，并能根据题意进行“分类讨论”是解决问题的关键．
28．(1)见解析
(2)或；理由见解析
(3)
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、含度角的直角三角形的性质．
（1）先证，再证，然后由等边三角形的判定即可得出结论；
（2）分两种情况讨论，当点N在线段上时，延长至点H，使得，连接，根据角平分线的概念和等边三角形的判定，证出是等边三角形，再得出，由此得出，当点N在边上时，同理得出即可；
（3）过点G作于P，与交于点D，连接，过点C作于F，于M，根据等边三角形的性质得出，再由全等三角形的判定得出，得出是的垂直平分线，的最小值就是的长，再由含度角的直角三角形的性质得出，即可求出的值．
【详解】（1）证明：在中，，，
∴，，
∵E是线段的中点，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形．
（2）解：分两种情况：
①当点N在线段上，结论：，理由如下：
如图2所示：延长至点H，使得，连接，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵于点E，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
②当点N在边上时，如图3，结论：，理由如下：
如图3，延长至H，使得，
由①得：，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
综上，与数量之间的关系为：或；
（3）解：∵，
∴，
如图4，过点G作于P，与交于点D，连接，过点C作于F，于M，
∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
在和中，
，
∴，
∴，
∴P是的中点，
∵，
∴是的垂直平分线，即点G在直线上，的最小值就是的长，
∴，
∴，
∴，
中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
即的最小值为．
故答案为：．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8


答案
D
A
C
A
A
B
B
B