2026年河南省信阳市高考压轴卷数学试卷（含答案解析）

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1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数满足=1，则等于（ ）
A．-B．C．-D．
2．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km/h的频率分别为（ ）
A．300，B．300，C．60，D．60，
3．设等比数列的前项和为，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要B．必要不充分
C．充要D．既不充分也不必要
4．下列命题是真命题的是（ ）
A．若平面，，，满足，，则；
B．命题：，，则：，；
C．“命题为真”是“命题为真”的充分不必要条件；
D．命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”.
5．空气质量指数是反映空气状况的指数，指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日指数变化趋势，下列叙述错误的是（ ）
A．这20天中指数值的中位数略高于100
B．这20天中的中度污染及以上（指数）的天数占
C．该市10月的前半个月的空气质量越来越好
D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好
6．已知，，若，则实数的值是（ ）
A．-1B．7C．1D．1或7
7．已知等差数列的前n项和为，，则
A．3B．4C．5D．6
8．复数为纯虚数，则( )
A．iB．﹣2iC．2iD．﹣i
9．做抛掷一枚骰子的试验，当出现1点或2点时，就说这次试验成功，假设骰子是质地均匀的.则在3次这样的试验中成功次数X的期望为（ ）
A．B．C．1D．2
10．一个空间几何体的正视图是长为4，宽为的长方形，侧视图是边长为2的等边三角形，俯视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
11．已知复数为虚数单位） ，则z 的虚部为（ ）
A．2B．C．4D．
12．设，为非零向量，则“存在正数，使得”是“”的（ ）
A．既不充分也不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．充分不必要条件
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知数列为等比数列，，则_____.
14．已知函数在定义域R上的导函数为,若函数没有零点,且,当在上与在R上的单调性相同时,则实数k的取值范围是______.
15．某大学、、、四个不同的专业人数占本校总人数的比例依次为、、、，现欲采用分层抽样的方法从这四个专业的总人数中抽取人调查毕业后的就业情况，则专业应抽取_________人．
16．函数f（x）＝x2﹣xlnx的图象在x＝1处的切线方程为_____.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）定义：若数列满足所有的项均由构成且其中有个，有个，则称为“﹣数列”．
（1）为“﹣数列”中的任意三项，则使得的取法有多少种？
（2）为“﹣数列”中的任意三项，则存在多少正整数对使得且的概率为.
18．（12分）如图所示，在四棱锥中，∥，，点分别为的中点.
（1）证明：∥面；
（2）若，且，面面，求二面角的余弦值.
19．（12分）为响应“坚定文化自信，建设文化强国”，提升全民文化修养，引领学生“读经典用经典”，某广播电视台计划推出一档“阅读经典”节目.工作人员在前期的数据采集中，在某高中学校随机抽取了120名学生做调查，统计结果显示：样本中男女比例为3:2，而男生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是7:5，女生中喜欢阅读中国古典文学和不喜欢的比例是5:3.
（1）填写下面列联表，并根据联表判断是否有的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系？
（2）为做好文化建设引领，实验组把该校作为试点，和该校的学生进行中国古典文学阅读交流.实验人员已经从所调查的120人中筛选出4名男生和3名女生共7人作为代表，这7个代表中有2名男生代表和2名女生代表喜欢中国古典文学.现从这7名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加座谈会，记为参加会议的人中喜欢古典文学的人数，求5的分布列及数学期望
附表及公式：.
20．（12分）已知是递增的等比数列，，且、、成等差数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，，求数列的前项和.
21．（12分）已知圆上有一动点，点的坐标为，四边形为平行四边形，线段的垂直平分线交于点.
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点作直线与曲线交于两点，点的坐标为，直线与轴分别交于两点，求证：线段的中点为定点，并求出面积的最大值.
22．（10分）已知函数
（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围；
（2）求证：
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
设的最小正周期为，可得，则，再根据得，又，则可求出，进而可得.
【详解】
解：设的最小正周期为，因为，
所以，所以，
所以，
又，所以当时，，
，因为
，
整理得，因为，
，
，则
所以
.
故选：C.
本题考查三角形函数的周期性和对称性，考查学生分析能力和计算能力，是一道难度较大的题目.
2．B
【解析】
由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过的频率．
【详解】
由频率分布直方图得：
在此路段上汽车行驶速度在区间的频率为，
∴在此路段上汽车行驶速度在区间的车辆数为：，
行驶速度超过的频率为：．
故选：B．
本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．A
【解析】
首先根据等比数列分别求出满足，的基本量，根据基本量的范围即可确定答案.
【详解】
为等比数列，
若成立，有，
因为恒成立，
故可以推出且，
若成立，
当时，有，
当时，有，因为恒成立，所以有，
故可以推出，，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
本题主要考查了等比数列基本量的求解，充分必要条件的集合关系，属于基础题.
4．D
【解析】
根据面面关系判断A；根据否定的定义判断B；根据充分条件，必要条件的定义判断C；根据逆否命题的定义判断D.
【详解】
若平面，，，满足，，则可能相交，故A错误；
命题“：，”的否定为：，，故B错误；
为真，说明至少一个为真命题，则不能推出为真；为真，说明都为真命题，则为真，所以“命题为真”是“命题为真”的必要不充分条件，故C错误；
命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，故D正确；
故选D
本题主要考查了判断必要不充分条件，写出命题的逆否命题等，属于中档题.
5．C
【解析】
结合题意，根据题目中的天的指数值，判断选项中的命题是否正确.
【详解】
对于，由图可知天的指数值中有个低于，个高于，其中第个接近，第个高于，所以中位数略高于，故正确.
对于，由图可知天的指数值中高于的天数为，即占总天数的，故正确.
对于，由图可知该市月的前天的空气质量越来越好，从第天到第天空气质量越来越差，故错误.
对于，由图可知该市月上旬大部分指数在以下，中旬大部分指数在以上，所以该市月上旬的空气质量比中旬的空气质量好，故正确.
故选：
本题考查了对折线图数据的分析，读懂题意是解题关键，并能运用所学知识对命题进行判断，本题较为基础.
6．C
【解析】
根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得的值.
【详解】
由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得
.
∴解得.
故选：C.
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题.
7．C
【解析】
方法一：设等差数列的公差为，则，解得，所以.故选C．
方法二：因为，所以，则.故选C．
8．B
【解析】
复数为纯虚数，则实部为0，虚部不为0，求出，即得.
【详解】
∵为纯虚数，
∴，解得.
.
故选：.
本题考查复数的分类，属于基础题.
9．C
【解析】
每一次成功的概率为，服从二项分布，计算得到答案.
【详解】
每一次成功的概率为，服从二项分布，故.
故选：.
本题考查了二项分布求数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.
10．B
【解析】
由三视图确定原几何体是正三棱柱，由此可求得体积．
【详解】
由题意原几何体是正三棱柱，．
故选：B．
本题考查三视图，考查棱柱的体积．解题关键是由三视图不愿出原几何体．
11．A
【解析】
对复数进行乘法运算，并计算得到，从而得到虚部为2.
【详解】
因为，所以z 的虚部为2.
本题考查复数的四则运算及虚部的概念，计算过程要注意.
12．D
【解析】
充分性中，由向量数乘的几何意义得，再由数量积运算即可说明成立；必要性中，由数量积运算可得，不一定有正数，使得，所以不成立，即可得答案.
【详解】
充分性：若存在正数，使得，则，，得证；
必要性：若，则，不一定有正数，使得，故不成立；
所以是充分不必要条件
故选：D
本题考查平面向量数量积的运算，向量数乘的几何意义，还考查了充分必要条件的判定，属于简单题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．81
【解析】
设数列的公比为，利用等比数列通项公式求出，代入等比数列通项公式即可求解.
【详解】
设数列的公比为，由题意知，

因为，由等比数列通项公式可得，
，解得，
由等比数列通项公式可得，
.
故答案为：
本题考查等比数列通项公式；考查运算求解能力；属于基础题.
14．
【解析】
由题意可知：为上的单调函数，则为定值，由指数函数的性质可知为上的增函数，则在，单调递增，求导，则恒成立，则，根据函数的正弦函数的性质即可求得的取值范围．
【详解】
若方程无解，
则或恒成立，所以为上的单调函数，
都有，
则为定值，
设，则，易知为上的增函数，
，
，
又与的单调性相同，
在上单调递增，则当，，恒成立，
当，时，，，，，
，
此时，
故答案为：
本题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调性，正弦函数的性质，辅助角公式，考查计算能力，属于中档题．
15．
【解析】
求出专业人数在、、、四个专业总人数的比例后可得．
【详解】
由题意、、、四个不同的专业人数的比例为，故专业应抽取的人数为．
故答案为：1．
本题考查分层抽样，根据分层抽样的定义，在各层抽取样本数量是按比例抽取的．
16．x﹣y＝0.
【解析】
先将x＝1代入函数式求出切点纵坐标，然后对函数求导数，进一步求出切线斜率，最后利用点斜式写出切线方程.
【详解】
由题意得.
故切线方程为y﹣1＝x﹣1，即x﹣y＝0.
故答案为：x﹣y＝0.
本题考查利用导数求切线方程的基本方法，利用切点满足的条件列方程（组）是关键.同时也考查了学生的运算能力，属于基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）16；（2）115.
【解析】
(1)易得使得的情况只有“”,“”两种,再根据组合的方法求解两种情况分别的情况数再求和即可.
(2)易得“”共有种,“”共有种.再根据古典概型的方法可知,利用组合数的计算公式可得,当时根据题意有,共个；
当时求得,再根据换元根据整除的方法求解满足的正整数对即可.
【详解】
解：（1）三个数乘积为有两种情况：“”,“”,
其中“”共有：种,
“”共有：种,
利用分类计数原理得：
为“﹣数列”中的任意三项,
则使得的取法有：种．
（2）与(1)同理,“”共有种,
“”共有种,
而在“﹣数列”中任取三项共有种,
根据古典概型有：,
再根据组合数的计算公式能得到：
,
时,应满足,
,共个,
时,
应满足,
视为常数,可解得,
,
根据可知,,
,
,
根据可知,,（否则）,
下设,
则由于为正整数知必为正整数,
,
,
化简上式关系式可以知道：,
均为偶数,
设,
则
,
由于中必存在偶数,
只需中存在数为的倍数即可,
,
．
检验： 符合题意,
共有个,
综上所述：共有个数对符合题意．
本题主要考查了排列组合的基本方法,同时也考查了组合数的运算以及整数的分析方法等,需要根据题意
18．（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）根据题意，连接交于，连接，利用三角形全等得，进而可得结论；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量求得平面的法向量，进而可得二面角的余弦值.
【详解】
（1）证明：连接交于，连接，
，
≌，
且，
面面，
面，
（2）取中点，连，.由，
面面
面，又由，
以分别为轴建立如图所示空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，
为面的一个法向量，
设面的法向量为，
依题意，即，
令，解得，
所以，平面的法向量，
，
又因二面角为锐角，
故二面角的余弦值为.
本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意中位线和向量法的合理运用，属于基础题.
19．（1）见解析，没有（2）见解析，
【解析】
（1）根据题目所给数据填写列联表，计算出的值，由此判断出没有的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.
（2）先判断出的所有可能取值，然后根据古典概型概率计算公式，计算出分布列并求得数学期望.
【详解】
（1）
所以，没有的把握认为喜欢阅读中国古典文学与性别有关系.
（2）设参加座谈会的男生中喜欢中国古典文学的人数为，女生中喜欢古典文学的人数为，则.且
；
；
.
所以的分布列为
则.
本小题主要考查列联表独立性检验，考查随机变量分布列和数学期望的求法，考查数据处理能力，属于中档题.
20．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）设等比数列的公比为，根据题中条件求出的值，结合等比数列的通项公式可得出数列的通项公式；
（Ⅱ）求得，然后利用裂项相消法可求得.
【详解】
（Ⅰ）设数列的公比为，由题意及，知.
、、成等差数列成等差数列，，，
即，解得或（舍去），.
数列的通项公式为；
（Ⅱ），
.
本题考查等比数列通项的求解，同时也考查了裂项求和法，考查计算能力，属于基础题.
21．（Ⅰ）；（Ⅱ）4.
【解析】
（Ⅰ）先画出图形，结合垂直平分线和平行四边形性质可得为一定值，，故可确定点轨迹为椭圆（），进而求解；
（Ⅱ）设直线方程为，点坐标分别为，联立直线与椭圆方程得，，分别由点斜式求得直线KA的方程为，令得，同理得，由结合韦达定理即可求解，而，当重合交于点时，可求最值；
【详解】
（Ⅰ），
所以点的轨迹是一个椭圆，且长轴长，半焦距，
所以，轨迹的方程为.
（Ⅱ）当直线的斜率为0时，与曲线无交点.
当直线的斜率不为0时，设过点的直线方程为，点坐标分别为.
直线与椭圆方程联立得消去，得.
则，.
直线KA的方程为.
令得.
同理可得.
所以
.
所以的中点为.
不妨设点在点的上方，
则.
本题考查根据椭圆的定义求椭圆的方程，椭圆中的定点定值问题，属于中档题
22．（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）将问题转化为对任意恒成立，换元构造新函数即可得解；
（2）结合（1）可得，令，求导后证明其导函数单调递增，结合，即可得函数的单调区间和最小值，即可得证.
【详解】
（1）对任意恒成立等价于对任意恒成立，
令，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
有最大值，
.
（2）证明：由（1）知，当时，即，
，，
令，则，
令，则，
在上是增函数，又，
当时，；当时，，
在上是减函数，在上是增函数，
，即，
．
本题考查了利用导数解决恒成立问题，考查了利用导数证明不等式，考查了计算能力和转化化归思想，属于中档题.
男生
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总计
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72
48
120