浙江省杭州第二中学2025-2026学年高一下学期周末练5数学试卷含解析（word版）

这是一份浙江省杭州第二中学2025-2026学年高一下学期周末练5数学试卷含解析（word版），共41页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1、复数 z 满足 z+1i=z−1 ，则 z 的虚部为 ( )
A. i B. −i C. i D. -1
2、已知向量 a=2,−1,b=−3,t,2a+b⊥a ，则 t= ( )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 0
3、水平放置的 △ABC ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的 △A′B′C′ ,其中 O′A′=O′B′=2,O′C′=3 ,则 △ABC 绕 AB 所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为 (
A. 83π B. 163πC. 83+3π D. 163+12π
4、将一个半径为 2 的铁球熔化后, 浇铸成一个正四棱台形状的铁锭, 若这个铁锭的上、 下底面边长分别为 1 和 2 ，则它的高为 ( )
A. 8π7 B. 16π7 C. 32π7 D. 64π7
5、已知正方形 ABCD 的边长为 4,BC 和 CD 的中点分别为 M,N ，沿 AM,MN, NA 折起来使得 B,D,C 重合于 P ,得到三棱锥 P−AMN ,则三棱锥 P−AMN 外接球的表面积为 ( )
A. 24π B. 18π C. 12π D. 6π
6、若点 G 是 △ABC 所在平面上一点，且 AG+BG+CG=0 ， H 是直线 BG 上一点， AH=xAB+yAC ,则 1x+2y 的最小值是 ( )
A. 3+22 B. 5+22 C. 8 D. 9
7、已知棱长为 66 的正四面体与一个球相交，球与正四面体的每个面所在平面的交线都为一个面积为 9π 的圆,则该球的表面积为 ( )
A. 48π B. 72π C. 96π D. 128π
8、三棱锥 P−ABC 中， AB⊥BC ， AC=2BC=43 ， O 为 AC 的中点， CD⊥BO 分别交 BO ， AB 于点 R 、 D ，且 ∠DPR= ∠CPR ,则三棱锥 P−ABC 体积的最大值为 ( )
A. 62 B. 33C. 56 D. 215
二、多选题
9、已知 z1 ， z2 是复数，则下列命题错误的是 ( )
A. 若 z1+z2=0 ，则 z1=z2 B. 若 z1+z2sinB
B. 若 sin2A+sin2B−sin2C>0 ,则 △ABC 是锐角三角形
C. 若 A=60∘,a=15,b=4 ,则满足条件的三角形有两个
D. 若角 A,B 都是锐角,则 sinA>csB
11、如图，一个半圆柱的轴截面为矩形 ABCD ，点 E 在上底面上，连接 AE,BE ，若 AB =2,∠DCE=30∘ ,该几何体的外接球的表面积为 13π ,则 ( )
A. BE=33
B. AE=10
C. △ABE 面积为 39
D. 点 C 到平面 ABE 的距离为 31313
三、填空题
12、已知 a=1,b=1,1 ， a 与 b 的夹角为 3π4 ，则 a 在 b 方向上的投影向量坐标为_____.
13、已知高为 1 且底面半径为 3 的圆锥，顶点为 A ，底面上有两个不同的动点 B 和 C ， 则 △ABC 的面积的最大值为_____.
14、如图，在正四面体 ABCD 中，放置 1 大、 4 中、 4 小共 9 个球， 其中，大球为正四面体 ABCD 的内切球，中球与大球及正四面体三个面均相切,小球与中球及正四面体三个面均相切. 若正四面体 ABCD 的体积为 83 ，则 9 个球的表面积之和为_____.
四、解答题
15、已知关于 x 的实系数一元二次方程 x2+bx+c=0 有两个虚数根 x1 和 x2 .
(1)若 x1=2+i ，求 b ， c 的值；
(2)若 b=1+3i,c=1+22i ，求 x1 和 x2 .
16、A 市为进一步缓解交通压力，现经过甲公路和乙公路，分别修建新地铁线和快速通道,如图已知 S 小区在两条公路汇合处,两条公路夹角为 60∘ ,为了便于施工拟在两条公路之间的区域内建一混凝土搅拌站 P ，并分别在两条公路边上建两个中转站 M 、 N (异于点 S )， 要求 PM=PN=MN=4 (单位: 千米). 设 ∠SMN=θ .
(1)用 θ 表示 SN 并写出 θ 的范围；
(2)当搅拌站 P 与小区 S 的距离最远时,求 θ 的值.
17、如图，长方体 ABCD−A1B1C1D1 的长、宽、高分别为 x ， y ， 2，且 x≥y ， x+y= 2.
(1)当底面 ABCD 为正方形时，求长方体 ABCD−A1B1C1D1 的表面积和体积;
(2)求三棱锥 A1−BC1D 体积的最大值;
(3)记三棱锥 A1−BC1D 外接球的表面积为 S1 ，底面 ABCD 的面积为 S2 ，求 S1S2 的取值范围.
18、在 △ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,cs2A=1−2sinAsinB .
(1)求证: a=b ；
(2)设 AC 边上的中点为 D .
(i) 若 c=2,BD=3 ，求 C ；
(ii) 记 ∠CBD=θ ,求 θ 的最大值.
19、若存在 x0∈R,n0∈N∗n0≥2 ,使得 x x=x0+2kπn0,k∈Z 恰为函数 fx 的全部零点所构成的集合，则称 fx 为“分圆函数”.
(1)分别判断下列函数是否为“分圆函数”; (结论不要求证明)
① y=sinx−csx ；
② y=2csx+1 .
(2)求证:对任意 a∈R ， fx=tan2x−atanx−1 均为“分圆函数”；
(3)若 gx=cs2xcsx−b 为“分圆函数”，求 b 的值.