双星与多星问题 ——高中物理人教版二轮复习专题 学案

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1．双星模型
（1）定义：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统。如图所示。
（2）特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即，。
②两颗星的周期、角速度相同，即，。
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为。
④两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即。
⑤双星的运动周期。
⑥双星的总质量。
2．多星模型
（1）定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同。
（2）常见的三星模型
①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行（如图甲所示），转动半径r＝，＝ma向。
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上（如图乙所示），转动半径r＝，×cs 30°×2＝ma向。

（3）常见的四星模型
①四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动（如图丙所示），转动半径r＝，×cs 45°×2＋＝ma向。
②三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O， 外围三颗星绕O做匀速圆周运动（如图丁所示）， 转动半径r＝， ×cs 30°×2＋＝ma向。

4．解决双星、多星问题，要抓住四点：
（1）根据双星或多星的运动特点及规律，确定系统做圆周运动的圆心以及运动的轨道半径。
（2）星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。
（3）星体的角速度相等。
（4）星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确计算万有引力和向心力。
二．典例精讲
1．双星模型
例题1 （多选）（2025·辽宁·联考题）假设宇宙中有一双星系统由质量分别为m和M的A、B两颗星体组成。这两颗星绕它们连线上的某一点O在二者万有引力作用下做匀速圆周运动，如图所示，A、B两颗星间的距离为L，引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．根据OA＞OB，可判断m＜M
B．两颗星做圆周运动的周期为
C．若星体A由于不断吸附宇宙中的尘埃而使得质量缓慢增大，其他量不变，则星体A的周期将缓慢减小
D．若星体A由于不断吸附宇宙中的尘埃而使得质量缓慢增大，其他量不变，则星体A的轨道半径将缓慢增大
【答案】AC
【解析】A．双星系统周期、角速度相同，设A、B两颗星体的轨道半径分别为r1、r2，
双星之间的万有引力提供向心力，则有＝mω2r1，＝Mω2r2
两式联立得mr1＝Mr2，
因为OA＞OB，即r1＞r2，所以有m＜M，故A正确；
B．因为L＝r1＋r2，又因为＝mω2r1，＝Mω2r2，T＝
联立解得两颗星做圆周运动的周期为T＝，故B错误；
C．以上可知若m缓慢增大，其他量不变，由T＝可知周期T变小，故C正确；
D．因为mr1＝Mr2，可知若星体A由于不断吸附宇宙中的尘埃而使得质量缓慢增大，其他量不变，则星体A的轨道半径将缓慢减小，故D错误。
故选AC。
2．三星模型
例题2 （2025·广东深圳·联考题）宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星体组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星体位于同一直线上，两颗星体围绕中央星在同一半径为R的轨道上运行，如图甲所示，周期为T1；另一种是三颗星体位于边长为的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆运行，如图乙所示，周期为T2。若每颗星的质量都相同，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】第一种形式下，左边星体受到中间星体和右边星体两个万有引力作用，它们的合力充当向心力，则，解得，第二种形式下，三颗星体之间的距离均为，由几何关系知，三颗星体做圆周运动的半径为R′＝R，任一星体所受的合力充当向心力，即有F合＝2G××cs 30°＝×R，解得，则，故选A。
3．四星模型
例题3 （2025·湖北·联考题）太空中存在一些离其他恒星很远的、由四颗星体组成的四星系统，可忽略其他星体对它们的引力作用。现有这样一种稳定运行的正三角形四星系统，四颗星分别位于某一正三角形三个顶点和其几何中心上。四颗星质量均为m，正三角形边长为L，引力常量为G。则下列说法中正确的是（ ）
A．位于顶点的三颗星运动的角速度与它们质量的大小无关
B．该四星系统做圆周运动的半径为
C．每个处于顶点处的星体所受向心力大小为
D．该四星系统的运动周期为
【答案】D
【解析】该四星系统做圆周运动的半径为r＝，B错误；每个处于顶点处的星体所受向心力大小为F＝·cs 30°＝，C错误；根据牛顿第二定律＝mω2r，解得ω＝，位于顶点的三颗星运动的角速度与它们质量的大小有关，A错误；根据牛顿第二定律得，解得T＝，D正确。
三．跟踪训练
1．（2025·山东聊城·模拟题）天体观测法是发现潜在黑洞的一种重要方法，我国研究人员通过对双星系统G3425中的红巨星进行天体观测。发现了一个恒星质量级的低质量黑洞。假设一个双星系统中的两颗密度相同的恒星a，b绕O点做圆周运动，在与双星系统同一平面上双星系统外的观测点A观测双星的运动，得到a，b的球心到OA连线的距离x与观测时间的关系图像如图所示。引力常量为G，下列说法正确的是（ ）
A．a、b的线速度之比为2∶3
B．a、b的质量之比为3∶2
C．a、b的质量之和为
D．a、b两恒星表面的重力加速度之比为2∶3
【答案】C
【解析】A．设a、b两恒星做圆周运动的半径分别为r1和r2，a、b的球心到OA连线的距离即为两恒星圆周运动的半径，所以r1＝3x0，r2＝2x0，因两恒星的角速度相等，根据v＝ωr可知，a、b的线速度之比为，故A错误；
B．设a、b两恒星的质量分别为m1和m2，两恒星做圆周运动所需向心力均来自对方的万有引力，所以有m1ω2r1＝m2ω2r2，得，故B错误；
C．根据题意可知，a、b两恒星做圆周运动的周期为T＝2t0，
两恒星球心间的距离为L＝r1＋r2＝5x0，
根据万有引力提供向心力有，
两式相加并整理得m1＋m2＝
将T＝2t0和L＝5x0代入得m1＋m2＝，故C正确；
D．设a，b两恒星的半径分别为R1和R2，则有m1＝，m2＝
得
设a，b两恒星表面的重力加速度分别为g1和g2，
根据在两恒星表面物体所受重力等于万有引力有mg1＝，mg2＝
两式作比得，故D错误。
故选C。
2．（多选）如图为一种四颗星体组成的稳定系统，四颗质量均为m的星体位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽略其他星体对它们的作用，引力常量为G。下列说法中正确的是（ ）
A．星体做匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心
B．每个星体做匀速圆周运动的角速度均为
C．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的两倍
D．若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变
【答案】BD
【解析】四颗质量相同的星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，所以星体做匀速圆周运动的圆心一定是正方形的中心，故A错误；由＝＝可知，ω＝，故B正确；由＝ma可知，若边长L和星体质量m均为原来的两倍，星体做匀速圆周运动的加速度大小是原来的，故C错误；由＝可知，星体做匀速圆周运动的线速度大小为v＝，所以若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体做匀速圆周运动的线速度大小不变，故D正确。故选：BD。
3．（2025·河北唐山·模拟题）由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况）。若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：
（1）A星体所受合力大小FA；
（2）B星体所受合力大小FB；
（3）C星体的轨道半径RC；
（4）三星体做圆周运动的周期T。
【答案】解：（1）由万有引力定律，A星体所受B、C星体引力大小为FBA＝＝FCA，方向如图
则A星体所受合力大小为FA＝
（2）同上，B星体所受A、C星体引力大小分别FAB＝，FCB＝＝，方向如图
由FBx＝FABcs 60°＋FCB＝，FBy＝FABsin 60°＝
可得FB＝
（3）通过分析可知，圆心O在中垂线AD的中点，RC＝（或：由对称性可知OB＝OC＝RC，cs ∠OBD＝）
可得RC＝
（4）三星体运动周期相同，对C星体，由FC＝FB＝，
可得T＝