广东省惠州中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试卷含解析（word版）

这是一份广东省惠州中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试卷含解析（word版），共15页。试卷主要包含了【答案】 D，【答案】 B，【答案】 A，【答案】 BC等内容，欢迎下载使用。
【解析】解: ∵ 角 α 的终边经过点 −4,3 ,
∴x=−4,y=3,r=x2+y2=5 .
∴csα=xr=−45=−45 ,故选 D .
2.【答案】 D
【解析】由题意可得 a=b=1,a⋅b=1×1×cs60∘=12 ,
对于 A,a+2b⋅b=a⋅b+2b2=12+2=52 ,所以 a+2b 与 b 不垂直;
对于 B,2a+b⋅b=2a⋅b+b2=2×12+1=2 ,所以 2a+b 与 b 不垂直;
对于 C,a−2b⋅b=a⋅b−2b2=12−2=−32 ,所以 a−2b 与 b 不垂直;
对于 D,2a−b⋅b=2a⋅b−b2=2×12−1=0 ,所以 2a−b 与 b 垂直. 故选: D .
3.【答案】 D
4.【答案】 B
【解析】[显然 =0⇒a//b ,但 a//b 包括向量 a,b 同向共线和反向共线两种情况,即当 a//b 时， ⟨a,b⟩=0 或 π ，因此 a//b⇏=0 . 故 “ a//b ” 是 “ =0 ” 的必要不充分条件. 故选 B .
5.【答案】 B
【解析】解:因为在四边形 ABCD 中, AC=−2,1,BD=2,4,,AC⋅BD=0 ,
所以四边形 ABCD 的对角线互相垂直，
又 AC=12+−22=5,BD=42+22=25 ,
该四边形 ABCD 的面积为 12AC⋅BD=12×5×25=5 .
6.【答案】 B
【解析】设这个球的半径为 R ,则 4πR2=16π ,得 R=2 ,所以这个球的体积 V=43πR3=323π . 故选 B .
7.【答案】 A
【解析】解: 如图所示,
由题意作 PE//AB ,可得 ∠APE=α,∠BPE=β,∠APO=π2−α ,则 ∠APB=α−β,∠ABP=β ,
在 △AOP 中, PA=ℎcsπ2−α=ℎsinα ,
在 △PAB 中, ∠B=β,∠APB=α−β ,
由正弦定理 ABsin∠APB=PAsinB ,
解得 AB=sinα−βsinβ⋅ℎsinα=ℎ⋅sinα−βsinα⋅sinβ ；
又 1sin2α+1sin2β−2csα−βsinαsinβ=sin2α+sin2β−2sinαsinβcsαcsβ+sinαsinβsin2αsin2β
=sin2α−sin2αsin2β−2sinαsinβcsαcsβ+sin2β−sin2αsin2βsin2αsin2β
=sin2αcs2β−2sinαcsβcsαsinβ+cs2αsin2βsin2αsin2β=sin2α−βsin2αsin2β,
又 α−β∈0,π2 ,且 α、β∈0,π2 ,
所以 sinα−βsinαsinβ>0 ,
所以 AB=ℎ⋅1sin2α+1sin2β−2csα−βsinαsinβ . 故选: A .
8.【答案】 D
【解析】因为在 △ABC 中， sinA+C2=csB2 ，所以由 asinA+C2=bsinA ，得: acsB2=bsinA ，于是由正弦定理得: sinAcsB2=sinBsinA ，因为 sinA≠0,csB2≠0 ，所以 sinB2=12 ，又 B2∈0,π2 ， 所以 B2=π6,B=π3 .
于是由 csAa+csBb=2sinBsinC3sinA ,得: 由 csAa+csBb=3sinC3sinA ,
再由正弦定理、余弦定理得: b2+c2−a22abc+a2+c2−b22abc=3c3a ，
化简得: b=3 .
于是由正弦定理可得: asinA=csinC=3sinπ3=2 ,
所以 a+2c=2sinA+4sinC=2sinA+4sin2π3−A
=4sinA+23csA=27sinA+θ ,
其中锐角 θ 满足: csθ=277,sinθ=217 ,
所以当 A+θ=π2,A=π2−θ ,即 sinA=csθ=277,csA=sinθ=217 时, a+2c 取得的最大值为 27 .
故选 D .
9.【答案】 BC
【解析】由题意得 z=2−i4+3i=2−i4−3i4+3i4−3i=5−10i25=15−25i .
对于 A,z 的虚部为 −25 ,故 A 错误;
对于 B,z 在复平面内对应的点为 15,,−25 ,其位于第四象限,故 B 正确;
对于 C ,由 z=15−25i ,得 z=15+25i ,
所以 z+z=25 ,故 C 正确;
对于 D,z=152+−252=55 ,故 D 错误.
故选 BC .
10.【答案】 BC
【解析】因为 a=2,−3,b=2,1 ,
所以 a−2b=−2,−5 ,
所以 a−2b⋅b=−2×2+−5×1=−9 ,故 A 错误;
易得 a 与 b 为一组不共线的非零向量,根据基底向量的定义可得 B 正确;
因为 a=2,−3,b=2,1 ,
所以 cs=a⋅ba⋅b=2×2+−3×122+−32×22+12=6565 ,故 C 正确;
因为 a=2,−3,b=2,1 ,所以 a 在 b 方向上的投影向量的坐标为 acsbb=a⋅bb2b= 2×2+−3×122+122×2,1=25,15 ,故 D 错误,
故选 BC .
11.【答案】 AD
【解析】解: 在 Rt△SOC 中, SC=SO2+OC2=22 ,
则圆锥的母线长 l=22 ,半径 r=OC=2 .
对于 A . 圆锥 SO 的侧面积为: πrl=42π ,故 A 正确;
对于 B ,当 OB⊥AC 时, △ABC 的面积最大,此时 S△ABC=12×4×2=4 ,
则三棱锥 S−ABC 体积的最大值为: 13×S△ABC×SO=13×4×2=83 ，故 B 错误；
对于 C ,当点 B 与点 A 重合时, ∠ASB=0 为最小角,
当点 B 与点 C 重合时 ∠ASB=π2 ,达到最大值,
又因为 B 与 A,C 不重合,则 ∠ASB∈0,π2 ,
又 2∠SAB+∠ASB=π ,可得 ∠SAB∈π4,π2 ,故 C′ 错误;
对于 D ,由 AB=BC,∠ABC=90∘,AC=4 ,得 AB=BC=22 ,
又 SA=SB=22 ,则 △SAB 为等边三角形,则 ∠SBA=60∘ ,
将 △SAB 以 AB 为轴旋转到与 △ABC 共面,得到 △S1AB ,
则 △S1AB 为等边三角形, ∠S1BA=60∘ ,
如图可知 SE+CEana=S1C ,

因为 S1B=BC=22,∠S1BC=∠S1BA+∠ABC=150∘ ,
S1C2=S1B2+BC2−2×S1B×BC×cs150∘=8+8+83=23+22 ,
则 SE+CEmin=S1C=23+1 ,故 D 正确.
故选: AD .
12【答案】 2,−1
【解析】设点 G 的坐标为 x,y ,则 GA=2−x,−1−y,GB=4−x,1−y,GC=0−x,−3−y , 由 GA+GB+GC=0 得 2−x,−1−y+4−x,1−y+0−x,−3−y=0,0 ,即 (6−3x,−3− 3y)=0,0 ,所以 6−3x=0 ,且 −3−3y=0 ,得 x=2 ,且 y=−1 ,所以点 G 的坐标为 2,−1 .
13【答案】 −π6
【解析】解:由图可知 T4=7π12−π3=π4 ,因为 ω>0 ,所以 T=2πω=π ,解得 ω=2 ,
因为函数 y=sin2x+φ ω>0,φ