天体的追及相遇问题 ——高中物理人教版二轮复习专题 学案

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1．天体“追及相遇”，指两天体在各自轨道绕中心天体公转时，周期性地追赶至相距最近或最远。如图甲所示，以地球和太阳系内其他某地外行星为例，某时刻行星与地球最近（“行星冲日”），此时行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方向相同。

2．解决天体“追及相遇”问题的两种方法
（1）根据角度关系列式
设从图甲位置至又相距最近所用时间为t，则ω1t－ω2t＝n·2π（n＝1，2，3，…）
可解得t＝（n＝1，2，3，…）。
（2）根据圈数关系列式
设从图甲位置至又相距最近所用时间为t，则＝n（n＝1，2，3，…）
可解得t＝（n＝1，2，3，…）。
3．设从图甲相距最近位置到相距最远位置（图乙）所用时间为t′，
同理有关系式：ω1t′－ω2t′＝(2n－1)π（n＝1，2，3，…）或＝（n＝1，2，3，…）。
二．典例精讲
1．同向运动星体的“追及相遇”问题
例题1 （2024·湖北武汉·模拟题）2022年12月8日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为3∶2，如图所示。根据以上信息可以得出（ ）
A．火星与地球绕太阳运动的周期之比约为27∶8
B．当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C．火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为9∶4
D．下一次“火星冲日”将出现在2023年12月8日之前
【答案】B
【解析】A．火星和地球均绕太阳运动，根据开普勒第三定律有＝，代入数据解得＝，故A错误；
B．由题意知火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，速度的大小均不变，当火星与地球相距最远时，由于两者的速度方向相反，此时两者的相对速度最大，故B正确；
C．在星球表面根据万有引力定律与重力的关系有＝mg，由于不知道火星和地球的质量比，故无法得出火星和地球表面的自由落体加速度，故C错误；
D．火星和地球绕太阳做匀速圆周运动，有ω火＝，ω地＝，要发生下一次火星冲日则有＝2π，得t＝＞T地，可知下一次“火星冲日”将出现在2023年12月18日之后，故D错误。
故选：B。
2．反向运动卫星的“追及相遇”问题
例题2 （多选）如图所示，有A、B两颗卫星绕地心O做圆周运动，运动方向相反。A卫星的周期为T1，B卫星的周期为T2， 在某一时刻两卫星相距最近，则（引力常量为G）（ ）
A．两卫星下一次相距最近需经过时间t＝
B．两颗卫星的轨道半径之比为
C．若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球的密度
D．若已知两颗卫星相距最近时的距离，可求出地球表面的重力加速度
【答案】AB
【解析】两卫星运动方向相反，设经过时间t再次相遇，则有＝2π，解得t＝，选项A正确；根据万有引力提供向心力得＝，则，故A、B两颗卫星的轨道半径之比为，故B正确；若已知两颗卫星相距最近时的距离，结合两颗卫星的轨道半径之比可以求出两颗卫星的轨道半径，根据万有引力提供向心力＝，则可求出地球的质量，但不知道地球的半径，所以不可求出地球的密度和地球表面的重力加速度，故C、D错误。
3．两星相距最近或最远次数的计算
例题3 （多选）（2024·湖北省·模拟考）如图，行星a、b的质量分别为m1、m2，中心天体c的质量为M（M远大于m1及m2），在万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针方向做匀速圆周运动，已知轨道半径之比为ra∶rb＝1∶4，则下列说法中正确的是（ ）
A．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶8
B．a、b运动的周期之比为Ta∶Tb＝1∶4
C．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线12次
D．从图示位置开始，在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次
【答案】AD
【解析】根据开普勒第三定律可得，则，A正确、B错误；设图示位置夹角为θ＜，b转动一周（圆心角为2π）的时间为t＝Tb，则a、b相距最远时：＝(π－θ)＋n·2π（n＝0，1，2，3，…），可知n＜6.75，n可取7个值；a、b相距最近时：＝(2π－θ)＋m·2π（m＝0，1，2，3，…），可知m＜6.25，m可取7个值，故在b转动一周的过程中，a、b、c共线14次，D正确。
三．跟踪训练
1．（2025·安徽省·模拟考）我国火星探测器“祝融号”在2021年月中旬到月下旬发生短暂“失联”，原因是发生“火星合日”现象。“火星合日”是指火星和地球分别位于太阳两侧且与太阳共线的天文现象，如图所示。已知火星公转周期为T1，地球公转周期为T2，地球与火星绕行方向相同。则（ ）
A．
B．火星与地球轨道半径之比为
C．火星与地球公转的线速度之比为
D．相邻两次“火星合日”的时间间隔为
【答案】D
【解析】A．根据开普勒第三定律，可知，A错误；
B．由，得，B错误；
C．根据，可得线速度，可知，C错误；
D．相邻两次火星合日，即地球比火星多转1周经过时间为t，则有，解得相邻两次“火星合日”的时间间隔为，D正确。故选D。
2．（多选）（2024·云南丽江·模拟题）如图所示，有A、B两个行星绕同一恒星O做匀速圆周运动，运转方向相同，A行星的周期为TA，B行星的周期为TB，在某一时刻两行星第一次相遇（即两行星的距离最近），则（ ）
A．经过时间t＝TA＋TB，两行星第二次相遇
B．经过时间t＝，两行星第二次相遇
C．经过时间t＝，两行星第一次相距最远
D．经过时间t＝，两行星第一次相距最远
【答案】BC
【解析】卫星A的周期较小，当卫星A比B多转动一圈时，第二次追上，有＝2π，解得t＝，故A错误，B正确；卫星A比B多转动半圈时，第一次相距最远，有＝π，解得t′＝，故C正确，D错误。故选：BC。
3．（多选）（2025·湖北省·模拟考）某卫星绕地心的运动视为匀速圆周运动，其周期为地球自转周期T的，运行的轨道与地球赤道不共面（如图）。t0时刻，卫星恰好经过地球赤道上P点正上方。地球的质量为M，半径为R，引力常量为G。则（ ）
A．卫星距地面的高度为
B．卫星与位于P点处物体的向心加速度大小比值为
C．从t0时刻到下一次卫星经过P点正上方时，卫星绕地心转过的角度为20π
D．每次经最短时间实现卫星距P点最近到最远的行程，卫星绕地心转过的角度比地球的多7π
【答案】BCD
【解析】A．对卫星，绕地球以的周期做圆周运动时：，变形解得：h＝，故A错误；
B．根据向心加速度：an＝，所以＝＝＝，故B正确；
C．下一次卫星经过P点正上方时，卫星比地球多转了n圈，由于一圈有两个位置是卫星在赤道正上方，所以有两种情况，第一种情况是卫星和地球都转了整数圈，设二者分别转了x圈、y圈，则有xT＝，x、y都为整数，y最小值为10，此时卫星绕地心转过了10圈，转过的角度为θ＝10×2π＝20π；
第二种情况是卫星和地球都转了整数圈＋半圈，此时有＝，x、y都为整数，这种情况下无解，所以从t0时刻到下一次卫星经过P点正上方时，卫星绕地心转过的角度为20π，故C正确；
D．从最近到最远，最近时卫星在P点正上方，最近距离为半径之差，最远时两点还在赤道平面，最远距离为半径之和，所以有两种情况。第一种情况是P点运动了m圈，卫星运动了n＋圈，此时有mT＝（m，n为整数），此种情况下无解；第二种情况是情况P运动了m＋圈，卫星运动了n圈，此时有＝（m，n为整数），解得m最小值为1，此时n＝5，卫星绕地心转过的角度比地球的多5×2π－×2π＝10π－3π＝7π，故D正确。
故选：BCD。