同江市2024-2025学年高三3月份模拟考试数学试题含解析

这是一份同江市2024-2025学年高三3月份模拟考试数学试题含解析，共24页。试卷主要包含了已知双曲线，tan570°=等内容，欢迎下载使用。
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设函数定义域为全体实数，令．有以下6个论断：
①是奇函数时，是奇函数；
②是偶函数时，是奇函数；
③是偶函数时，是偶函数；
④是奇函数时，是偶函数
⑤是偶函数；
⑥对任意的实数，．
那么正确论断的编号是（ ）
A．③④B．①②⑥C．③④⑥D．③④⑤
2．若实数满足的约束条件，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．执行如图所示的程序框图若输入，则输出的的值为（ ）
A．B．C．D．
4． “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是( )
A．这五年，出口总额之和比进口总额之和大
B．这五年，2015年出口额最少
C．这五年，2019年进口增速最快
D．这五年，出口增速前四年逐年下降
5．在中，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．已知双曲线（）的渐近线方程为，则（ ）
A．B．C．D．
8． 的内角的对边分别为，已知，则角的大小为（ ）
A．B．C．D．
9．设a=lg73，，c=30.7，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
10．tan570°=（ ）
A．B．-C．D．
11．已知集合，则等于（ ）
A．B．C．D．
12．在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点，使不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若，i为虚数单位，则正实数的值为______.
14．设，则_____，
（的值为______．
15．已知二项式的展开式中的常数项为，则__________．
16．如图，己知半圆的直径，点是弦（包含端点，）上的动点，点在弧上．若是等边三角形，且满足，则的最小值为___________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数与的图象关于直线对称. （为自然对数的底数）
（1）若的图象在点处的切线经过点，求的值；
（2）若不等式恒成立，求正整数的最小值.
18．（12分）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，直线过点，且与抛物线交于，两点．
（1）求抛物线的方程及点的坐标；
（2）求的最大值．
19．（12分）在底面为菱形的四棱柱中，平面.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值.
20．（12分）已知函数.
（1）若，求证：.
（2）讨论函数的极值；
（3）是否存在实数，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.
21．（12分）已知曲线的参数方程为 为参数),以直角坐标系原点为极点,以轴正半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程,并说明其表示什么轨迹；
（2）若直线的极坐标方程为,求曲线上的点到直线的最大距离.
22．（10分）已知直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设点，直线与曲线交于两点，求的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性并证明.
【详解】
当是偶函数，则，
所以，
所以是偶函数；
当是奇函数时，则，
所以，
所以是偶函数；
当为非奇非偶函数时，例如：，
则，，此时，故⑥错误；
故③④正确.
故选：A
本题考查了函数的奇偶性定义，掌握奇偶性定义是解题的关键，属于基础题.
2．B
【解析】
根据所给不等式组，画出不等式表示的可行域，将目标函数化为直线方程，平移后即可确定取值范围.
【详解】
实数满足的约束条件，画出可行域如下图所示：
将线性目标函数化为，
则将平移，平移后结合图像可知，当经过原点时截距最小，；
当经过时，截距最大值，，
所以线性目标函数的取值范围为，
故选：B.
本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数取值范围的求法，属于基础题.
3．C
【解析】
由程序语言依次计算，直到时输出即可
【详解】
程序的运行过程为
当n=2时，时，，此时输出.
故选：C
本题考查由程序框图计算输出结果，属于基础题
4．D
【解析】
根据统计图中数据的含义进行判断即可.
【详解】
对A项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A正确；
对B项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B正确；
对C项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C正确；
对D项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D错误；
故选：D
本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题.
5．D
【解析】
通过列举法可求解，如两角分别为时
【详解】
当时，，但，故充分条件推不出；
当时，，但，故必要条件推不出；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
本题考查命题的充分与必要条件判断，三角函数在解三角形中的具体应用，属于基础题
6．B
【解析】
根据三角函数定义得到，故，再利用和差公式得到答案.
【详解】
∵角的终边过点，∴，.
∴.
故选：.
本题考查了三角函数定义，和差公式，意在考查学生的计算能力.
7．A
【解析】
根据双曲线方程（），确定焦点位置，再根据渐近线方程得到求解.
【详解】
因为双曲线（），
所以，又因为渐近线方程为，
所以，
所以.
故选：A.
本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
8．A
【解析】
先利用正弦定理将边统一化为角，然后利用三角函数公式化简，可求出解B.
【详解】
由正弦定理可得，即，即有，因为，则，而，所以.
故选：A
此题考查了正弦定理和三角函数的恒等变形，属于基础题.
9．D
【解析】
，，得解．
【详解】
，，，所以，故选D
比较不同数的大小，找中间量作比较是一种常见的方法．
10．A
【解析】
直接利用诱导公式化简求解即可．
【详解】
tan570°=tan（360°+210°）=tan210°=tan（180°+30°）=tan30°=．
故选：A．
本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，主要考查诱导公式的应用，属于基础题.
11．C
【解析】
先化简集合A，再与集合B求交集.
【详解】
因为，，
所以.
故选：C
本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法，属于基础题.
12．B
【解析】
依据线性约束条件画出可行域，目标函数恒过，再分别讨论的正负进一步确定目标函数与可行域的基本关系，即可求解
【详解】
作出不等式对应的平面区域，如图所示：
其中，直线过定点，
当时，不等式表示直线及其左边的区域，不满足题意；
当时，直线的斜率，
不等式表示直线下方的区域，不满足题意；
当时，直线的斜率，
不等式表示直线上方的区域，
要使不等式组所表示的平面区域内存在点，
使不等式成立，只需直线的斜率，解得.
综上可得实数的取值范围为，
故选：B.
本题考查由目标函数有解求解参数取值范围问题，分类讨论与数形结合思想，属于中档题
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
利用复数模的运算性质，即可得答案．
【详解】
由已知可得：，，解得．
故答案为：．
本题考查复数模的运算性质，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
14．720 1
【解析】
利用二项展开式的通式可求出；令中的，得两个式子，代入可得结果.
【详解】
利用二项式系数公式，，故，
，
故（
=，
故答案为：720；1.
本题考查二项展开式的通项公式的应用，考查赋值法，是基础题.
15．2
【解析】
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项，再根据常数项等于求得实数的值．
【详解】
二项式的展开式中的通项公式为，
令，求得，可得常数项为，，
故答案为：．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
16．1
【解析】
建系，设，表示出点坐标，则，根据的范围得出答案．
【详解】
解：以为原点建立平面坐标系如图所示：则，，，，
设，则，，
，，，
，
，
显然当取得最大值4时，取得最小值1．
故答案为：1．
本题考查了平面向量的数量积运算，坐标运算，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）e；（2）2.
【解析】
（1）根据反函数的性质，得出，再利用导数的几何意义，求出曲线在点处的切线为，构造函数，利用导数求出单调性，即可得出的值；
（2）设，求导，求出的单调性，从而得出最大值为，结合恒成立的性质，得出正整数的最小值.
【详解】
（1）根据题意，与的图象关于直线对称，
所以函数的图象与互为反函数，则,，
设点，，又，
当时，，
曲线在点处的切线为，
即，代入点，
得，即，
构造函数，
当时，，
当时，，
且，当时，单调递增，
而， 故存在唯一的实数根.
（2）由于不等式恒成立，
可设，
所以，
令，得.
所以当时，；当时，，
因此函数在是增函数，在是减函数.
故函数的最大值为 .
令，
因为， ，
又因为在是减函数.
所以当时，.
所以正整数的最小值为2.
本题考查导数的几何意义和利用导数解决恒成立问题，涉及到单调性、构造函数法等，考查函数思想和计算能力.
18．（1），；（2）1．
【解析】
（1）根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p值，即可求抛物线C的方程从而可得解；
（2）设直线l的方程为：x+my﹣1＝0，代入y2＝4x，得，y2+4my﹣4＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝﹣4m，y1y2＝﹣4，x1+x2＝2+4m2，x1x2＝1，（），（x2﹣2，），由此能求出的最大值．
【详解】
（1）∵点F是抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，P（2，y0）是抛物线上一点，|PF|＝3，
∴23，
解得：p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x，
∵点P（2，n）（n＞0）在抛物线C上，
∴n2＝4×2＝8，
由n＞0，得n＝2，∴P（2，2）．
（2）∵F（1，0），∴设直线l的方程为：x+my﹣1＝0，
代入y2＝4x，整理得，y2+4my﹣4＝0
设A（x1，y1），B（x2，y2），
则y1，y2是y2+4my﹣4＝0的两个不同实根，
∴y1+y2＝﹣4m，y1y2＝﹣4，
x1+x2＝（1﹣my1）+（1﹣my2）＝2﹣m（y1+y2）＝2+4m2，
x1x2＝（1﹣my1）（1﹣my2）＝1﹣m（y1+y2）+m2y1y2＝1+4m2﹣4m2＝1，
（），（x2﹣2，），
（x1﹣2）（x2﹣2）+（）（）
＝x1x2﹣2（x1+x2）+4
＝1﹣4﹣8m2+4﹣4+8m+8
＝﹣8m2+8m+5
＝﹣8（m）2+1．
∴当m时，取最大值1．
本题考查抛物线方程的求法，考查向量的数量积的最大值的求法，考查抛物线、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
19．（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）由已知可证，即可证明结论；
（2）根据已知可证平面，建立空间直角坐标系，求出坐标，进而求出平面和平面的法向量坐标，由空间向量的二面角公式，即可求解.
【详解】
方法一：（1）依题意，且∴，
∴四边形是平行四边形，∴，
∵平面，平面，
∴平面.
（2）∵平面，∴，
∵且为的中点，∴，
∵平面且，
∴平面，
以为原点，分别以为轴、轴、轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
∴
设平面的法向量为，
则，∴，取，则.
设平面的法向量为，
则，∴，取，则.
∴，
设二面角的平面角为，则，
∴二面角的正弦值为.
方法二：（1）证明：连接交于点，
因为四边形为平行四边形，所以为中点，
又因为四边形为菱形，所以为中点，
∴在中，且，
∵平面，平面，
∴平面
（2）略，同方法一.
本题主要考查线面平行的证明，考查空间向量法求面面角，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养，属于中档题.
20．（1）证明见解析；（2）见解析；（3）存在，1.
【解析】
（1），求出单调区间，进而求出，即可证明结论；
（2）对（或）是否恒成立分类讨论，若恒成立，没有极值点，若不恒成立，求出的解，即可求出结论；
（3）令，可证恒成立，而，由（2）得，在为减函数，在上单调递减，在都存在，不满足，当时，设，且，只需求出在单调递增时的取值范围即可.
【详解】
（1），，
，当时，，
当时，，∴，故.
（2）由题知，，，
①当时，，
所以在上单调递减，没有极值；
②当时，，得，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
故在处取得极小值，无极大值.
（3）不妨令，
设在恒成立，
在单调递增，，
在恒成立，
所以，当时，，
由（2）知，当时，在上单调递减，
恒成立；
所以不等式在上恒成立，只能.
当时，，由（1）知在上单调递减，
所以，不满足题意.
当时，设，
因为，所以，
，
即，
所以在上单调递增，
又，所以时，恒成立，
即恒成立，
故存在，使得不等式在上恒成立，
此时的最小值是1.
本题考查导数综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、不等式证明，考查分类讨论思想，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.
21．（1），表示圆心为，半径为的圆；（2）
【解析】
（1）根据参数得到直角坐标系方程，再转化为极坐标方程得到答案.
（2）直线方程为，计算圆心到直线的距离加上半径得到答案.
【详解】
（1），即，化简得到：.
即，表示圆心为，半径为的圆.
（2），即，圆心到直线的距离为.
故曲线上的点到直线的最大距离为.
本题考查了参数方程，极坐标方程，直线和圆的距离的最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.
22．（1）直线普通方程：，曲线直角坐标方程：；（2）.
【解析】
（1）消去直线参数方程中的参数即可得到其普通方程；将曲线极坐标方程化为，根据极坐标和直角坐标互化原则可得其直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数的几何意义可知，利用韦达定理求得结果.
【详解】
（1）由直线参数方程消去可得普通方程为：
曲线极坐标方程可化为：
则曲线的直角坐标方程为：，即
（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，整理可得：
设两点对应的参数分别为：，则，
本题考查极坐标与直角坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义的应用；求解距离之和的关键是能够明确直线参数方程中参数的几何意义，利用韦达定理来进行求解.