2024-2025学年青海省海南州高一下学期期末考试数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年青海省海南州高一下学期期末考试数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.AB+CE−CB=( )
A. AEB. BEC. −AED. −BE
2.某工厂生产A，B两种型号的零件共10000件，其中A型号的零件6000件．质检员为了解这两种型号的零件的合格率，采用分层抽样的方法从这批零件中抽取500件进行质检，则B型号的零件被抽到的数量是( )
A. 240B. 200C. 300D. 100
3.已知两个单位向量a,b的夹角的余弦值为−13，则2a+b=( )
A. 113B. 222C. 335D. 333
4.如图，▵ABO的斜二测直观图是▵A′B′O′，其中O′A′=O′B′=2 2,∠B′O′y′=90∘，则▵ABO的面积是( )
A. 1B. 2C. 4D. 8
5.某校学生会随机抽查了本校100名学生的身高(单位：cm)，将得到的数据按[150,160),[160,170),[170,180),[180,190]分为4组，画出如图所示的频率分布直方图，则估计这100名学生中身高低于170cm的人数为( )
A. 56B. 52C. 48D. 44
6.在一次野外考察中，两名队员同时从营地出发，队员甲以每小时3千米的速度沿着北偏东15∘的方向前进，队员乙以每小时4千米的速度沿着西北方向前进，2小时后，队员甲､乙之间的距离是( )
A. 2 7千米B. 2 13千米C. 2 19千米D. 2 37千米
7.从1～5这5个整数中随机选择两个不重复的数字，则这两个数字之积大于8的概率为( )
A. 710B. 310C. 12D. 25
8.在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=AA1，D，E，F分别是棱AB，B1C1，CC1的中点，则异面直线AF与DE所成角的余弦值是( )
A. 55B. 35C. 45D. 2 55
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z=1+2i1−3i，则下列结论正确的是( )
A. z的实部是−5B. z的虚部为−1
C. |z|= 26D. z在复平面内所对应的点位于第四象限
10.已知m,n是两条不同的直线，α,β,γ是三个不同的平面，则下列结论错误的是( )
A. 若α//β,m⊂α,n⊂β，则m//n
B. 若m//α,n//α，则m//n
C. 若α//γ,β//γ，则α//β
D. 若α∩γ=m,β∩γ=n,m//n，则α//β
11.已知非等腰三角形ABC的内角分别为A,B,C，若sin4A=sin4B，则下列结论可能正确的是( )
A. sinC= 22B. sinA=csBC. csC= 22D. sin2A=sin2B
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数z=5−7i，则z= ．
13.已知A,B为互斥事件，且P(A)=0.6,P(B)=0.2，则P(AB)= ．
14.某甜品店推出一款球形创意冰激凌，将冰激凌球放置在特制的巧克力圆台容器中.已知巧克力圆台容器的上底面圆的半径为8厘米，下底面圆的半径为2厘米，若该球形创意冰激凌与巧克力圆台容器的内壁及上、下底面均相切(不考虑巧克力圆台容器的厚度)，则该球形创意冰激凌的体积是 立方厘米．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
玉菇甜瓜产于河南、山东等地，富含维生素和膳食纤维，汁水饱满，果肉细腻，清甜爽润．甲分别随机抽测了A产地和B产地各6个玉菇甜瓜的重量(单位：g)，将得到的数据按从小到大的顺序分别记录如下：
第一组数据(A产地)：m 1194 1200 1201 1202 1210
第二组数据(B产地)：1192 1194 1199 n 1203 1209
已知第一组数据的极差和第二组数据的极差相等，第一组数据的第60百分位数和第二组数据的中位数相等．
(1)求m，n；
(2)请你估计哪个产地的玉菇甜瓜重量更稳定，并说明理由．
16.(本小题15分)
如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，E,F,G分别是棱AB,BB1,A1B1的中点．
(1)证明：C1G//平面CEF．
(2)在棱AA1上是否存在点H，使得平面C1GH//平面CEF？若存在，求出A1HA1A的值；若不存在，请说明理由．
17.(本小题15分)
如图，在多面体ABCDE中，AE=BE= 13，AB= 2AC= 2BC=4，CD⊥AB，平面ACD⊥平面ABC．

(1)证明：CD⊥平面ABC．
(2)已知CD=3，平面ABC⊥平面ABE，F是线段AB的中点．
①证明：四边形CDEF为矩形．
②求多面体ABCDE的体积．
18.(本小题17分)
甲、乙两位同学进行中国象棋比赛，约定赛制如下：一人累计获胜2局，此人最终获胜，比赛结束；4局比赛后，没人累计获胜2局，比赛结束，获胜局数多的人最终获胜，两人获胜局数相等为平局．已知每局比赛中甲获胜、平局、乙获胜的概率分别为12，16，13，且每局比赛的结果相互独立．
(1)求比赛3局结束的概率；
(2)求甲最终获胜的概率．
19.(本小题17分)
在锐角▵ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，向量m=csC,2b−c,n=a,−csA，且m⊥n．
(1)求A；
(2)若BD=2DC,AD=4，求▵ABC面积的最大值；
(3)若a=2 3，求2b−c的取值范围．
答案解析
1.【答案】A
【解析】【分析】根据向量的线性运算法则，进行化简，即可求解．
【详解】由向量的线性运算法则，可得AB+CE−CB=AB+BE=AE．
故选：A．
2.【答案】B
【解析】【分析】由分层抽样的定义列出比例式即可求解．
【详解】由题意可得B型号的零件被抽到的数量是500×10000−600010000=200．
故选：B．
3.【答案】D
【解析】【分析】利用数量积的定义及运算律求解即得．
【详解】由单位向量a,b的夹角的余弦值为−13，得a⋅b=−13，
所以|2a+b|= 4a2+b2+4a⋅b= 5−43= 333．
故选：D
4.【答案】D
【解析】【分析】根据题意，结合斜二测画法，得出▵OAB的形状，结合三角形的面积公式，即可求解．
【详解】过B′作B′C′//O′A′交y′轴于点C′，可得∠B′C′O′=45∘，
因为∠B′O′y′=90∘，所以▵O′B′C′为等腰直角三角形，所以O′B′=O′C′=2 2，
根据斜二测画法，可得▵OAB，如图所示，则OA=2 2,OC=4 2，
所以▵ABO的面积是S=12OA⋅OC=12×2 2×4 2=8．
故选：D．
5.【答案】A
【解析】【分析】利用频率和为1求参数，再估计身高低于170cm的人数．
【详解】由图可得10×(0.012+m+2m+0.040)=1，得m=0.016，
所以估计这100名学生中身高低于170cm的人数为100×10×(0.016+0.040)=56．
故选：A
6.【答案】B
【解析】【分析】根据题意，画出图形，结合余弦定理，即可求解．
【详解】如图所示，设营地为点C，2小时后，队员甲所在地为点A，队员乙所在地为点B，
可得BC=8千米，AC=6千米，且∠ACB=60∘，
由余弦定理得AB2=BC2+AC2−2BC⋅ACcs∠ACB=82+62−2×8×6×12=52，
则AB= 52=2 13千米．
故选：B．
7.【答案】D
【解析】【分析】先求出基本事件总数，再求出两数之积大于8包含的基本事件个数，由此能求出两数之积大于8的概率．
【详解】这个试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}，
包含10个样本点．设事件A=“这两个数字之积大于8”，
则A={(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)}，包含4个样本点，
所以P(A)=410=25．
故选：D．
8.【答案】C
【解析】【分析】取棱A1C1的中点G，连接EG，AG，FG，根据异面直线的定义说明∠FAG是异面直线AF与DE所成的角或其补角，结合余弦定理即可求解．
【详解】取棱A1C1的中点G，连接EG，AG，FG，如图所示，

因为E，G分别是棱B1C1，A1C1的中点，所以EG//A1B1，EG=12A1B1．
由棱柱的性质可知AB//A1B1，AB=A1B1．
因为D是棱AB的中点，所以AD//A1B1，AD=12A1B1，所以AD//EG，AD=EG，
所以四边形ADEG是平行四边形，所以AG//DE，
则∠FAG是异面直线AF与DE所成的角或其补角．
设AC=AA1=2，则DE=AG=AF= 5，FG= 2．
在▵AFG中，由余弦定理可得cs∠FAG=AF2+AG2−FG22AF⋅AG=5+5−22× 5× 5=45，
即异面直线AF与DE所成角的余弦值是45．
故选：C．
9.【答案】BD
【解析】【分析】复数的乘法运算可得z=7−i，从而可求其实部与虚部，可对A、B判断；可求其模对C判断；利用复数的几何意义可对D判断；
【详解】由题意可得z=1−3i+2i−6i2=7−i，
A、B：z的实部为7，虚部为−1，故A错误、B正确；
C：|z|= 72+(−1)2=5 2，故C错误；
D：z在复平面内所对应的点的坐标为(7,−1)，位于第四象限，故D正确．
故选：BD．
10.【答案】ABD
【解析】【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项分析判断，即可求解．
【详解】对于A中，若α//β,m⊂α,n⊂β，则m与n平行或异面，所以A不正确；
对于B中，若m//α,n//α，则m与n平行、相交或异面，所以B不正确；
对于C中，若α//γ,β//γ，根据平行于同一平面的两平面平行，可得α//β，所以C正确；
对于D中，若α∩γ=m,β∩γ=n,m//n，则α与β平行或相交，所以D错误．
故选：ABD．
11.【答案】ABC
【解析】【分析】由sin4A=sin4B，可得4A=4B，4A+4B=π，4A=4B±2π和4A+4B=3π，四种情况讨论，结合选项，即可求解．
【详解】因为A,B∈0,π，可得4A∈0,4π,4B∈0,4π，由sin4A=sin4B，可得以下情况：①若4A=4B，即A=B，这与▵ABC是非等腰三角形矛盾，不符合题意；
②若4A+4B=π，即A+B=π4，此时sinC= 22，所以A正确；
③若4A=4B±2π，若A=B+π2，则sinA=csB，所以B正确，
若A=B−π2，则sinA=−csB；
④若4A+4B=3π，即A+B=3π4，此时csC= 22，所以C正确，
由sin2A=sin2B，可得2A=2B，即A=B，不符合题意，
或2A+2B=π，即A=π2−B，此时sin4A=−sin4B，所以D不正确．
故选：ABC．
12.【答案】5+7i
【解析】【分析】根据题意，结合共轭复数的定义，即可求解．
【详解】由复数z=5−7i，根据共轭复数的定义，可得z=5+7i．
故答案为：5+7i．
13.【答案】0.2/15
【解析】【分析】利用互斥事件和的概率公式求得P(A∪B),再利用对立事件的概率求解即得．
【详解】因为A,B为互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6+0.2=0.8，
所以P(AB)=P(A∪B)=1−0.8=0.2．
故答案为：0.2．
14.【答案】256π3
【解析】【分析】只需根据题意求得该球形创意冰激凌的半径，再结合球的体积公式即可求解．
【详解】如图，设O1，O2分别是该圆台容器上、下底面圆的圆心，
四边形ABCD是该圆台容器的轴截面，圆O是球形创意冰激凌的截面，
E，F分别为圆O切AD，BC的切点，则DE=DO1=8，EA=AO2=2．
作AH⊥CD，垂足为H，则O1H=O2A=2，AH=O1O2，DH=DO1−O1H=6．
因为AD=DE+EA=10，所以AH= AD2−DH2=8，
则OO1=OO2=12O1O2=4，即该球形创意冰激凌的半径为4，
故该球形创意冰激凌的体积为43π×43=256π3立方厘米．
故答案为：256π3．
15.【答案】解：(1)由题意得1210−m=1209−1192，得m=1193.
因为6×60％=3.6，所以第一组数据的第60百分位数为1201 g，
又第二组数据的中位数为1199+n2，所以1199+n2=1201，得n=1203.
(2)第一组数据的平均数为1193+1194+1200+1201+1202+12106=1200g,
方差为72+62+0+12+22+1026=953，
第二组数据的平均数为1192+1194+1199+1203+1203+12096=1200g,
方差为82+62+12+32+32+926=1003，
因为953