动量、冲量 ——高中物理人教版二轮复习专题 学案

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1．动能、动量、动量变化量的比较
2．冲量与功的比较
3．冲量的计算
（1）恒力的冲量：直接用定义式I＝Ft计算。
（2）变力的冲量
①平均力法：若力的大小随时间均匀变化且力的方向不变，即力与时间是一次函数关系，则力F在某段时间t内的冲量I＝，其中F1、F2为该段时间内初、末两时刻力的大小。
②F－t图像法：在F－t图像中，图线与t轴所围的“面积”即为变力的冲量。如图所示。
③动量定理法：对于已知始、末时刻动量的情况，可用动量定理求解，即通过求动量变化量间接求出冲量。
二．典例精讲
1．动量和动量变化量的理解与计算
例题1 （多选）（2024·梅州·模拟题）如图所示，学生练习用脚颠球。某一次足球由静止自由下落1.25 m，被重新颠起，离开脚部后竖直上升的最大高度仍为1.25 m。已知足球与脚部的作用时间为0.1 s，足球的质量为0.4 kg，重力加速度大小g取10 m/s2，不计空气阻力，则（ ）
A．足球下落到与脚部刚接触时动量大小为4 kg·m/s
B．足球自由下落过程重力的冲量大小为2 kg·m/s
C．足球与脚部作用过程中动量变化量大小为4 kg·m/s
D．足球与脚部作用过程中动能变化量为10 J
【答案】BC
【解析】足球到达脚部的速度为v＝＝5 m/s，足球下落到与脚部刚接触时动量大小为p＝mv＝0.4×5 kg·m/s＝2 kg·m/s，A错误；足球自由下落的时间为t＝＝0.5 s，所以足球自由下落过程重力的冲量大小为I＝mgt＝0.4×10×0.5 kg·m/s＝2 kg·m/s，B正确；根据运动的对称性，足球离开脚部的速度大小也是5 m/s，设竖直向下为正方向，所以脚部与足球作用过程中，动量变化量为Δp＝－mv－mv＝－2×0.4×5 kg·m/s＝－4 kg·m/s，C正确；足球落到脚部和离开脚部时的动能相等，均为5 J，所以足球与脚部作用过程中动能变化量为0，D错误。
2．动量和动能的关系
例题2 （2023·河南·联考题）甲、乙两物体的质量之比是1∶4，下列说法正确的是（ ）
A．如果它们的动量大小相等，则甲、乙的动能之比是1∶4
B．如果它们的动量大小相等，则甲、乙的动能之比是2∶1
C．如果它们的动能相等，则甲、乙的动量大小之比是1∶2
D．如果它们的动能相等，则甲、乙的动量大小之比是1∶4
【答案】C
【解析】当两物体动量大小相等时，由Ek＝知Ek甲∶Ek乙＝m乙∶m甲＝4∶1，A、B两项错误；当两物体动能相等时，由p2＝2mEk知p甲∶p乙＝＝1∶2，C项正确，D项错误。
3．恒力冲量计算
例题3 （多选）（2025·贵州贵阳·模拟题）如图所示，一个质量为m的物块以初速度v0冲上倾角为θ的斜面，经过时间t速度变为零。物块与斜面间动摩擦因数为μ，重力加速度为g。设初速度方向为正方向，在时间t内，下列说法正确的是（ ）
A．物块受到的合力的冲量为mv0
B．物块受到的重力的冲量大小为mgtsin θ
C．物块受到的支持力的冲量大小为mgtcs θ
D．物块受到的摩擦力的冲量为－μmgtcs θ
【答案】CD
【解析】由动量定理有I合＝0－mv0，所以合力的冲量为－mv0，故A错误；重力的冲量大小为IG＝mgt，故B错误；对物块受力分析，其支持力大小为FN＝mgcs θ，支持力的冲量大小为I支＝mgcs θ·t＝mgtcs θ，故C正确；物块受到的摩擦力大小为Ff＝μmgcs θ，所以受到摩擦力的冲量为If＝－μmgcs θ·t＝－μmgtcs θ，故D正确。
4．变力的冲量计算
例题4 （2025·安徽合肥·模拟题）如图甲所示，质量为0.4 kg的物块在水平力F的作用下由静止释放，物块与足够高的竖直墙面间的动摩擦因数为0.4，力F随时间t变化的关系图像如图乙所示，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小g＝10 m/s2，不计空气阻力。在0～8 s时间内，下列判断正确的是（ ）
A．物块运动的最大速度为10 m/s
B．物块一直向下运动，且速度不为0
C．t＝6 s时物块距离出发点最远
D．0～4 s内摩擦力的冲量大小为32 N·s
【答案】A
【解析】当物块受到的摩擦力与重力相等时，有mg＝μF0，解得F0＝10N，可知0～2 s内物块向下做加速运动，2～4 s内物块向下做减速运动，4 s末物块的速度为零，4～6 s内物块静止，6～8 s内物块向下做加速运动，则t＝8 s时物块离出发点最远，B、C错误；2 s末物块速度最大，0～2 s内摩擦力的冲量大小为If1＝＝×2 N·s＝4 N·s，由动量定理得mgt1－If1＝mv，解得v＝10 m/s，A正确；0～4 s内摩擦力的冲量大小为If2＝＝×4 N·s＝16 N·s，D错误。
三．跟踪训练
1．高速列车在启动阶段的运动可看作初速度为零的匀加速直线运动。在启动阶段，列车的动能（ ）
A．与它所经历的时间成正比B．与它的位移成正比
C．与它的速度成正比D．与它的动量成正比
【答案】B
【解析】设列车运动时间为t，由匀变速直线运动规律v＝at、x＝，结合动能公式Ek＝得，Ek＝、Ek＝max，可知Ek∝v2、Ek∝t2、Ek∝x，故A、C两项错误，B项正确；由Ek＝可知Ek∝p2，故D项错误。
2．（2024·湖北·模拟题）中国汽车拉力锦标赛是我国级别最高，规模最大的汽车赛事之一，其赛道有很多弯道。某辆赛车在一段赛道内速度大小由2v变为4v，随后一段赛道内速度大小由5v变为7v，前后两段赛道内，合外力对赛车做的功分别为W1和W2，赛车的动量变化的大小分别为ΔP1和ΔP2，下列关系式可能成立的是（ ）
A．W1＝W2，ΔP1＝B．W1＝，ΔP1＝
C．W1＝W2，ΔP1＝4ΔP2 D．W1＝，ΔP1＝4ΔP2
【答案】B
【解析】根据动能定理，W1＝＝6mv2，W2＝＝12mv2，故W1＝，动量是矢量，ΔP1＝2mv或者6mv，ΔP2＝2mv或者12mv，故可能有ΔP1＝，不可能有ΔP1＝4ΔP2，故B正确，ACD错误。
3．（多选）如图所示，物体从t＝0时刻开始由静止做直线运动，0～4 s内其合外力随时间变化的关系图线为正弦曲线，下列表述正确的是（ ）
A．0～2 s内合外力的冲量一直增大B．0～4 s内合外力的冲量为零
C．2 s末物体的动量方向发生变化D．0～4 s内物体动量的方向一直不变
【答案】ABD
【解析】根据F－t图像中图线与t轴围成的“面积”表示冲量，可知在0～2 s内合外力的冲量一直增大，0～4 s内合外力的冲量为零，故A、B两项正确；2 s末合外力的冲量方向发生变化，物体的动量开始减小，但速度方向不发生变化，0～4 s内物体动量的方向一直不变，故C项错误，D项正确。
4．（2024·江苏泰州·模拟题）一水平传送带长L＝16 m，以恒定速度v＝4 m/s向右匀速运动，现在传送带左端每隔1 s由静止放上一个完全相同的质量为m＝1 kg的小物块，小物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.1，重力加速度g取10 m/s2，则第1个小物块到达传送带最右端后的1 s内，传送带对所有小物块摩擦力的总冲量大小为（ ）
A．3 N·sB．4 N·sC．5 N·sD．6 N·s
【答案】B
【解析】由题意可知，小物块做匀加速直线运动的加速度：a＝μg＝1 m/s2
加速运动的时间：t1＝＝4 s
加速运动的位移：x1＝＝8 m
匀速运动的位移：x2＝L－x1＝8 m
匀速运动的时间：t2＝＝2 s
第1个小物块到达最右端时，第7个小物块刚要放上传送带，传送带对第2－3个工件的摩擦力为0，因此在此后1 s内的冲量：I2＝I3＝0
对第4－7个工件的摩擦力在此后t＝1 s内的冲量：I4＝I5＝I6＝I7＝μmg·t＝1 N·s
故此后1 s内传动带对工件摩擦力的总冲量大小为：I＝I2＋I3＋I4＋I5＋I6＋I7＝4 N·s
故选B。
动能
动量
动量变化量
定义
物体由于运动而具有的能量
物体的质量和速度的乘积
物体末动量与初动量的矢量差
定义式
Ek＝
p＝mv
Δp＝p′－p
标矢性
标量
矢量
矢量
特点
状态量
状态量
过程量
关联方程
Ek＝，Ek＝，p＝，p＝
联系
（1）都是相对量，与参考系的选取有关，通常选取地面为参考系
（2）若物体的动能发生变化，则动量一定也发生变化；但动量发生变化时动能不一定发生变化
冲量
功
定义
作用在物体上的力和力的作用时间的乘积
作用在物体上的力和物体在力的方向上的位移的乘积
单位
N·s
J
公式
I＝FΔt（F为恒力）
W＝Flcs α（F为恒力）
标矢性
矢量
标量
意义
①表示力对时间的累积；
②是动量变化的量度
①表示力对空间的累积；
②是能量变化的量度
联系
①都是过程量，都与力的作用过程相互联系；
②若力的方向不变，冲量不为零时，功可能为零；功不为零时，冲量一定不为零