北京市房山区2026届高三下学期一模数学试卷（Word版附解析）

这是一份北京市房山区2026届高三下学期一模数学试卷（Word版附解析），共11页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要
求的一项.
1. 已知集合 ，则集合 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】集合 ，
因为集合 ，所以 .
2. 若复数 满足 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】 ，
3. 的二项展开式中的一项是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
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【详解】因为 ，
所以 ABC 不是 的二项展开式中的项， 是 的二项展开式中的项.
4. 若直线 是圆 的一条对称轴，则实数 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】因为直线 是圆 的一条对称轴，
所以圆心 在直线 上，
所以 ，解得 ．
5. 若 是以 为公差的等差数列， ，则等差数列 的公差为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据等差数列的性质建立关于 的等式，再化简整理即可.
【详解】 是公差为 的等差数列，所以
则 ，
所以 公差为 .
6. 已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线交于 两点，若 ，则
（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】抛物线 的焦点 ，设 ，
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由 ，得 ，解得 ，因此 轴，
由对称性得 ，所以 .
7. 设 是两个不同的平面， 是三条不同的直线， ， ， ，则
“ ”是“ 或 ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】助空间直角坐标系中坐标平面的垂直关系，根据向量垂直即数量积为 0，建立坐标之间的关系即可
判断.
【详解】如图，在正方体 中，以 为原点， 所在直线分别为 轴建立
空间直角坐标系，
取底面 ，即 平面为 ，侧面 ，即 平面为 ，
则 ，即 轴.
因为 ， ，
所以可设 的方向向量为 （ 不同时为 0）， 的方向向量为 （ 不同时为 0），
则 或 ，
而 的方向向量为 轴或 与 轴重合 ；
的方向向量为 轴或 与 轴重合 .
所以 或 或 ，所以 或 .
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综上，“ ”是“ 或 ”的充要条件.
8. 年我国新能源汽车产量突破 万辆．某车企研发了一款新型电池，使用 年后的容量为
，其中 为常数．已知该电池使用 年后容量衰减为初始 时 容量的 ．若要
保证电池容量不低于初始容量的 ，则该电池最长可使用约（ ）
（参考数据： ， ）
A. 年 B. 年
C. 年 D. 年
【答案】C
【解析】
【分析】先求出 ，再根据题意可得 ，再根据指数函数的单调性解不等式即可.
【详解】由题意 ，解得 ，
要保证电池容量不低于初始容量的 ，
则 ，则 ，所以 ，
即 ，
所以 ，
所以要保证电池容量不低于初始容量的 ，则该电池最长可使用约 年.
9. 设 ，函数 则 （ ）
A. 是偶函数，且有最大值 B. 是偶函数，且没有最大值
C. 是奇函数，且有最大值 D. 是奇函数，且没有最大值
【答案】B
【解析】
【分析】根据分段函数节点，结合函数奇偶性的定义分类讨论可以判断函数为偶函数；结合分段函数在不
同区间的单调性和最值即可判断是否有最大值.
【详解】函数 定义域为 ，关于原点对称，对任意 可得：
若 ，则 ，代入得：
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若 ，则 ，代入得：
若 ，代入得：
对所有 都满足 ，因此 是偶函数.
①当 时， ， ，函数单调递增，因此 ，开区间
取不到 ，因此无法达到 ；
②当 时， ， ，函数单调递减，
所以 ，同理开区间 也无法取得 ；
③当 时， ，由 得： ，即 ，
所以中间段最大值也小于 ,
综上所述，所有函数值都小于 ，且不存在 使得 ，所以 没有最大值.
10. 已知平面直角坐标系 中， ， ， ，则 的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】取 中点 ，由 可得点 轨迹为圆，结合极化恒等式可得 ，
再结合点和圆的位置关系求解范围即可.
【详解】如图所示，
由 得 ， 是直角三角形，斜边 ，取 中点 ，
根据直角三角形斜边中线性质，可得 ，
即 在以原点 为圆心、半径 的圆上.
根据向量极化恒等式，对任意 ， 为 中点，
有
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，代入 ，得：
因为 ， 在 为圆心、半径 1 的圆上，
所以 的范围是： ，
即 ， 故 .
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.
11. 双曲线 的离心率为__________．
【答案】
【解析】
【分析】由双曲线的性质求解.
【详解】双曲线 的离心率为 .
故答案为：
12. 在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，终边过点 ，则 ____；将点 绕着
原点 逆时针旋转 得到点 ，则点 的纵坐标为____．
【答案】 ①. ②.
【解析】
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【详解】由三角函数定义知： ；
， ， ， ，
点 的纵坐标为 .
13. 人工智能在社会生活中的应用越来越广泛，某 AI 科技公司开发了一套人机交互软件，它会针对用户输
入的问题从数据库中自动检索并生成答案．统计表明，当输入的问题无语法错误时，软件生成正确答案的
概率为 ；当输入的问题存在语法错误时，软件生成正确答案的概率为 ，且每次生成答案相互独立．已
知某用户每次输入的问题无语法错误的概率为 ，估计对于该用户此软件生成正确答案的概率为____．
【答案】 ##
【解析】
【分析】确定两个互斥的完备事件组分类求解概率，再结合全概率公式求解软件生成正确答案的概率.
【详解】第一种情况：输入无语法错误且生成正确答案
已知输入无语法错误的概率为 ，该情况下生成正确答案的概率为 ，
所以该情况的概率为：
第二种情况：输入有语法错误且生成正确答案
输入有语法错误的概率为 ，该情况下生成正确答案的概率为 ，
所以该情况的概率为：
两种情况互斥，所以软件生成正确答案的总概率为：
14. 设函数 ，若 在区间 上有且只有一条对称轴，则 的一个取值为
____．
【答案】1
【解析】
【分析】求出相位的取值范围，再由对称轴情况列出不等式求解.
【详解】令 ，解得
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有对称轴在区间 内，即 ，整理得： .
因为在区间 内有且只有一条对称轴，即满足不等式的整数 只有 1 个，
所以大于 的最小整数是 ，即 满足条件，
故 ，解得：
答案不唯一，满足 即可.
15. 如图，在正方体 中， ，点 满足 ，
为 的中点，给出下列四个结论：
①若 ，则点 的轨迹的长度为 ；
②若 ，则点 的轨迹的长度为 ；
③若 ，则 的最小值为 ；
④若 ，则 的最小值为 .
其中正确结论的序号是____．
【答案】①②③
【解析】
【分析】由题意可得 在四边形 边界及其内部；对①：由正方体性质可得 平面 ，
结合 中点在平面 内，可得点 的轨迹为四边形 边界及其内部与平面 交线，
即为线段 ，计算即可得；对②：由正方体性质可得 平面 ，则点 的轨迹为四边形
边界及其内部与平面 交线，即为线段 ，其中 为 中点，解出即可得；对③：利用椭圆定义
可得点 的轨迹为椭圆与长方形 边界及内部相交部分，计算即可得解；对④：利用双曲线定义可
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得点 的轨迹为双曲线右支与长方形 边界及内部相交部分，计算即可得解.
【详解】由 ，则 在四边形 边界及其内部；
对①：由 ， ， ， 、 平面 ，
可得 平面 ，又 中点在平面 内，
则平面 内任一点到点 与点 距离相等，又 在四边形 边界及其内部，
则当 时，点 的轨迹为四边形 边界及其内部与平面 交线，
即为线段 ，又 ，故点 的轨迹的长度为 ，故①正确；
对②：由 ， ， ， 、 平面 ，
可得 平面 ，又 平面 ，故 ，
由①知 平面 ，又 平面 ，故 ，
又 ， 、 平面 ，故 平面 ，
若 ，则点 的轨迹为四边形 边界及其内部与平面 交线，
即为线段 ，其中 为 中点， ，
即点 的轨迹的长度为 ，故②正确；
对③：若 ，由 ，
则点 轨迹为以 、 为焦点的椭圆一部分，
以 为原点建立如图平面直角坐标系，
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则该椭圆方程为 ，
点 的轨迹为该椭圆与长方形 边界及内部相交部分，
设 ，则有 ， ，
则 ，
即 的最小值为 ，故③正确；
对④：若 ，由 ，
则点 轨迹为以 、 为焦点的双曲线右支一部分，
以 为原点建立如图平面直角坐标系，
则该双曲线方程 ，
点 的轨迹为该双曲线右支与长方形 边界及内部相交部分，
由双曲线性质可得，当 为右顶点时， 有最小值，
即 最小值为 ，故④错误.
三、解答题共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
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16. 已知函数 ．
（1）求 的最小正周期和值域 ；
（2）设 中， ， ， ，求 的面积 ．
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二倍角公式及辅助角公式化简 ，再根据正弦型函数性质计算即可求解；
（2）由正弦型函数性质计算可得 ，再根据余弦定理及三角形面积公式计算求解.
【小问 1 详解】
，
所以函数 的最小正周期为 ，
因为 ，所以函数 的值域为 ；
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ， ，
因为 ， ，所以 ，
.
17. 如图，在五面体 中， 为正方形， 为矩形， ， ．
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（1）求证： ∥平面 ；
（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使五面体 存在且唯一确定．
求直线 与平面 所成角的正弦值．
条件①： ；
条件②： ；
条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先根据正方形和矩形性质得 ∥ 且 ，推出四边形 是平行四边形，进而
得 ∥ ，最后由线面平行判定定理得出 ∥平面 .
（2）本题分别选择①，②和③，通过建立空间直角坐标系，求出平面法向量与直线方向向量，再利用线面
角计算 与平面 所成角的正弦值.
【小问 1 详解】
因为四边形 为正方形，
所以 ∥ 且 ，
又因为四边形 为矩形，
所以 ∥ 且 ，
因此 ∥ 且 ，
所以四边形 是平行四边形，故 ∥ ，
又因为 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 .
【小问 2 详解】
选择条件①： 由 ，又因为 ，
， 平面 ，故 平面 ，
因为 ，
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所以以 为原点，分别以 ， ， 所在的直线分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
由 ， 得： ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则： ，
令 ，解得 ， ，得 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
由线面角公式： .
选择条件②：因为
所以以 为原点， 为 轴， 为 轴，平面 的法向量为 轴，建立空间直角坐标系
设 ， ， ， ，由 得 ，
由 得 ，即： ，
化简得 ，代入 可得：
（ ），所以 ， ，
， ，
设平面 的法向量为 ，则: ，
令 ，得 ， ，即 ，
，设直线 与平面 所成角为 ，
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由线面角公式可得： .
选择条件③：以 为原点， 为 轴， 为 轴，平面 的法向量为 轴，建立空间直角坐标
系，
由已知条件可得： ， ， ， ，
因为 是矩形，所以 ， ，
设 ，则 ，
是向量 与 的夹角，
又因为 ， 为锐角，
故 ， 由数量积公式可得：
，
将 代入方程化简得：
，解得 或 ，
当 时， ，则 ，
当 时， ，则 ，
所以 ， ，
当 时： ，五面体 不唯一，不合题意.
18. 消费者信心指数是反映消费者信心强弱的指标．某市为了解消费者对于当前经济生活的评价以及对未来
一段时期经济前景的预期,在全市范围内抽取 名城乡居民进行调查,并运用数学方法对调查数据进行
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量化处理,编制成消费者信心指数．该市 年各季度消费者信心指数数据如下：
第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
2023 年消费者信心指数 115.1 114.6 109.0 108.4
2024 年消费者信心指数 108.4 105.9 95.5 94.7
2025 年消费者信心指数 99.1 95.3 95.8 103.3
消费者信心指数越大，表明消费者信心越强．信心指数 时，消费者信心处于弱信心区间，信心
指数 时，消费者信心处于强信心区间．假设每个季度消费者信心指数相互独立．用频率估计
概率．
（1）从上述 个季度中随机抽取 个季度，估计该季度消费者信心处于强信心区间的概率；
（2）从 2024 年和 2025 年各随机抽取 1 个季度，记这 2 个季度中消费者信心处于强信心区间的个数为 ，
求 的分布列和数学期望；
（3）2025 年 3 月国家发布《提振消费专项行动方案》．记 2025 年第 季度消费者信心指数较上一季度的增
长率为 ．据估计：2026 年第一季度消费者信心指数较上一季度的增长率约等于 中
的最大值，写出 2026 年第一季度消费者信心指数的估计值．（结论不要求证明）
【答案】（1）
（2） 的分布列为：
0 1 2
（3）111.4
【解析】
【小问 1 详解】
由表可知，上述 12 个季度中消费者信心处于强信心区间( )的数据有：
2023 年的 115.1，114.6，109.0，108.4；2024 年的 108.4，105.9；2025 年的 103.3；共 7 个.
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上述 12 个季度中随机抽取 1 个季度，该季度消费者信心处于强信心区间的概率为 .
【小问 2 详解】
由表可知，2024 年 4 个季度中有 2 个处于强信心区间，2 个处于弱信心区间；2025 年有 1 个处于强信心区
间，3 个处于弱信心区间.
设从 2024 年抽取的季度处于强信心区间为事件 ，则 ；从 2025 年抽取的季度处于强信心区
间为事件 ，则 ；
则 的可能取值为 0，1，2.
，
的分布列为：
0 1 2
数学期望
【小问 3 详解】
2025 年各季度的增长率分别为：
， ，
， .
，即
2026 年第一季度消费者信心指数较上一季度的增长率约为 0.0783；
2026 年第一季度消费者信心指数的估计值为： .
19. 已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
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（2）设 ，分别讨论函数 与 在 上的单调性；
（3）证明：当 时， ．
【答案】（1）
（2） 在 上单调递增，在 上单调递减； 在 上单调递增，在 上单
调递减．
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）先求出函数 在 处的函数值和导数值，再根据点斜式方程求出切线方程；
（2）分别对 和 求导，根据导数与函数单调性的关系判断函数的单调性；
（3）构造 ，通过求导判断其单调性，进而证明不等式．
【小问 1 详解】
由 ，得 ，
因为 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
【小问 2 详解】
由（1）知 ，
令 ，得 ；令 ，得 ．.
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
由 ，得 ，
令 ，得 ；令 ，得 ．
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
【小问 3 详解】
因为 ，所以 ，
①当 时， ，由（2）知 在 上单调递增，
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所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
②当 时，令 ，
则 ， ，
由（2）知 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，
即当 时，
综上，当 时， ．
20. 已知椭圆 ： 的离心率为 ， 分别是 的上、下顶点， 分别是
的左、右顶点，且 ．设 为椭圆 上的动点，过点 的直线 与椭圆
有且只有一个公共点，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）求证：直线 与 的夹角为定值．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用椭圆基本量关系，由已知条件列方程求解 ；
（2）坐标法 + 斜率验证，通过 “设点→求线→求交点→算斜率→证垂直” 完成证明．
【小问 1 详解】
由 且 是左右顶点，得 ，即 ，
由离心率 ，代入 ，得 ，
由 ，得 ，解得 ，
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所以椭圆 的方程为 ．
【小问 2 详解】
如图，作出符合题意的图形，
由 在椭圆上，得 ，
依题意可得直线 的斜率存在，设 的方程为 ，则 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
解得 ， ，
设 ，由 ，得 ，
直线 的方程分别为 ， ，
因为点 不在直线 上，所以 ，
由 ，得 ，
所以 ，
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所以 ，因为 ，所以 轴，
又直线 的斜率为 ，
所以直线 与直线 的夹角的大小为 ，为定值．
21. 已知数列 ： ， ，若集合 ，则称数列
为数列 的一个置换．
（1）求数列 ： 的任意置换的前 项和的最大值；
（2）已知数列 ： ．写出 的一个置换，使得该置换的前 项的和 满足：存在
， ．对任意 ， ，数列 是否也存在一个置换，使得该置换的前 项的和
满足：存在 ， ？说明理由；
（3）在项数为 的数列 中， ，证明：“数列 为常数列”的充
要条件为 “在数列 的以任意项为末项的所有置换中，都存在置换，使得 ”．
【答案】（1）252；
（2）1，3，7，2，4，5，6；
（3）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）分析前 6 项和小于等于 即可；
（2）写出满足题意的置换，再证明即可；
（3）分 的所有项均为偶数和 的所有项均为奇数讨论即可.
【小问 1 详解】
数列 每个置换的前 6 项和 ．
当置换为 4，8，16，32，64，128，1，2 时， ．
所以 的最大值为 252．
【小问 2 详解】
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数列 的一个置换：1，3，7，2，4，5，6，
存在 ，使得 ．对任意 ，数列 ，
存在一个置换为： ，
存在 ，使得 ．
【小问 3 详解】
必要性：
因为数列 为常数列，每个置换是常数列，存在 ．
充分性：＂ 的以任意项为末项的所有置换中，都存在置换，使得 ．＂称 具有性质 ．
由 ，得 ．又因为 为偶数， 为定值，所以数列 的所有项的
奇偶性相同.称 具有性质 .
对具有性质 的数列施加变换 ：若 的所有项均为偶数，
令 ；若 的所有项均为奇数，令 ．得到数列 ．
①若 的所有项均为偶数， ，
则＂ 具有性质 ＂等价于＂ 具有性质 ＂，
又因为 ，所以 ．且数列 具有性质 ．
②若 的所有项均为奇数， ，则＂ 具有性质 ＂等价于＂ 具有性质 ＂.
又因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号．
且数列 具有性质 .
总之，对数列施加变换 ，数列保持性质 和性质 不变.
对数列 施加 次变换 后，得到常数列 ．
常数列 ，经过 次相反的变换： 或者 ，
每次得到的数列都是常数列，最终得到数列 ，且数列 为常数列．
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