2026届青海省海南藏族自治州高三下学期第一次联考数学试卷（含答案解析）

这是一份2026届青海省海南藏族自治州高三下学期第一次联考数学试卷（含答案解析），共5页。
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3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设等比数列的前项和为，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知定义在上的函数的周期为4，当时，，则（ ）
A．B．C．D．
3．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（ ）
A．B．1C．D．i
4．宁波古圣王阳明的《传习录》专门讲过易经八卦图，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（“—”表示一根阳线，“——”表示一根阴线）．从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率为（ ）
A．B．C．D．
5．是边长为的等边三角形，、分别为、的中点，沿把折起，使点翻折到点的位置，连接、，当四棱锥的外接球的表面积最小时，四棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=AB，则集合中的元素共有 （ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
7．执行下面的程序框图，如果输入，，则计算机输出的数是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，四面体中，面和面都是等腰直角三角形，，，且二面角的大小为，若四面体的顶点都在球上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
9．天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（ ）
A．B．C．D．
10．一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
A．B．C．D．
11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数（），则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
12．若，则实数的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知双曲线(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为_______．
14．若奇函数满足，为R上的单调函数，对任意实数都有，当时，，则________.
15．曲线在点处的切线方程为________.
16．已知椭圆的左右焦点分别为，过且斜率为的直线交椭圆于，若三角形的面积等于，则该椭圆的离心率为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形， ，．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
18．（12分）在平面直角坐标系中，直线与抛物线：交于，两点，且当时，.
（1）求的值；
（2）设线段的中点为，抛物线在点处的切线与的准线交于点，证明：轴.
19．（12分）某企业现有A．B两套设备生产某种产品，现从A，B两套设备生产的大量产品中各抽取了100件产品作为样本，检测某一项质量指标值，若该项质量指标值落在内的产品视为合格品，否则为不合格品.图1是从A设备抽取的样本频率分布直方图，表1是从B设备抽取的样本频数分布表.
图1：A设备生产的样本频率分布直方图
表1：B设备生产的样本频数分布表
（1）请估计A．B设备生产的产品质量指标的平均值；
（2）企业将不合格品全部销毁后，并对合格品进行等级细分，质量指标值落在内的定为一等品，每件利润240元；质量指标值落在或内的定为二等品，每件利润180元；其它的合格品定为三等品，每件利润120元.根据图1、表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.企业由于投入资金的限制，需要根据A，B两套设备生产的同一种产品每件获得利润的期望值调整生产规模，请根据以上数据，从经济效益的角度考虑企业应该对哪一套设备加大生产规模？
20．（12分）已知数列，，数列满足，n．
（1）若，，求数列的前2n项和；
（2）若数列为等差数列，且对任意n，恒成立．
①当数列为等差数列时，求证：数列，的公差相等；
②数列能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列；若不能，请说明理由．
21．（12分）某校共有学生2000人，其中男生900人，女生1100人，为了调查该校学生每周平均体育锻炼时间，采用分层抽样的方法收集该校100名学生每周平均体育锻炼时间（单位：小时）.
（1）应抽查男生与女生各多少人？
（2）根据收集100人的样本数据，得到学生每周平均体育锻炼时间的频率分布表：
若在样本数据中有38名男学生平均每周课外体育锻炼时间超过2小时，请完成每周平均体育锻炼时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关”？
附：K2.
22．（10分）如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，为侧棱上一点，已知.
（Ⅰ）证明:平面平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
求得等比数列的公比，然后利用等比数列的求和公式可求得的值.
【详解】
设等比数列的公比为，，，，
因此，.
故选：C.
本题考查等比数列求和公式的应用，解答的关键就是求出等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题.
2．A
【解析】
因为给出的解析式只适用于，所以利用周期性，将转化为，再与一起代入解析式，利用对数恒等式和对数的运算性质，即可求得结果.
【详解】
定义在上的函数的周期为4
，
当时，，
，，
.
故选：A.
本题考查了利用函数的周期性求函数值，对数的运算性质，属于中档题.
3．A
【解析】
由虚数单位i的运算性质可得，则答案可求.
【详解】
解：∵，
∴，，
则化为，
∴z的虚部为.
故选：A.
本题考查了虚数单位i的运算性质、复数的概念，属于基础题.
4．B
【解析】
根据古典概型的概率求法，先得到从八卦中任取两卦基本事件的总数，再找出这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数，代入公式求解.
【详解】
从八卦中任取两卦基本事件的总数种，
这两卦的六根线中恰有四根阴线的基本事件数有6种，
分别是（巽，坤），（兑，坤），（离，坤），（震，艮），（震，坎），（坎，艮），
所以这两卦的六根线中恰有四根阴线的概率是.
故选：B
本题主要考查古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
5．D
【解析】
首先由题意得，当梯形的外接圆圆心为四棱锥的外接球球心时，外接球的半径最小，通过图形发现，的中点即为梯形的外接圆圆心，也即四棱锥的外接球球心，则可得到，进而可根据四棱锥的体积公式求出体积.
【详解】
如图，四边形为等腰梯形，则其必有外接圆，设为梯形的外接圆圆心，
当也为四棱锥的外接球球心时，外接球的半径最小，也就使得外接球的表面积最小，过作的垂线交于点，交于点，连接，点必在上，
、分别为、的中点，则必有，
，即为直角三角形.
对于等腰梯形，如图：
因为是等边三角形，、、分别为、、的中点，
必有，
所以点为等腰梯形的外接圆圆心，即点与点重合，如图
，，
所以四棱锥底面的高为，
.
故选：D.
本题考查四棱锥的外接球及体积问题，关键是要找到外接球球心的位置，这个是一个难点，考查了学生空间想象能力和分析能力，是一道难度较大的题目.
6．A
【解析】
试题分析：,,所以，即集合中共有3个元素，故选A．
考点：集合的运算．
7．B
【解析】
先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数，再利用辗转相除法计算即可.
【详解】
本程序框图的功能是计算，中的最大公约数，所以，
，，故当输入，，则计算机输出的数
是57.
故选：B.
本题考查程序框图的功能，做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么，本题是一道基础题.
8．B
【解析】
分别取、的中点、，连接、、，利用二面角的定义转化二面角的平面角为，然后分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点，在中计算出，再利用勾股定理计算出，即可得出球的半径，最后利用球体的表面积公式可得出答案．
【详解】
如下图所示，
分别取、的中点、，连接、、，
由于是以为直角等腰直角三角形，为的中点，，
，且、分别为、的中点，所以，，所以，，所以二面角的平面角为，
，则，且，所以，，，
是以为直角的等腰直角三角形，所以，的外心为点，同理可知，的外心为点，
分别过点作平面的垂线与过点作平面的垂线交于点，则点在平面内，如下图所示，
由图形可知，，
在中，，，
所以，，
所以，球的半径为，因此，球的表面积为.
故选：B.
本题考查球体的表面积，考查二面角的定义，解决本题的关键在于找出球心的位置，同时考查了计算能力，属于中等题．
9．B
【解析】
利用古典概型概率计算方法分析出符合题意的基本事件个数,结合组合数的计算即可出求得概率.
【详解】
20个年份中天干相同的有10组（每组2个），地支相同的年份有8组（每组2个），从这20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率.
故选:B.
本小题主要考查古典概型的计算,考查组合数的计算,考查学生分析问题的能力,难度较易.
10．D
【解析】
试题分析：如图所示，截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,剩余部分体积是正方体体积的,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选D.
考点：本题主要考查三视图及几何体体积的计算.
11．B
【解析】
利用换元法化简解析式为二次函数的形式，根据二次函数的性质求得的取值范围，由此求得的值域.
【详解】
因为（），所以，令（），则（），函数的对称轴方程为，所以，，所以，所以的值域为.
故选：B
本小题考查函数的定义域与值域等基础知识，考查学生分析问题，解决问题的能力，运算求解能力，转化与化归思想，换元思想，分类讨论和应用意识.
12．A
【解析】
将化成以 为底的对数，即可判断 的大小关系；由对数函数、指数函数的性质，可判断出 与1的大小关系，从而可判断三者的大小关系.
【详解】
依题意，由对数函数的性质可得.
又因为，故.
故选:A.
本题考查了指数函数的性质，考查了对数函数的性质，考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时，底数相同，则构造对数函数，结合对数的单调性可判断大小；若真数相同，则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小；若真数和底数都不相同，则可与中间值如1,0比较大小.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
根据题意，由双曲线的渐近线方程可得，即a＝2b，进而由双曲线的几何性质可得cb，由双曲线的离心率公式计算可得答案．
【详解】
根据题意，双曲线的渐近线方程为y＝±x，
又由该双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y＝0，即yx，
则有，即a＝2b，
则cb，
则该双曲线的离心率e；
故答案为：．
本题考查双曲线的几何性质，关键是分析a、b之间的关系，属于基础题．
14．
【解析】
根据可得,函数是以为周期的函数，令，可求，从而可得，代入解析式即可求解.
【详解】
令，则，
由，则，
所以，解得，
所以，
由时，，
所以时，；
由，所以，
所以函数是以为周期的函数，
，
又函数为奇函数，
所以.
故答案为：
本题主要考查了换元法求函数解析式、函数的奇偶性、周期性的应用，属于中档题.
15．
【解析】
求导，得到和，利用点斜式即可求得结果.
【详解】
由于，，所以，
由点斜式可得切线方程为.
故答案为：.
本题考查利用导数的几何意义求切线方程，属基础题.
16．
【解析】
由题得直线的方程为，代入椭圆方程得：，
设点，则有，由
，且解出，进而求解出离心率.
【详解】
由题知，直线的方程为，代入消得：
，
设点，则有，
，
而，又，
解得：，所以离心率.
故答案为：
本题主要考查了直线与椭圆的位置关系，三角形面积计算与离心率的求解，考查了学生的运算求解能力
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（1）取中点，连，，由等边三角形三边合一可知，，即证．（2）以，，为正方向建立空间直角坐标系，由向量法可求得平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
试题解析：（Ⅰ）证明：连，，则和皆为正三角形．
取中点，连，，则，，
则平面，则
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，所以．
如图所示，分别以，，为正方向建立空间直角坐标系，
则，，，
设平面的法向量为，
因为，，
所以
取
面的法向量取，
则，
平面与平面所成的锐二面角的余弦值．
18．（1）1；（2）见解析
【解析】
（1）设，，联立直线和抛物线方程，得，写出韦达定理，根据弦长公式，即可求出；
（2）由，得，根据导数的几何意义，求出抛物线在点点处切线方程，进而求出，即可证出轴.
【详解】
解：（1）设，，
将直线代入中整理得：，
∴，，
∴，
解得：.
（2）同（1）假设，，
由，得，
从而抛物线在点点处的切线方程为，
即，
令，得，
由（1）知，从而，
这表明轴.
本题考查直线与抛物线的位置关系，涉及联立方程组、韦达定理、弦长公式以及利用导数求切线方程，考查转化思想和计算能力.
19．（1）30.2，29；（2）B设备
【解析】
（1）平均数的估计值为组中值与频率乘积的和；
（2）要注意指标值落在内的产品才视为合格品，列出A、B设备利润分布列，算出期望即可作出决策.
【详解】
（1）A设备生产的样本的频数分布表如下
.
根据样本质量指标平均值估计A设备生产一件产品质量指标平均值为30.2.
B设备生产的样本的频数分布表如下
根据样本质量指标平均值估计B设备生产一件产品质量指标平均值为29.
（2）A设备生产一件产品的利润记为X，B设备生产一件产品的利润记为Y，
若以生产一件产品的利润作为决策依据，企业应加大B设备的生产规模.
本题考查平均数的估计值、离散随机变量的期望，并利用期望作决策，是一个概率与统计综合题，本题是一道中档题.
20．（1）（2）①见解析②数列不能为等比数列，见解析
【解析】
（1）根据数列通项公式的特点，奇数项为等差数列，偶数项为等比数列，选用分组求和的方法进行求解；
（2）①设数列的公差为，数列的公差为，当n为奇数时，得出；当n为偶数时，得出，从而可证数列，的公差相等；
②利用反证法，先假设可以为等比数列，结合题意得出矛盾，进而得出数列不能为等比数列．
【详解】
（1）因为，，所以，且，
由题意可知，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，
数列是首项和公比均为4的等比数列，
所以；
（2）①证明：设数列的公差为，数列的公差为，
当n为奇数时，，
若，则当时，，
即，与题意不符，所以，
当n为偶数时，，，
若，则当时，，
即，与题意不符，所以，
综上，，原命题得证；
②假设可以为等比数列，设公比为q，
因为，所以，所以，，
因为当时，
，
所以当n为偶数，且时，，
即当n为偶数，且时，不成立，与题意矛盾，
所以数列不能为等比数列．
本题主要考查数列的求和及数列的综合，数列求和时一般是结合通项公式的特征选取合适的求和方法，数列综合题要回归基本量，充分挖掘题目已知信息，细思细算，本题综合性较强，难度较大，侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.
21．（1）男生人数为人，女生人数55人.（2）列联表答案见解析，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关.
【解析】
（1）求出男女比例，按比例分配即可；
（2）根据题意结合频率分布表，先求出二联表中数值，再结合公式计算，利用表格数据对比判断即可
【详解】
（1）因为男生人数：女生人数＝900：1100＝9：11，
所以男生人数为，女生人数100﹣45＝55人，
（2）由频率频率直方图可知学生每周平均体育锻炼时间超过2小时的人数为：（1×0.3+1×0.25+1×0.15+1×0.05）×100＝75人，
每周平均体育锻炼时间超过2小时的女生人数为37人，
联表如下：
因为3.892＞3.841，
所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关.
本题考查分层抽样，独立性检验，熟记公式，正确计算是关键，属于中档题.
22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】
(Ⅰ) 先证明 ，再证明平面，利用面面垂直的判定定理，即可求证所求证；
(Ⅱ)根据题意以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的向量，利用公式即可求解.
【详解】
(Ⅰ)证：由已知得
又 平面，平面，，
而故，平面
平面，平面平面
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，推理知梯形中，，，
有，又，故
所以相似，故有，即
所以，以为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，，，设平面的法向量为，则
令，则，是平面的一个法向量
设平面的一个法向量为
令，则
是平面的一个法向量
=
又二面角为钝二面角，其余弦值为.
本题考查线面、面面垂直的判定定理与性质定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查直观想象能力与运算求解能力，属于中档题.
质量指标值
频数
2
18
48
14
16
2
时间（小时）
[0,1]
(1,2]
(2,3]
(3,4]
(4,5]
(5,6]
频率
0.05
0.20
0.30
0.25
0.15
0.05
男生
女生
总计
每周平均体育锻炼时间不超过2小时
每周平均体育锻炼时间超过2小时
总计
P（K2≥k0）
0.100
0.050
0.010
0.005
2.706
3.841
6.635
7.879
质量指标值
频数
4
16
40
12
18
10
质量指标值
频数
2
18
48
14
16
2
X
240
180
120
P
Y
240
180
120
P
男生
女生
总计
每周平均体育锻炼时间不超过2小时
7
18
25
每周平均体育锻炼时间超过2小时
38
37
75
总计
45
55
100