广东省惠州中学2025-2026学年高二下学期4月月考数学试卷含解析（word版）

这是一份广东省惠州中学2025-2026学年高二下学期4月月考数学试卷含解析（word版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知数列 an 是等比数列,公比 q>0 ,前 n 项和为 Sn ,满足 a1=12 ,且 S1+S3=2S2+1 ,则 q= ( )
A. 14 B. 4 C. 12 D. 2
2. 圆 O1:x2+y2−6y+8=0 与圆 O2:x2+y2−8x+7=0 的公切线条数为( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
3. 已知函数 fx=x3+2ax2+a2x 在 x=1 处取得极小值,则 a= ( )
A. -3 B. -1 C. -1或-3 D. 3
4. 惠州中学高二开设了 4 门体育类选修课和 4 门艺术类选修课, 学生需从这 8 门课中选修 2 门或 3 门课, 并且每类选修课至少选修 1 门，则不同的选课方案共有( )
A. 36 种 B. 64 种 C. 72 种 D. 120 种
5. 函数 fx=1−csxsinx 在 −π,π 的图象大致为( )
6. 若直线 y=kx+1k∈R 是曲线 y=lnx+2 与曲线 y=ex+bb∈R 的公切线,则 b= ( )
A. 0 B. 1 C. eD. 1e
7. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法. 商功》中描述过如图所示的“三角垛”， 最上层有 1 个球, 第二层有 3 个球, 第三层有 6 个球, 第四层有 10 个球, ... ..., 第 n 层有 an 个球,则数列 1an 的前 6 项和为( )
A. 97 B. 107 C. 117 D. 127
8. 已知函数 fx=x2+6x+3x≤0elnxxx>0 ,若函数 gx=fx−3m 有 4 个不同的零点则 m 的取值范围是( )
A. 0,23 B. 0,13 C. −23,23 D. −23,13
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的 得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 下列四个命题中正确的是( )
A. 过点 2,−1 且斜率为 -1 的直线与直线 2x+2y+1=0 之间的距离是 2
B. 数列 an 满足 a1=1,an+1=an+3n+1 ,则 a7=70
C. 等差数列 an 满足 a1+a5+a7+a11=36 ,则 a6=18
D. 过 P−1,−2 作直线与圆 x2+y2=4 交于 A,B 两点,则 AB 的最小值为 2
10. 已知 O 为坐标原点,抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F ,准线为直线 l ,直线 PQ 与 C 交于 P,Q 两点,则下列说法正确的是( )
A. 点 F 到直线 l 的距离是 4
B. 若 PQ 的方程是 2x−y−4=0 ,则 △FPQ 的面积为 3
C. 若点 4,0 在直线 PQ 上,则 OP⊥OQ
D. 若 PQ 的中点 G 到直线 l 的距离为 3,则 FP+FQ=8
11. 已知函数 fx 与 gx 及其导函数 f′x 与 g′x 的定义域均为 R ， f′x 的图象关于点 2,0 对称， gx 的图象关于直线 x=1 对称,且 f6=f−2,g1=1 ,若 gx+12=f2x+1 ,则( )
A. f4−x=fx B. g12−x+gx−10=0
C. 4 为 f′x 的周期
D. i=1100gi=100
第二部分(非选择题 共 92 分)
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 从 5 名女老师和 3 名男老师中选出一位主考和两位监考参加 2025 年高考某考场的监考工作. 要求主考固定在考场前方监考，一女教师在考场内流动监考，另一位教师固定在考场后方监考，则不同的安排方案种数为_____.
13. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点为 F1,F2 ,过 F2 的直线交双曲线右支于 A,B ,若 BF1⋅BF2=0 , 且 cs∠F1AF2=45 ，则 a:b= _____.
14. 设函数 fx=x−1ex−e,gx=x−lnx+a ,若 ∀x2∈0,+∞,∃x1∈R ,使得 fx1≤gx2 ,则实数 a 的取值范围是_____.
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率 e=12 ，且椭圆过点 1,32 .
(1)求 C 的方程:
(2)过点 M0,1 直线 l 与椭圆有两个交点 A,B ，已知 y 轴上点 N0,3 ，求证: kNA+kNB=0 .
16. 已知数列 an,bn 满足 an+2+an=2an+1,bn+1=3bn+2,n∈N∗ ，且 b2=a2=a1+2=2 .
(1)求 an ， bn 的通项公式；
(2)求数列 anbn 的前 n 项和 Sn ；
(3)在数列 an 的前 20 项中，任取两项，求这两项至少有一项是数列 bn 中的项的概率.
17. 已知函数 fx=lnx−ax+1,a∈R
(1)讨论函数 fx 的单调区间；
(2)若曲线 fx 在 x=2 处的切线垂直于直线 y=2x ,对任意 x∈0,+∞ ， fx+bx−2≤0 恒成立，求实数 b 的最大值；
18. 某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y (单位:千克) 与销售价格 x (单位:元/千克, 1