2026届信阳市高三第一次调研测试数学试卷（含答案解析）

这是一份2026届信阳市高三第一次调研测试数学试卷（含答案解析），共17页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，波罗尼斯等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设正项等比数列的前n项和为，若，，则公比（ ）
A．B．4C．D．2
2．已知函数，，若存在实数，使成立，则正数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．已知双曲线的右焦点为F，过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点，MF的中点恰好在双曲线C上，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．已知，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（ ）
A．B．C．D．
6．下图是民航部门统计的某年春运期间，六个城市售出的往返机票的平均价格（单位元），以及相比于上一年同期价格变化幅度的数据统计图，以下叙述不正确的是（ ）
A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高
B．天津的往返机票平均价格变化最大
C．上海和广州的往返机票平均价格基本相当
D．相比于上一年同期，其中四个城市的往返机票平均价格在增加
7．函数的图象如图所示，为了得到的图象，可将的图象（ ）
A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
8．执行如图所示的程序框图，则输出的的值为（ ）

A．B．
C．D．
9．波罗尼斯（古希腊数学家，的公元前262-190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地．他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k（k＞0，且k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．现有椭圆=1（a＞b＞0），A，B为椭圆的长轴端点，C，D为椭圆的短轴端点，动点M满足=2，△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
10．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
11．小明有3本作业本，小波有4本作业本，将这7本作业本混放在-起，小明从中任取两本.则他取到的均是自己的作业本的概率为( )
A．B．C．D．
12．设全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若向量与向量垂直，则______.
14．已知，，，的夹角为30°，，则_________.
15．已知函数的部分图象如图所示，则的值为____________.

16．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图的的值__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知动圆经过点，且动圆被轴截得的弦长为，记圆心的轨迹为曲线．
（1）求曲线的标准方程；
（2）设点的横坐标为，，为圆与曲线的公共点，若直线的斜率，且，求的值．
18．（12分）在平面直角坐标系中，直线的的参数方程为（其中为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，直线经过点．曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
（2）过点作直线的垂线交曲线于两点(在轴上方)，求的值.
19．（12分）已知△ABC三内角A、B、C所对边的长分别为a，b，c，且3sin2A+3sin2B＝4sinAsinB+3sin2C．
（1）求csC的值；
（2）若a＝3，c，求△ABC的面积．
20．（12分）在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占，统计成绩后得到如下列联表：
（1）请完成上面列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；
（2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是，求的分布列（概率用组合数算式表示）；
②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.
（下面的临界值表供参考）
（参考公式其中）
21．（12分）已知函数.
（1）解不等式；
（2）记函数的最小值为，正实数、满足，求证：.
22．（10分）第十四届全国冬季运动会召开期间，某校举行了“冰上运动知识竞赛”，为了解本次竞赛成绩情况，从中随机抽取部分学生的成绩(得分均为整数，满分100分)进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：
（1）求、、的值及随机抽取一考生其成绩不低于70分的概率；
（2）若从成绩较好的3、4、5组中按分层抽样的方法抽取5人参加“普及冰雪知识”志愿活动，并指定2名负责人，求从第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的概率.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
由得，又，两式相除即可解出．
【详解】
解：由得，
又，
∴，∴，或，
又正项等比数列得，
∴，
故选：D．
本题主要考查等比数列的性质的应用，属于基础题．
2．A
【解析】
根据实数满足的等量关系，代入后将方程变形，构造函数，并由导函数求得的最大值；由基本不等式可求得的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数的取值范围.
【详解】
函数，，
由题意得，
即，
令，
∴，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，而，
当且仅当，即当时，等号成立，
∴，
∴.
故选：A.
本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.
3．A
【解析】
设，则MF的中点坐标为，代入双曲线的方程可得的关系，再转化成关于的齐次方程，求出的值，即可得答案.
【详解】
双曲线的右顶点为，右焦点为，
M所在直线为，不妨设，
∴MF的中点坐标为.代入方程可得，
∴，∴，∴（负值舍去）.
故选：A.
本题考查双曲线的离心率，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意构造的齐次方程.
4．A
【解析】
首先判断和1的大小关系，再由换底公式和对数函数的单调性判断的大小即可.
【详解】
因为，，，所以，综上可得.
故选：A
本题考查了换底公式和对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5．D
【解析】
先根据三视图还原几何体是一个四棱锥，根据三视图的数据，计算各棱的长度.
【详解】
根据三视图可知，几何体是一个四棱锥，如图所示：
由三视图知： ，
所以，
所以，
所以该几何体的最长棱的长为
故选：D
本题主要考查三视图的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题.
6．D
【解析】
根据条形图可折线图所包含的数据对选项逐一分析，由此得出叙述不正确的选项.
【详解】
对于A选项，根据折线图可知深圳的变化幅度最小，根据条形图可知北京的平均价格最高，所以A选项叙述正确.
对于B选项，根据折线图可知天津的往返机票平均价格变化最大，所以B选项叙述正确.
对于C选项，根据条形图可知上海和广州的往返机票平均价格基本相当，所以C选项叙述正确.
对于D选项，根据折线图可知相比于上一年同期，除了深圳外，另外五个城市的往返机票平均价格在增加，故D选项叙述错误.
故选：D
本小题主要考查根据条形图和折线图进行数据分析，属于基础题.
7．C
【解析】
根据正弦型函数的图象得到，结合图像变换知识得到答案.
【详解】
由图象知：，∴.
又时函数值最大，
所以.又，
∴，从而，，
只需将的图象向左平移个单位即可得到的图象，
故选C.
已知函数的图象求解析式
(1).(2)由函数的周期求
(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求，一般用最高点或最低点求．
8．B
【解析】
列出循环的每一步，进而可求得输出的值.
【详解】
根据程序框图，执行循环前：，，，
执行第一次循环时：，，所以：不成立．
继续进行循环，…，
当，时，成立，，
由于不成立，执行下一次循环，
，，成立，，成立，输出的的值为.
故选：B．
本题考查的知识要点：程序框图的循环结构和条件结构的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
9．D
【解析】
求得定点M的轨迹方程可得，解得a，b即可.
【详解】
设A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵动点M满足=2，
则 =2，化简得.
∵△MAB面积的最大值为8，△MCD面积的最小值为1，
∴ ，解得，
∴椭圆的离心率为．
故选D．
本题考查了椭圆离心率，动点轨迹，属于中档题．
10．B
【解析】
对分类讨论，当，函数在单调递减，当，根据对勾函数的性质，求出单调递增区间，即可求解.
【详解】
当时，函数在上单调递减，
所以，的递增区间是，
所以，即.
故选:B.
本题考查函数单调性，熟练掌握简单初等函数性质是解题关键，属于基础题.
11．A
【解析】
利用计算即可，其中表示事件A所包含的基本事件个数，为基本事件总数.
【详解】
从7本作业本中任取两本共有种不同的结果，其中，小明取到的均是自己的作业本有种不同结果，
由古典概型的概率计算公式，小明取到的均是自己的作业本的概率为.
故选：A.
本题考查古典概型的概率计算问题，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.
12．B
【解析】
可解出集合，然后进行补集、交集的运算即可．
【详解】
，，则，因此，.
故选：B.
本题考查补集和交集的运算，涉及一元二次不等式的求解，考查运算求解能力，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．0
【解析】
直接根据向量垂直计算得到答案.
【详解】
向量与向量垂直，则，故.
故答案为：.
本题考查了根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力.
14．1
【解析】
由求出，代入，进行数量积的运算即得.
【详解】
，存在实数，使得.
不共线，.
，，，的夹角为30°，
.
故答案为：1.
本题考查向量共线定理和平面向量数量积的运算，属于基础题.
15．
【解析】
由图可得的周期、振幅，即可得，再将代入可解得，进一步求得解析式及.
【详解】
由图可得，，所以，即，
又，即，，
又，故，所以，.
故答案为：
本题考查由图象求解析式及函数值，考查学生识图、计算等能力，是一道中档题.
16．3
【解析】
由已知中的三视图可得该几何体是一个以直角梯形为底面，梯形上下边长为和，高为，
如图所示，平面，
所以底面积为，
几何体的高为，所以其体积为．

点睛：在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．见解析
【解析】
（1）设，则点到轴的距离为，
因为圆被轴截得的弦长为，所以，
又，所以，
化简可得，所以曲线的标准方程为．
（2）设，，
因为直线的斜率，所以可设直线的方程为，
由及，消去可得，所以，，
所以．
设线段的中点为，点的纵坐标为，则，，
所以直线的斜率为，所以，所以，
所以．
易得圆心到直线的距离，
由圆经过点，可得，
所以，整理可得，
解得或，所以或，
又，所以．
18．（1），；（2）
【解析】
(1)利用代入法消去参数可得到直线的普通方程，利用公式可得到曲线的直角坐标方程；(2)设直线的参数方程为（为参数），
代入得，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.
【详解】
（1）由题意得点的直角坐标为，将点代入得
则直线的普通方程为.
由得，即.
故曲线的直角坐标方程为.
（2）设直线的参数方程为（为参数），
代入得．
设对应参数为，对应参数为．则，，且.
．
参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．
19．（1）；（2）或．
【解析】
（1）利用正弦定理对已知代数式化简，根据余弦定理求解余弦值；
（2）根据余弦定理求出b＝1或b＝3，结合面积公式求解.
【详解】
（1）已知等式3sin2A+3sin2B＝4sinAsinB+3sin2C，利用正弦定理化简得：3a2+3b2﹣3c2＝4ab，即a2+b2﹣c2ab，
∴csC；
（2）把a＝3，c，代入3a2+3b2﹣3c2＝4ab得：b＝1或b＝3，
∵csC，C为三角形内角，
∴sinC，
∴S△ABCabsinC3×bb，
则△ABC的面积为或．
此题考查利用正余弦定理求解三角形，关键在于熟练掌握正弦定理进行边角互化，利用余弦定理求解边长，根据面积公式求解面积.
20．（1）填表见解析；有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”（2）①详见解析②期望；方差
【解析】
（1）完成列联表，代入数据即可判断；
（2）利用分层抽样可得的取值，进而得到概率，列出分布列；根据分析知，计算出期望与方差.
【详解】
（1）
有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”.
（2）①由分层抽样知，需要从不足120分的学生中抽取人，
的可能取值为0，1，2，3，4，
，，
，，
所以，的分布列：
②从全校不少于120分的学生中随机抽取1人，此人每周上线时间不少于5小时的概率为，设从全校不少于120分的学生中随机抽取20人，这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数为，则，
故，.
本题考查了独立性检验与离散型随机变量的分布列、数学期望与方差的计算问题，属于基础题.
21．（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）分、、三种情况解不等式，综合可得出原不等式的的解集；
（2）利用绝对值三角不等式可求得函数的最小值为，进而可得出，再将代数式与相乘，利用基本不等式求得的最小值，进而可证得结论成立.
【详解】
（1）当时，由，得，即，解得，此时；
当时，由，得，即，解得，此时；
当时，由，得，即，解得，此时.
综上所述，不等式的解集为；
（2），
当且仅当时取等号，所以，.
所以，
当且仅当，即，时等号成立，所以.
所以，即.
本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用基本不等式证明不等式成立，涉及绝对值三角不等式的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
22．（1），，，；（2）
【解析】
（1）根据第1组的频数和频率求出，根据频数、频率、的关系分别求出，进而求出不低于70分的概率；
（2）由（1）得，根据分层抽样原则，分别从抽出2人，2人，1人，并按照所在组对抽出的5人编号，列出所有2名负责人的抽取方法，得出第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的抽法数，由古典概型概率公式，即可求解.
【详解】
（1），，，
由频率分布表可得成绩不低于70分的概率约为：
（2）因为第3、4、5组共有50名学生，
所以利用分层抽样在50名学生中抽取5名学生，每组分别为：
第3组：人，第4组：人，第5组：人，
所以第3、4、5组分别抽取2人，2人，1人
设第3组的3位同学为、，第4组的2位同学为、，
第5组的1位同学为，则从五位同学中抽两位同学有10种可能抽法如下：
，，，，，，
，，，，
其中第4组的2位同学、至少有一位同学是负责人有7种抽法，
故所求的概率为.
本题考查补全频率分布表、古典概型的概率，属于基础题.
分数不少于120分
分数不足120分
合计
线上学习时间不少于5小时
4
19
线上学习时间不足5小时
合计
45
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
组号
分组
频数
频率
第1组
15
0.15
第2组
35
0.35
第3组
b
0.20
第4组
20
第5组
10
0.1
合计
1.00
分数不少于120分
分数不足120分
合计
线上学习时间不少于5小时
15
4
19
线上学习时间不足5小时
10
16
26
合计
25
20
45