2025-2026学年河南省信阳市高三（上）期末数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年河南省信阳市高三（上）期末数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若集合U={x∈N|00,b>0)与双曲线C2：y2b2−x2a2=1(a>0,b>0)互为共轭双曲线，设它们的离心率分别为e1和e2，则e1⋅e2的最小值为( )
A. 2B. 2 2C. 3D. 2 5
6.“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857与1至6中任意1个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这6个数字组成.若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于7000的偶数个数是( )
A. 75B. 66C. 60D. 36
7.已知函数f(x)=lg2(x2−1)，g(x)=x2−2x+a，若对于任意x1∈[ 2, 5)，存在x2∈[2,4]，使得f(x1)=g(x2)，则实数a的取值范围是( )
A. (−6,0]B. (−6,1]C. [−6,1]D. [−6,0]
8.设无穷等比数列{an}的首项a1>0，记数列{an}的前n项和为Sn，则“{Sn}为递增数列”是“∀n∈N∗，S2n>2Sn”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 在一个有限样本空间中，假设P(A)=P(B)=13，且A与B相互独立，则P(A∪B)=23
B. 已知随机变量ξ～B(4,14)，则E(3ξ−2)=1
C. 根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2=9.850，依据α=0.01的独立性检验(χ0.012=6.635)，可判断X与Y独立
D. 若随机变量X～N(5,σ2)，且P(X≥3)=4P(X≥7)，则P(30B. 2α−β4α+βD. sinα>sinβ
11.中国结是一种传统的民间手工艺术，它有着复杂奇妙的曲线，带有浓厚的中华民族文化特色.用数学的眼光思考可以还原成单纯的二维线条，其中“∞”对应着数学曲线中的双纽线.在xOy平面上，把到两个定点F1(−a,0)，F2(a,0)距离之积等于a2(a>0)的动点轨迹称为双纽线.已知两定点F1(−2,0)，F2(2,0)，动点P(x0,y0)满足|PF1|⋅|PF2|=4，设P的轨迹为双纽线C，则下列结论正确的是( )
A. 双纽线C的方程为(x02+y02+4)2−16x02=16
B. 双纽线C上任意一点到坐标原点O的距离最大值为3
C. 双纽线C内(含边界)的整点(横、纵坐标均为整数的点)个数为5个
D. 点Q在椭圆x26+y22=1上，若F1Q⊥F2Q，则Q∈C
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在(3+2x2)(1−2x)5的展开式中，x3的系数为 ．
13.已知函数f(x)=ex+2x+b，若直线3x−y+5=0为曲线y=f(x)的一条切线，则b= ．
14.已知α,β∈(0,π2)，cs2α−cs2β=25，cs(α+β)=2 23，则tan(α−β)= ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，acsC+12c=b．
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC边BC上的中线AD的长度为 6，求△ABC面积的最大值．
16.(本小题15分)
设数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列.已知b1=2a1=2，b2=a2+2，b3=2a3+2．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn=lg2b2n−1−14，求数列{|cn|}的前n项的和Tn．
17.(本小题15分)
在马年新春到来之际，某商场举办抽奖活动，方案如下：
1号不透明盒中放有标着“马”“骏”“龙”字样的小球，2号不透明盒中放有标着“到”“驰”“腾”字样的小球.顾客先从1号盒中随机取出1个小球，再从2号盒中随机取出1个小球.若这两个球上的字恰好组成“马到”，“骏驰”，“龙腾”中的一个词语，则该顾客中奖；否则未中奖，每位顾客只能抽奖一次，且各人抽奖结果相互独立.已知顾客从任一盒中抽到每个球的概率均为13．
(1)求一名顾客中奖的概率．
(2)若小明一家三口都参加该抽奖活动，记小明全家中奖的人数为X，
(i)求X的分布列及数学期望；
(ii)已知对任意随机变量Y，若其数学期望E(Y)、方差D(Y)均存在，则对任意正实数a，有P(|Y−E(Y)|≥a)≤D(Y)a2，该不等式称为切比雪夫不等式.若要求有不低于76%的把握使|X−1|0，关于x的不等式xf(x)≤ea2在[a,+∞)上有解，求实数a的取值范围．
19.(本小题17分)
已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，F′，F为其左、右焦点，且短轴长为2 3，若点P(x0,y0)为椭圆C在第一象限的点，满足直线PA、PB的斜率之积为−34．
(1)求椭圆C的方程．
(2)若点P(x0,y0)关于原点的对称点为Q．
(i)设点Q到直线PF，PF′的距离分别为d1，d2，求d1d2的取值范围；
(ii)设椭圆C在P(x0,y0)处的切线为l，射线QF交l于点T.求证：∠FTP=∠TPF．
参考答案
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】BD
10.【答案】AC
11.【答案】ACD
12.【答案】−260
13.【答案】4
14.【答案】−34
15.解：(1)由正弦定理及acsC+12c=b，得sinAcsC+12sinC=sinB，
因为sinB=sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC，
所以sinAcsC+12sinC=sinAcsC+csAsinC，
即12sinC=csAsinC，
又C∈(0,π)，所以sinC>0，所以csA=12，
而A∈(0,π)，所以A=π3．
(2)因为D是BC中点，所以AD=12(AB+AC)，
所以AD2=14(AB+AC)2=14(AB2+AC2+2AB⋅AC)，
所以6=14(c2+b2+2bccs∠BAC)，即b2+c2+bc=24，
又24=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc，当且仅当b=c=2 2时等号成立，
所以bc≤8，
所以S△ABC=12bcsinA≤2 3，
即△ABC面积的最大值为2 3．
16.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，b1=2a1=2，
由b2=a2+2b3=2a3+2，根据等差数列和等比数列的通项公式可得：
2q=1+d+22q2=2(1+2d)+2，解得d=1，q=2，
所以{an}的通项公式为an=1+(n−1)⋅1=n，{bn}的通项公式为bn=2n；
(2)设cn=lg2b2n−1−14，
由(1)得cn=lg222n−1−14=2n−15，
则|cn|=15−2n,n≤72n−15,n≥8，
当n≤7时，Tn=n(13+15−2n)2=14n−n2；
当n≥8时，Tn=−c1−c2−⋯−c7+c8+c9+⋯+cn=−2(c1+c2+⋯+c7)+(c1+c2+⋯+cn)
=−2⋅7(−13−1)2+n(−13+2n−15)2=98+n2−14n=n2−14n+98；
所以数列{|cn|}的前n项的和Tn=14n−n2,n≤7n2−14n+98,n≥8．
17.解：(1)记事件A1：抽到“马”与“到”，事件A2：抽到“骏”与“驰”，事件A3：抽到“龙”与“腾”，
∵顾客从任一盒中抽到每个球的概率均为13，
∴P(A1)=13×13=19,P(A2)=13×13=19,P(A3)=13×13=19，而A1，A2，A3两两互斥，
∴顾客中奖的概率为：
P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=13．
(2)(i)小明全家中奖的人数X的可能值为0，1，2，3，由题意得X～B(3,13)，
P(X=0)=(1−13)3=827,P(X=1)=C31⋅13⋅(1−13)2=49，
P(X=2)=C32⋅(13)2⋅(1−13)=29,P(X=3)=C33(13)3=127，
∴X的分布列为：
数学期望E(X)=3×13=1．
(ii)由(i)知X～B(3,13)，则D(X)=3×13×(1−13)=23，
由切比雪夫不等式得P(|Y−E(Y)|≥a)≤D(Y)a2，
∴P(|Y−E(Y)|0恒成立，因此f′(x)的符号与1+ax一致．
当a=0时，f′(x)=1>0，f(x)在[0,2]上单调递增，不符合题意；
当a>0时，令1+ax=0得x=−1a，
因为x∈[0,2]，因此f′(x)>0，因此f(x)在[0,2]上单调递增，不符合题意；
当ab>0)的短轴长为2 3，
所以2b=2 3，则b= 3，
而A(−a,0)，B(a,0)，y02=b2(1−x02a2)，
x0>0，y0>0，
因为直线PA、PB的斜率之积为−34．
所以y0x0+a⋅y0x0−a=y02x02−a2=b2(1−x02a2)x02−a2=−b2a2=−34，
解得a2=4，
所以椭圆的方程为x24+y23=1．
(2)(i)由椭圆对称性知，四边形PFQF′为平行四边形，则S△PF′Q=S△PFQ，
即12|PF|⋅d1=12|PF′|⋅d2，
于是d1d2=|PF′||PF|=2a−|PF||PF|=4|PF|−1，
又x024+y023=1，
x0∈(0,2)，则|PF|= (x0−1)2+y02= (x0−1)2+3−34x02= (12x0−2)2=2−12x0，
则|PF|∈(1,2)，1