浙江省湖州市2026年九年级学业质量监测 数学试题卷（含解析）中考模拟

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2．试题卷中所有试题的答案填涂或书写在答题卷的相应位置，写在试题卷上无效．
卷I
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）
1. 下列有理数中，最小的数是（ ）
A. B. 0C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据有理数大小比较的基本法则求解即可．
【详解】解：∵，，且，
∴，
将四个数从小到大排列可得：，
∴最小的数是．
2. 据统计，2026年春节假期，某市全市重点景区、星级酒店、乡村民宿等累计接待全域游客超7225000人次．用科学记数法可将“7225000”表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，解题关键是正确确定和的值，当原数的绝对值大于等于10时，小数点向左移动位数即为n的值，由此即可求解．
【详解】解：，
故选：B．
3. 某积木配件如图所示，它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，根据主视图是从正面看到的图形即可得到答案．
【详解】解：从上面看，下部分是一个长方形，上部分是两个较小的长方形，即看到的图形如下：
，
故选：C．
4. 下列运算中，结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】解：∵ ，
∴A运算错误，不符合题意；
∵ ，
∴B运算正确，符合题意；
∵ ，
∴C运算错误，不符合题意；
∵ ，
∴D运算错误，不符合题意.
故选：B．
5. 如图，在平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】解：根据点关于y轴的对称点的特点，横坐标变为相反数，纵坐标不变得到，点关于y轴的对称点的坐标是，
故选：D ．
6. 如图，已知折扇骨柄长为，折扇完全张开时的度数为，此时弧的长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据弧长公式计算即可．
【详解】解：由题意可得，弧的长为．
7. 古代用漏壶计时，水匀速滴出，水位均匀下降；某漏壶开始时水深30厘米，2小时后水深26厘米．设从开始到水深变为20厘米共经过小时，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】水匀速滴出，单位时间内下降的水位深度不变，利用下降速度相等列方程即可．
【详解】解：由题意得，．
8. 为坚持“五育”并举，促进学生全面发展，某校决定举办校内艺术节．其中，甲报名参加了独唱比赛，共有20位评委进行打分，打分情况如图所示．下列说法中，正确的是（ ）
A. m的值是3B. 20个分数中，最高分是90分
C. 20个分数中，中位数是85分D. 20个分数中，众数是70分
【答案】C
【解析】
【分析】用总人数减去4、6、8可得的值判断A；20个分数中100分有2人，故最高分是100分，可判断B；根据中位数定义可求出中位数，可判断C；最多的分数是90分，故可判断D．
【详解】解：A、，不是3，故选项A错误；
B、20个分数中100分有2人，故最高分是100分，不是90分，故选项B错误；
C、20个分数，按从小到大排列，第10和11个分数为80分和90分，故中位数为（分），故选项C正确；
D、20个分数中，最多的分数是90分，不是70分，故选项D错误．
9. 如图，为半圆的直径，为延长线上一点，切半圆于点于点,交半圆于点，已知，则的长为（ ）
A. B. 4C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了圆的切线性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，解题的关键是连接，利用切线性质得再证或利用平行线分线段比例求．由，得则，结合勾股定理求出，设表示在中用勾股定理建立方程求解．
【详解】解：切半圆于点D，
，
，
在中，
，
设，则，
，
，
，
．
10. 已知二次函数的图象顶点为M，图象上有一点满足，若是函数图象（段）上的一点（不与P，M重合），令，则的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数顶点式得到，由点P在函数图象上得到 ，结合题意得到，则，由此确定点坐标为 ，根据点 是段上不与P、M重合的点，得到，即，结合题意即可求解．
【详解】解：∵函数 的顶点为，且点 在函数图象上，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，两边同除以 得：，则，
代入得 ，则，
∴点坐标为 ，且，
∵ 是段上不与P、M重合的点，
∴ ，即，
又∵在函数图象上，，
∴ ，即，
故选：D．
卷Ⅱ
二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）
11. 化简 （a+b）(a-b)= ________．
【答案】a2-b2．
【解析】
【分析】根据平方差公式直接将（a+b）（a-b）展开即可．
【详解】解：（a+b）（a-b）=a2-b2．
故答案为a2-b2．
本题主要考查了平方差公式．运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方，是识记的内容，非常简单．
12. 不等式组的解集是____．
【答案】
【解析】
【分析】先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再根据确定一元一次不等式组解集的法则，得到不等式组的公共解集即可．
【详解】解：解不等式，
移项得，
合并同类项得．
解不等式，
移项得，
合并同类项得，
系数化为得．
根据“同大取大”，可得不等式组的解集为．
13. 设有3个型号相同的杯子，其中一等品2个，二等品1个．从中任意取一个杯子，记下等级后放回，再从中任取一个杯子．则两次取出都是二等品杯子的概率是____．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意画出树状图，得出所有等可能的结果数，找出两次取出都是二等品的结果数，再根据概率公式计算即可．
【详解】解：记两个一等品分别为，，二等品为，画树状图如下：
由树状图得，所有等可能结果共有种，其中两次取出都是二等品的结果仅有1种，
所以，两次取出都是二等品杯子的概率为．
14. 如图，在中，以点A为圆心，适当长为半径作弧，与分别交于点E，F．再分别以E，F为圆心，大于的长为半径作弧，两条弧交于内一点G．作射线，交于点H，交的延长线于点K．已知，，则的长为____．
【答案】2
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质得到，，即，结合作图得到平分，则，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，即，
根据作图得到，平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴ ．
15. 若一个两位数十位上的数字是m，个位上的数字是n，则这个两位数可记作，即．已知，，则两位数的数值是____．
【答案】63
【解析】
【详解】解：由题意得，，
∵，
∴，
整理得 ，即，
联立得方程组 ，
将两个方程相加得，，
解得，，
把代入，得，
∴．
16. 如图，在正方形中，，点F在其外角的平分线上，以为边作矩形，点G恰好落在边上，边与交于点P，连接．若，则的长为____．
【答案】
【解析】
【分析】根据矩形的性质，勾股定理得到，由角平分线的定义得到是等腰直角三角形，可算出，过点作，则是等腰直角三角形，四边形是矩形，由此得到，根据勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，，
在中，，
∵是的角平分线，
∴，
在中，，
∴是等腰直角三角形，
∴，则，
∴，
如图所示，过点作，
∴，是等腰直角三角形，
∴四边形是矩形，，
∴，
∴，
在中， ．
三、解答题（本题有8小题，共72分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】利用绝对值、有理数的乘法、二次根式的乘法计算后，再计算加减法即可．
【详解】解：
．
18. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解法解方程是解题的关键．
由，变形为，进一步计算即可求解．
【详解】解：
∴或
∴，．
19. 某科学小组进行了小孔成像相关实验探究，装置如图所示，物体，幕布，光线经小孔O成像，物体成像后的顶端与E重合，底端落在点D处．
（1）求证：．
（2）已知，求物体的高度（即线段的长）．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据题意得到，再根据相似三角形的判定即可求解；
（2）根据相似三角形的性质得到，结合图形得到，代入计算即可求解．
【小问1详解】
证明：∵，，
∴，
∴，，
∴．
【小问2详解】
解：∵，
∴，
，
∴，
，，
∴，
∴．
20. “湖笔”是中国传统文房四宝之一．某家毛笔工坊为提升品质，现引入智能系统对毛笔的质量进行评分（满分10分），得分在8分及以上的毛笔算作合格，并在四个生产车间中，每个车间随机抽取10支毛笔，统计合格的毛笔数量，结果如下：
（1）若车间①抽取的10支毛笔的得分分别为（单位：分）：10，8，8，7，8，9，10，7，8，9，求这10支毛笔的得分的平均分．
（2）已知每个车间每天定额生产100支毛笔，根据统计数据，估计这四个车间每天生产毛笔的合格总量．
【答案】（1）8.4分
（2）360支
【解析】
【分析】（1）根据平均数的求法解答即可；
（2）运用样本估计总体可得答案．
【小问1详解】
解：（分），
（分）．
答：这10支毛笔的得分的平均分为8.4分；
【小问2详解】
解：（支），
答：估计这四个车间每天生产毛笔的合格总量为360支．
21. 如图，菱形的对角线相交于点O，延长至点E，使，连接．
（1）求证：．
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质得到是的中位线，由中位线的性质即可求解；
（2）根据题意得到，由勾股定理得到，由中位线的性质得到，则，根据菱形面积的计算即可求解．
【小问1详解】
证明：∵四边形是菱形，
∴，，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴，即．
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴菱形的面积为：．
22. 定义：对于y关于x的函数，在范围内，函数的最大值记作M，最小值记作m．
（1）对于一次函数，在的范围内，分别求出M和m的值．
（2）对于二次函数，甲、乙两位同学有以下说法：
甲、乙两位同学的说法正确吗?请分别作出判断，并通过计算说明对“甲同学说法”的判断理由
【答案】（1）；
（2）甲同学说法错误；乙同学说法错误，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据一次函数的增减性得到最值即可；
（2）先配方，得到二次函数的对称轴，再根据二次函数的性质分别判断甲、乙同学的推断即可．
【小问1详解】
解：因为一次函数的函数值y随自变量x的增大而增大，
所以当时，；当时，．
【小问2详解】
解：甲同学说法错误；乙同学说法错误．
对“甲同学说法”的判断理由如下：
，
∵抛物线开口向上，在的范围内，
∴当时，函数最小值为，
当时，，
当时，
∴在的范围内函数最大值；
对“乙同学说法”的判断理由如下：
二次函数，对称轴为，
时，则在的范围内，随的增大而减小，
时，二次函数有最大值，时，最小值，
∵，
∴，即，
∵，
∴一元二次方程没有实数根，
∴不符合题意；
时，
时，二次函数有最大值，当时，有最小值，
，符合题意；
时，
当时，有最大值，当时，最小值，
，
若，则，
解得，
只有当时符合题意；
综上，“在的范围内，若，则，”这种说法是错误的，
即甲同学说法错误，乙同学说法错误．
23. 为探究绕中心轴匀速转动时机械臂展开半径对转动速度的影响，某数学兴趣小组开展了机械双臂旋转实验【机械臂档案】如图1，机械双臂质量均匀分布，对称展开可绕中心轴自转．上臂，下臂长均为．双臂对称张开时，始终保持水平，即．
【资料链接】该机械双臂近似满足：匀速绕轴旋转时的半径r与转动速度v的乘积为定值，即，k为常数（图1中，r为最远点C到中心轴的垂直距离，v为最远点C的旋转速度，中心轴粗细忽略不计）
【实验数据】经测试，机械臂的旋转半径r与转动速度v部分数据如下表：
（1）请根据以上信息，求k的值（单位：）．
（2）为确保测试实验不失控，机械臂的转动速度不能超过，则旋转半径r至少为多少?
（3）某动作设计需要机械双臂的转动速度v为，工程师调整机械臂夹角，以改变旋转半径r．求满足设计要求时，上臂与中心轴夹角的正弦值．
【答案】（1）
（2）旋转半径r至少为
（3）
【解析】
【分析】（1）根据，结合表格信息代入计算即可；
（2）当时，，结合反比例函数图象的性质求解即可；
（3）根据题意，过点B作于点E，作于点F，，得四边形为矩形，，再根据正弦值的计算即可求解．
【小问1详解】
解：．
【小问2详解】
解：当时，，
因为反比例函数在的范围内，v随着r的增大而减小，
所以当时，，
即旋转半径r至少为．
【小问3详解】
解：当时，，即，
如图，过点B作于点E，作于点F，
因为，
所以，
因为四边形为矩形，
所以，
所以．
24. 如图，在中，D是边上一点（不与点A，B重合），经过点A，C，D．
（1）如图1，连接，若，，
①求的度数；
②若又满足，，求的长．
（2）如图2，过点D作，交于点E，连接，若，求证：．
【答案】（1）①；②
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）①根据等边对等角得到，根据圆周角定理，等边对等角得到，再根据角的和差计算即可；
②延长交于点M，由角的和差可得，根据特殊角的三角函数值的计算得到，结合题意得到，由此即可求解；
（2）如图，连接，设，由圆周角定理，三角形内角和定理等知识得到四边形是平行四边形，结合题意即可求解．
【小问1详解】
解：①∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
②如图，延长交于点M，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
证明：如图，连接，
设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．车间
①
②
③
④
合格数量
8
10
9
9
甲同学说：“在的范围内，，．”
乙同学说：“在的范围内，若，则，．”
旋转半径r（）
30
40
50
转动速度v（）
200
150
120