四川省德阳市中江县2024-2025学年高三3月份模拟考试数学试题含解析

这是一份四川省德阳市中江县2024-2025学年高三3月份模拟考试数学试题含解析，共2页。试卷主要包含了设，，则，已知，且，则在方向上的投影为，函数等内容，欢迎下载使用。
1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则的一个充分条件是（ ）
A．且B．且C．且D．且
2．某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有（ ）
A．480种B．360种C．240种D．120种
3．一物体作变速直线运动，其曲线如图所示，则该物体在间的运动路程为（ ）m．
A．1B．C．D．2
4．已知等比数列的前项和为，若，且公比为2，则与的关系正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．设，，则（ ）
A．B．
C．D．
6．已知，且，则在方向上的投影为（ ）
A．B．C．D．
7．函数（），当时，的值域为，则的范围为（ ）
A．B．C．D．
8．若，则函数在区间内单调递增的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．若函数的图象上两点，关于直线的对称点在的图象上，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．已知展开式的二项式系数和与展开式中常数项相等，则项系数为（ ）
A．10B．32C．40D．80
11．等差数列中，已知，且，则数列的前项和中最小的是（ ）
A．或B．C．D．
12．已知，是函数图像上不同的两点，若曲线在点，处的切线重合，则实数的最小值是（ ）
A．B．C．D．1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知关于的不等式对于任意恒成立，则实数的取值范围为_________．
14．在如图所示的三角形数阵中，用表示第行第个数，已知，且当时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和，即，若，则正整数的最小值为______.
15．已知抛物线，点为抛物线上一动点，过点作圆的切线，切点分别为，则线段长度的取值范围为__________.
16．四面体中，底面，，，则四面体的外接球的表面积为______
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数f（x）=ax2–a–lnx，g（x）=，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数.
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）证明：当x＞1时，g（x）＞0；
（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立.
18．（12分）武汉有“九省通衢”之称，也称为“江城”，是国家历史文化名城.其中著名的景点有黄鹤楼、户部巷、东湖风景区等等.
（1）为了解“五·一”劳动节当日江城某旅游景点游客年龄的分布情况，从年龄在22岁到52岁的游客中随机抽取了1000人，制成了如图的频率分布直方图：
现从年龄在内的游客中，采用分层抽样的方法抽取10人，再从抽取的10人中随机抽取4人，记4人中年龄在内的人数为，求；
（2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，该旅游景点游船中心计划在2020年劳动节当日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐观光.由2010到2019这10年间的数据资料显示每年劳动节当日客流量（单位：万人）都大于1.将每年劳动节当日客流量数据分成3个区间整理得表：
以这10年的数据资料记录的3个区间客流量的频率作为每年客流量在该区间段发生的概率，且每年劳动节当日客流量相互独立.
该游船中心希望投入的型游船尽可能被充分利用，但每年劳动节当日型游船最多使用量（单位：艘）要受当日客流量（单位：万人）的影响，其关联关系如下表：
若某艘型游船在劳动节当日被投入且被使用，则游船中心当日可获得利润3万元；若某艘型游船劳动节当日被投入却不被使用，则游船中心当日亏损0.5万元.记（单位：万元）表示该游船中心在劳动节当日获得的总利润，的数学期望越大游船中心在劳动节当日获得的总利润越大，问该游船中心在2020年劳动节当日应投入多少艘型游船才能使其当日获得的总利润最大？
19．（12分）在直角坐标系中，圆C的参数方程（为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段的长.
20．（12分）已知函数，且曲线在处的切线方程为.
（1）求的极值点与极值.
（2）当，时，证明：.
21．（12分）如图，在三棱柱中，是边长为2的等边三角形，，，.
（1）证明：平面平面；
（2），分别是，的中点，是线段上的动点，若二面角的平面角的大小为，试确定点的位置.
22．（10分）如图，在等腰梯形中，AD∥BC，，，，，分别为，，的中点，以为折痕将折起，使点到达点位置（平面）．
（1）若为直线上任意一点，证明：MH∥平面；
（2）若直线与直线所成角为，求二面角的余弦值．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
由且可得，故选B.
2．B
【解析】
将人脸识别方向的人数分成：有人、有人两种情况进行分类讨论，结合捆绑计算出不同的分配方法数.
【详解】
当人脸识别方向有2人时，有种，当人脸识别方向有1人时，有种，∴共有360种.
故选：B
本小题主要考查简单排列组合问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于基础题.
3．C
【解析】
由图像用分段函数表示，该物体在间的运动路程可用定积分表示，计算即得解
【详解】
由题中图像可得，
由变速直线运动的路程公式，可得
．
所以物体在间的运动路程是．
故选：C
本题考查了定积分的实际应用，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.
4．C
【解析】
在等比数列中，由即可表示之间的关系.
【详解】
由题可知，等比数列中，且公比为2，故
故选：C
本题考查等比数列求和公式的应用，属于基础题.
5．D
【解析】
由不等式的性质及换底公式即可得解.
【详解】
解：因为，，则，且，
所以，，
又,
即,则，
即，
故选：D.
本题考查了不等式的性质及换底公式，属基础题.
6．C
【解析】
由向量垂直的向量表示求出，再由投影的定义计算．
【详解】
由
可得，因为，所以．故在方向上的投影为．
故选：C．
本题考查向量的数量积与投影．掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键．
7．B
【解析】
首先由，可得的范围，结合函数的值域和正弦函数的图像，可求的关于实数的不等式，解不等式即可求得范围.
【详解】
因为，所以，若值域为，
所以只需，∴.
故选：B
本题主要考查三角函数的值域，熟悉正弦函数的单调性和特殊角的三角函数值是解题的关键，侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.
8．B
【解析】函数在区间内单调递增， ，在恒成立， 在恒成立， ， 函数在区间内单调递增的概率是，故选B.
9．D
【解析】
由题可知，可转化为曲线与有两个公共点，可转化为方程有两解，构造函数，利用导数研究函数单调性，分析即得解
【详解】
函数的图象上两点，关于直线的对称点在上，
即曲线与有两个公共点，
即方程有两解，
即有两解，
令，
则，
则当时，；当时，，
故时取得极大值，也即为最大值，
当时，；当时，，
所以满足条件．
故选：D
本题考查了利用导数研究函数的零点，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.
10．D
【解析】
根据二项式定理通项公式可得常数项，然后二项式系数和，可得，最后依据，可得结果.
【详解】
由题可知：
当时，常数项为
又展开式的二项式系数和为
由
所以
当时，
所以项系数为
故选：D
本题考查二项式定理通项公式，熟悉公式，细心计算，属基础题.
11．C
【解析】
设公差为，则由题意可得，解得，可得.令 ，可得 当时，，当时，，由此可得数列前项和中最小的.
【详解】
解：等差数列中，已知，且，设公差为，
则，解得 ，
.
令 ，可得，故当时，，当时，，
故数列前项和中最小的是.
故选：C.
本题主要考查等差数列的性质，等差数列的通项公式的应用，属于中档题.
12．B
【解析】
先根据导数的几何意义写出 在 两点处的切线方程，再利用两直线斜率相等且纵截距相等，列出关系树，从而得出，令函数 ，结合导数求出最小值，即可选出正确答案.
【详解】
解：当 时，，则;当时，
则.设 为函数图像上的两点，
当 或时，，不符合题意，故.
则在 处的切线方程为；
在 处的切线方程为.由两切线重合可知
，整理得.不妨设
则 ，由 可得
则当时， 的最大值为.
则在 上单调递减，则.
故选:B.
本题考查了导数的几何意义，考查了推理论证能力，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法.本题的难点是求出 和 的函数关系式.本题的易错点是计算.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
先将不等式对于任意恒成立,转化为任意恒成立，设，求出在内的最小值,即可求出的取值范围.
【详解】
解：由题可知，不等式对于任意恒成立，
即，
又因为，，
对任意恒成立，
设，其中，
由不等式，可得：，
则，
当时等号成立，
又因为在内有解，
，
则，即：，
所以实数的取值范围：.
故答案为：.
本题考查不等式恒成立问题，利用分离参数法和构造函数，通过求新函数的最值求出参数范围，考查转化思想和计算能力.
14．2022
【解析】
根据条件先求出数列的通项，利用累加法进行求解即可．
【详解】
，，，
下面求数列的通项，
由题意知，，，
，，
，
数列是递增数列，且，
的最小值为.
故答案为：.
本题主要考查归纳推理的应用，结合数列的性质求出数列的通项是解决本题的关键．综合性较强，属于难题．
15．
【解析】
连接，易得，可得四边形的面积为，从而可得，进而求出的取值范围，可求得的范围.
【详解】
如图，连接，易得，所以四边形的面积为，且四边形的面积为三角形面积的两倍，所以，所以，
当最小时，最小，设点，则，
所以当时，，则，
当点的横坐标时，，此时，
因为随着的增大而增大，所以的取值范围为.
故答案为：.
本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查抛物线上的动点到定点的距离的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
16．
【解析】
由题意画出图形，补形为长方体，求其对角线长，可得四面体外接球的半径，则表面积可求．
【详解】
解：如图，在四面体中，底面，，，
可得，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1，1，，
则长方体的对角线长为，则三棱锥的外接球的半径为1．
其表面积为．
故答案为：．
本题考查多面体外接球表面积的求法，补形是关键，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（Ⅰ）当时，