浙江省湖州市2025-2026学年上学期九年级数学期末试卷（试卷+解析）

这是一份浙江省湖州市2025-2026学年上学期九年级数学期末试卷（试卷+解析），共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在这四个数中，最小的数是( )
A. B. C. 0D.
2. 深度求索（）的崛起，其意义涉及国家战略乃至全球AI竞争态势的重塑．截至2月9日，的累计下载量超1.1亿次，周活跃用户规模最高近9780万，9780万用科学记数法表示为（ ）
A. B. 9C. D.
3. 如图是由7个小正方体搭建而成的几何体，则它的正（主）视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 若，则下列结论错误的是（ ）
A B. C. D.
5. 某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组五名同学在最近一周内做家务的时间依次为3，5，6，5，4（单位：小时），则这组数据的中位数为（ ）
A. 4.5小时B. 5小时C. 5.5小时D. 6小时
6. 如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知点在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
8. 如图，在正方形中，是边上一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于，连接，现在有如下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的选项是（ ）
A. ①③④B. ②③④C. ①②③D. ①②④
9. 设二次函数 的图像与一次函数 的图像交于点 ，若函数 的图像与 轴仅有一个交点，则 的值是（ ）
A. 6B. 8C. D. 7
10. 如图1，在中，D是边的中点．点E在斜边上，从点A出发，运动到点C时停止，设为，为．如图2，关于的函数图象与轴交于点，且经过和最高点两点．下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D. y的最小值为64
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11. 因式分解： _____________
12. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____________
13. 若点在抛物线，则的最大值为______．
14. 如图，在中，，，点在边上，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的度数为_____________
15. 如图，反比例函数与一次函数（为常数，且）的图象相交于，两点．若将直线向上平移个单位长度后，与反比例函数的图象没有交点，则的取值范围是_____．
16. 如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连结相交于点，连结． 已知于点，；下列结论：①；②若点为的中点，则；③若，则；④；其中正确的是_______________．
三、解答题（本题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中．
18. 小明解分式方程如下图所示，小慧认为小明过程有错误，请指出过程中首次出错的是__________（填序号），并给出正确的解题过程．
19. 如图，在中，点E，F分别在，延长线上，且．连结，交于点H，连结．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，求度数．
20. 为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次参加比赛的学生人数是_________名；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角的度数；
（4）在C组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．
21. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置．如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动（摆线的长度变化忽略不计）．如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，过点B作于点D．当摆球运动至点C时，过点C作于点E，（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）．
（1）若，，求的长；
（2）若，，，求的长．（，，，，，，结果精确到0.1cm）
22. 小明爸爸外出散步，从家出发走向离家1200米的报亭，走了15分钟后发现没带上眼镜，就马上电话小明让其送来．小明接到电话带上眼镜立即从家里出发（通话时间忽略不计）．小明爸爸又走了5分钟到达报亭，在没戴眼镜的情况下看报10分钟后，小明终于给爸爸送上了眼镜．戴上眼镜后继续看报10分钟，然后又用了40分钟返回到家里．而小明把眼镜交给爸爸后，按原来的速度继续步行10分钟到达离家米的文具商店购买圆规（小明在文具商店的时间忽略不计），然后仍按原来的速度由原路返回，在离家还有米处时追上爸爸后一起回到家里．已知小明和爸爸离开家的路程（米）与各自的步行时间（分）之间的函数图象如图所示．
（1）求和的值；
（2）求和的值；
（3）小明从文具商店出来到追上爸爸的时间段中，求小明离开家的路程（米）关于步行时间（分）的函数表达式．
23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）当时，
①求抛物线的顶点坐标．
②将抛物线向下平移个单位，若平移后抛物线过点，且与轴两交点之间的距离为6，求的值．
（2）已知点，在抛物线上，且，求取值范围．
24. 已知内接于圆O ，作外角的角平分线交圆O于点A ，连接．
（1）如图1，求证：为等腰三角形．
（2）如图2，若过圆心O，交于点F，，，求．
（3）如图3，作直径交于点G，若，且，，求圆O的半径．解方程：
解：去分母得， ------①
移项得， ----------------②
所以， --------------------③
经检验：不是原方程的根，原方程无解．----④
2025-2026学年九年级数学期末试卷
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题列出的四个选项中只有一个是符合要求的，不选、多选、错选均不给分)
1. 在这四个数中，最小的数是( )
A. B. C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据负数小于0小于正数，负数的绝对值大的反而小，进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴最小的数是；
故选A．
本题考查比较实数的大小．熟练掌握负数小于0小于正数，负数的绝对值大的反而小，是解题的关键．
2. 深度求索（）的崛起，其意义涉及国家战略乃至全球AI竞争态势的重塑．截至2月9日，的累计下载量超1.1亿次，周活跃用户规模最高近9780万，9780万用科学记数法表示为（ ）
A. B. 9C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题考查了科学记数法，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可．
【详解】解：9780万用科学记数法表示为．
故选：C．
3. 如图是由7个小正方体搭建而成的几何体，则它的正（主）视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查的是简单几何体的三视图的作图，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形．根据主视图是从物体正面看所得到的图形解答即可．
【详解】解：根据主视图的定义可知，此几何体的主视图是，
故选：A．
4. 若，则下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断即可得．
【详解】解：A、由可得，则此项正确，不符合题意；
B、由可得，则，则此项错误，符合题意；
C、由可得，则此项正确，不符合题意；
D、因为，所以由可得，则此项正确，不符合题意；
故选：B．
5. 某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组五名同学在最近一周内做家务的时间依次为3，5，6，5，4（单位：小时），则这组数据的中位数为（ ）
A. 4.5小时B. 5小时C. 5.5小时D. 6小时
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查中位数定义，一组数据按大到小（或者小到大）顺序排列，中位数就是正中间的那个数．如果数据的个数是奇数，则中位数是中间那个数；如果是偶数，则中位数是中间两个数的平均值．
【详解】解：∵第一小组五名同学在最近一周内做家务的时间依次为3，5，6，5，4（单位：小时），
∴按小到大排序后得3，4，5，5，6，
即位于中间位置的数为5，
故选：B
6. 如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了求位似图形的对应坐标，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
根据位似变换的性质计算，得到答案．
【详解】解：∵，
∴与的位似比为，
∵B点坐标为，
∴点D坐标为，
故选：C．
7. 已知点在反比例函数的图象上，下列说法正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键．
先根据确定反比例函数图象上点的横、纵坐标符号关系，再逐一分析选项判断正误．
【详解】解：∵点在反比例函数 （）的图象上
∴，即图象上任意点的横、纵坐标异号
分析A选项：若，当时，
，
则，
故A错误
分析B选项：若，当，且时，
，
则，故B错误
分析C选项：∵
∴与异号
又∵图象上点的横、纵坐标异号
∴与异号，
即，
故C正确
分析D选项：∵
∴与同号
又∵图象上点的横、纵坐标异号
∴与同号，
即，
故D错误．
故选：C．
8. 如图，在正方形中，是边上一点，，，将正方形边沿折叠到，延长交于，连接，现在有如下四个结论：①；②；③；④．其中结论正确的选项是（ ）
A. ①③④B. ②③④C. ①②③D. ①②④
【答案】A
【解析】
【分析】根据折叠的性质，利用证明，得出，，即可判断①．根据全等三角形的性质得出，利用勾股定理得出，可得不是等边三角形，可得判断②．证明垂直平分，利用三角形内角和及等边对等角得出即可判断③．根据得出，求出即可判断④．综上即可得答案．
【详解】解：连接，
∵将正方形边沿折叠到，
∴，，，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，即，
∴，即，故①正确，
∵，，
∴，
设，则，，
∴在中，，
即，
解得：，
∴，
∴，
∴，，
∴不是等边三角形，
∴，故②错误，
∵，
∴，，
∴，即，
∵，，
∴垂直平分，
∴，故③正确，
∵，，
∴，故④正确，
综上所述，正确的选项是①③④，
故选：A．
本题考查翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理及线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．
9. 设二次函数 的图像与一次函数 的图像交于点 ，若函数 的图像与 轴仅有一个交点，则 的值是（ ）
A. 6B. 8C. D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了抛物线与轴交点问题，以及曲线上点的坐标与方程的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出：函数与轴的交点为，．
首先根据一次函数 的图像交于点 ，可得，然后根据函数的图象与轴仅有一个交点，可得函数与轴的交点为，进而可得，再结合求解即可．
【详解】解：一次函数的图象经过点，
，解得：，
当时，，，
当时，，
∵函数 的图像与 轴仅有一个交点，
的图象与轴的交点为，
∴
又∵，
∴
，
∴，解得：
∴，
故选：A．
10. 如图1，在中，D是边的中点．点E在斜边上，从点A出发，运动到点C时停止，设为，为．如图2，关于的函数图象与轴交于点，且经过和最高点两点．下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D. y的最小值为64
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了动点问题、勾股定理、二次函数、解直角三角形，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
结合图象可求出的长，过点作交于点，由图2知，点为最高点，当点和点重合时，最大，根据三角函数和勾股定理可求出和，进而判断选项B和选项C；用的值可判断选项A；当，即点和点重合时，有最小值，进而判断选项D．
【详解】解：由图2可知，当时，，即，
∴，
∵D是边的中点，
∴；
∵，
即，，，
此时，，
如图，过点作交于点，则有为等腰三角形，
∴，；
由图2知，点为最高点，
∵当点和点重合时，最大，
∴，，
∴，
∴，
整理得，
解得或（负值舍去），故选项C错误；
∴，，
∴，，故选项B正确；
∴，故选项A错误；
由上图可知，当，即点和点重合时，有最小值，即最小，
此时，
∴，
∴的最小值为，故选项D错误．
故选：B ．
二、填空题(本题有6小题，每小题3分，共18分)
11. 因式分解： _____________
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式的因式分解．把看作是整体，利用完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】解：
故答案为：
12. 若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为_____________
【答案】3
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系．利用根与系数的关系得到，，然后代入化简后的结果，即可．
【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根，
∴，
∴，即，
故答案为：3
13. 若点在抛物线，则的最大值为______．
【答案】
【解析】
【分析】先求得，再利用二次函数的性质求解即可．
【详解】∵点P(a，b)在抛物线，
∴，
∴
，
∵，
∴的最大值为．
故答案：．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
14. 如图，在中，，，点在边上，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的度数为_____________
【答案】##100度
【解析】
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理，旋转的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
根据等腰三角形的性质可得，再由三角形内角和定理，可得，然后根据旋转的性质可得，，可证明，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵将绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：
15. 如图，反比例函数与一次函数（为常数，且）的图象相交于，两点．若将直线向上平移个单位长度后，与反比例函数的图象没有交点，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数图象的平移问题，一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
先求出，则则平移后的直线为，反比例函数解析式联立得到，根据求出，即可求解的取值范围．
【详解】解：将点，代入得：，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
则平移后的直线为
则联立，
整理得：，
∴，
解得：或，
∴平移后的函数图象与反比例函数的图象没有交点，则的取值范围是：，
故答案为：．
16. 如图，是的直径，点，点是半圆上两点，连结相交于点，连结． 已知于点，；下列结论：①；②若点为的中点，则；③若，则；④；其中正确的是_______________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】由垂径定理，圆周角定理的推论得出，由是的直径，进而根据等角的余角相等进而判断①；点为的中点，得出，进而证明全等三角形的判定和性质，得出，进而根据三角形中位线定理得出，等量代换得出即可判断②，连接，根据垂径定理得出，根据得出，则，得出为等边三角形，由，即可得出继而判断③；勾股定理得出，当时，，即可判断④．
【详解】解：①∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
②∵点为的中点，
∴，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故②正确，符合题意；
③连接，
∵
∴
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴，故③正确，符合题意；
④∵，
∴，
当时，，故④错误，不符合题意；
故答案为：①②③．
本题考查了垂径定理，圆周角定理的推论，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是掌握并熟练应用以上知识点．
三、解答题（本题有8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. （1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）；（2），
【解析】
【分析】（1）根据完全平方公式、单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可；
（2）先通分括号内的式子，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：


；



，
当时，原式．
本题考查整式的混合运算、完全平方公式、二次根式的运算以及分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18. 小明解分式方程如下图所示，小慧认为小明过程有错误，请指出过程中首次出错的是__________（填序号），并给出正确的解题过程．
【答案】①；，过程见解析
【解析】
【分析】此题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤进行解答即可．
【详解】解：出错的是①，
解：
去分母得，，
移项得，
所以，，
经检验：是原方程的根
19. 如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且．连结，交于点H，连结．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质.
（1）根据平行四边形的性质得到，，求得得到四边形是平行四边形；
（2）根据平行四边形的性质得到，，求得，于是得到结论．
【小问1详解】
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形；
【小问2详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
20. 为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了A：机器人；B：航模；C：科幻绘画；D：信息学；E：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．
根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次参加比赛的学生人数是_________名；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角的度数；
（4）在C组最优秀的3名同学（1名男生2名女生）和E组最优秀的3名同学（2名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．
【答案】（1）80；（2）见解析；（3）72º；（4）图表见解析，
【解析】
【分析】（1）根据题目中已知B的占比和人数已知，可求出总人数；
（2）用总人数减去其他人数可求出D的人数，然后补全条图即可；
（3）先算出A的占比，再用占比乘以360°即可；
（4）根据列表法进行求解即可；
【详解】（1）由题可知：（人），
∴参加学生的人数是80人；
（2）由（1）可得：D的人数为，画图如下：
（3）由（1）可得，A的占比是，
∴．
（4）列表如下：
得到所有等可能情况有9种，
其中满足条件的有5种：（C女1，E男1），（C女2，E男1），（C女1，E男2），C女2，E男2），（C男，E女）
所以所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率是．
本题主要考查了条形统计图与扇形统计图的结合，在解题过程中准确理解题意，列表格求概率是关键．
21. 单摆是一种能够产生往复摆动的装置．如图1，在支架的横杆点O处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动（摆线的长度变化忽略不计）．如图2，摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，过点B作于点D．当摆球运动至点C时，过点C作于点E，（点O，A，B，C，D，E在同一平面内）．
（1）若，，求的长；
（2）若，，，求的长．（，，，，，，结果精确到0.1cm）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用．
（1）设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解；
（2）在中，利用三角函数的定义求得，，根据
，列式计算即可求解．
【小问1详解】
解：设，则，
在中，由勾股定理得，
，
，
；
【小问2详解】
解：摆球静止时的位置为点A，拉紧摆线将摆球拉至点B处，于点D．
当摆球运动至点C时，于点E，
，
在中，，，
，，
，
，
．
22. 小明爸爸外出散步，从家出发走向离家1200米的报亭，走了15分钟后发现没带上眼镜，就马上电话小明让其送来．小明接到电话带上眼镜立即从家里出发（通话时间忽略不计）．小明爸爸又走了5分钟到达报亭，在没戴眼镜的情况下看报10分钟后，小明终于给爸爸送上了眼镜．戴上眼镜后继续看报10分钟，然后又用了40分钟返回到家里．而小明把眼镜交给爸爸后，按原来的速度继续步行10分钟到达离家米的文具商店购买圆规（小明在文具商店的时间忽略不计），然后仍按原来的速度由原路返回，在离家还有米处时追上爸爸后一起回到家里．已知小明和爸爸离开家的路程（米）与各自的步行时间（分）之间的函数图象如图所示．
（1）求和的值；
（2）求和的值；
（3）小明从文具商店出来到追上爸爸的时间段中，求小明离开家的路程（米）关于步行时间（分）的函数表达式．
【答案】（1），
（2），
（3）（）
【解析】
【分析】本题考查的是一次函数的实际应用，正确从图中获取信息是解题关键，
（1）根据图象正确获取信息求出小明的步行速度进而求出结论；
（2）先求出小明爸爸回家的步行速度，设小明从文具商店出发到追上爸爸的时间为分钟，列方程解决问题；
（3）设小明离开家的路程（米）关于步行时间（分）的函数表达式为，用待定系数法求表达式即可；
【小问1详解】
解：由题意知：．
小明的步行速度为米/分．
，．
．
【小问2详解】
解：由题意知：小明爸爸回家的步行速度为米/分．
设小明从文具商店出发到追上爸爸的时间为分钟，
则有，
．
，．
【小问3详解】
解：小明从文具商店出来到追上爸爸的时间段中，设小明离开家的路程（米）关于步行时间（分）的函数表达式为，
将，代入，
有，
解得：，
（）．
23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．
（1）当时，
①求抛物线的顶点坐标．
②将抛物线向下平移个单位，若平移后的抛物线过点，且与轴两交点之间的距离为6，求的值．
（2）已知点，在抛物线上，且，求的取值范围．
【答案】（1）①；②，
（2）
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象性质，二次函数图象平移，二次函数与一元二次方程的关系，熟练掌握二次函数图象性质，二次函数图象平移规律“上加下减”是解题的关键．
（1）①把代入，得，即可得出顶点坐标；
②根据平移规律得平移后抛物线解析式为，把代入，求得，则，设平移后的抛物线与轴两交点横坐标为，，则，，又，即可得出，解之即可求解．
（2）把，代入，得，根据，求得；把代入，得，根据和，求得，进而即可求解．
【小问1详解】
解：①∵，
∴
∴抛物线的顶点坐标为，
②∵将抛物线向下平移个单位，
∴平移后抛物线解析式为，
把代入，得，
∴
∴
设平移后抛物线与轴两交点横坐标为，，
则，，
∴
∴
∵平移后的抛物线与轴两交点之间的距离为6，
∴
∴
∴
解得：
经检验，是分式方程的解，且符合题意，
∴．
【小问2详解】
解：把，代入，得
，
∵，
∴，
∴，
把代入，得
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
24. 已知内接于圆O ，作外角的角平分线交圆O于点A ，连接．
（1）如图1，求证：为等腰三角形．
（2）如图2，若过圆心O，交于点F，，，求．
（3）如图3，作直径交于点G，若，且，，求圆O的半径．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）5
【解析】
【分析】（1）利用角平分线的定义，圆的内接四边形的性质和圆周角定理得到，再利用等腰三角形的判定定理解答即可；
（2）连结，利用垂径定理得到，利用平行线的判定定理得到，再利用相似三角形的判定与性质得到，则可得，最后利用勾股定理解答即可；
（3）连结，在射线上取点K，连接，使得，设，则，利用圆的平行线弦的性质得到；利用相似三角形的判定与性质得到，利用等腰三角形的判定与性质得到，利用列出方程求得x值，则可求，利用垂径定理求得，利用勾股定理求得，再利用勾股定理列出方程解答即可得出结论．
【小问1详解】
证明：∵平分，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴，
即为等腰三角形；
【小问2详解】
解：连结，如图，
∵为圆O直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：连结，在射线上取点K，连接，使得，如图，
∵，
∴设，则，
∵，
∴，
∴，
由（1）知：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∴．
∵为直径，，
∴，
∴．
在中，
∵，
∴，
∴．
∴圆O的半径为5．
本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键．解方程：
解：去分母得， ------①
移项得， ----------------②
所以， --------------------③
经检验：不是原方程的根，原方程无解．----④
C男
C女1
C女2
E男1
（C男，E男1）
（C女1，E男1）
（C女2，E男1）
E男2
（C男，E男2）
（C女1，E男2）
（C女2，E男2）
E女
（C男，E女）
（C女1，E女）
（C女2，E女）