眉山市2025-2026学年高三第二次联考数学试卷（含答案解析）

这是一份眉山市2025-2026学年高三第二次联考数学试卷（含答案解析），共2页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，已知数列满足等内容，欢迎下载使用。
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知数列中，，且当为奇数时，；当为偶数时，．则此数列的前项的和为（ ）
A．B．C．D．
2．函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
3．已知命题：是“直线和直线互相垂直”的充要条件；命题：对任意都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）
A．B．C．D．
4．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，但陀螺这个名词，直到明朝刘侗、于奕正合撰的《帝京景物略》一书中才正式出现.如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1，粗线画出的是一个陀螺模型的三视图，则该陀螺模型的表面积为（ ）
A．B．
C．D．
5．已知定义在上的可导函数满足，若是奇函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
6．若的展开式中的系数为-45，则实数的值为（ ）
A．B．2C．D．
7．已知数列满足：.若正整数使得成立，则( )
A．16B．17C．18D．19
8．如图，圆是边长为的等边三角形的内切圆，其与边相切于点，点为圆上任意一点，，则的最大值为（ ）
A．B．C．2D．
9．把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将图象向右平移个单位，那么所得图象的一个对称中心为（ ）
A．B．C．D．
10．已知抛物线经过点，焦点为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
11．数列{an}，满足对任意的n∈N+，均有an+an+1+an+2为定值.若a7=2，a9=3，a98=4，则数列{an}的前100项的和S100=( )
A．132B．299C．68D．99
12．数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线恰好是四叶玫瑰线.
给出下列结论：①曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于；④方程表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是( )
A．①③B．②④C．①②③D．②③④
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件抽到一等品，事件抽到二等品，事件抽到三等品，且已知，， ，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________
14．设函数，若存在实数m，使得关于x的方程有4个不相等的实根，且这4个根的平方和存在最小值，则实数a的取值范围是______.
15．电影《厉害了，我的国》于2018年3月正式登陆全国院线，网友纷纷表示，看完电影热血沸腾“我为我的国家骄傲，我为我是中国人骄傲！”《厉害了，我的国》正在召唤我们每一个人，不忘初心，用奋斗书写无悔人生，小明想约甲、乙、丙、丁四位好朋友一同去看《厉害了，我的国》，并把标识为的四张电影票放在编号分别为1，2，3，4的四个不同的盒子里，让四位好朋友进行猜测：
甲说：第1个盒子里放的是，第3个盒子里放的是
乙说：第2个盒子里放的是，第3个盒子里放的是
丙说：第4个盒子里放的是，第2个盒子里放的是
丁说：第4个盒子里放的是，第3个盒子里放的是
小明说：“四位朋友你们都只说对了一半”
可以预测，第4个盒子里放的电影票为_________
16．某四棱锥的三视图如图所示，那么此四棱锥的体积为______.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数，
（1）当，，求不等式的解集；
（2）已知，，的最小值为1，求证：.
18．（12分）如图，在四棱锥中，平面， 底面是矩形，，，分别是，的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）设， 求三棱锥的体积.
19．（12分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，求面积的最大值．
20．（12分）已知函数，.
（1）当时，求函数的值域；
（2），，求实数的取值范围.
21．（12分）在极坐标系中，已知曲线C的方程为（），直线l的方程为.设直线l与曲线C相交于A，B两点，且，求r的值.
22．（10分）已知函数，其中为实常数.
（1）若存在，使得在区间内单调递减，求的取值范围；
（2）当时，设直线与函数的图象相交于不同的两点，，证明：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
根据分组求和法，利用等差数列的前项和公式求出前项的奇数项的和，利用等比数列的前项和公式求出前项的偶数项的和，进而可求解.
【详解】
当为奇数时，，
则数列奇数项是以为首项，以为公差的等差数列，
当为偶数时，，
则数列中每个偶数项加是以为首项，以为公比的等比数列.
所以
.
故选：A
本题考查了数列分组求和、等差数列的前项和公式、等比数列的前项和公式，需熟记公式，属于基础题.
2．A
【解析】
根据排除，，利用极限思想进行排除即可．
【详解】
解：函数的定义域为，恒成立，排除，，
当时，，当，，排除，
故选：．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数值的符号以及极限思想是解决本题的关键，属于基础题．
3．A
【解析】
先分别判断每一个命题的真假，再利用复合命题的真假判断确定答案即可.
【详解】
当时，直线和直线，即直线为和直线互相垂直，
所以“”是直线和直线互相垂直“的充分条件，
当直线和直线互相垂直时，，解得.
所以“”是直线和直线互相垂直“的不必要条件.
：“”是直线和直线互相垂直“的充分不必要条件，故是假命题．
当时，没有零点，
所以命题是假命题．
所以是真命题，是假命题，是假命题，是假命题．
故选：．
本题主要考查充要条件的判断和两直线的位置关系，考查二次函数的图象， 考查学生对这些知识的理解掌握水平.
4．C
【解析】
根据三视图可知，该几何体是由两个圆锥和一个圆柱构成，由此计算出陀螺的表面积.
【详解】
最上面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，下面圆锥的母线长为，底面周长为，侧面积为，没被挡住的部分面积为，中间圆柱的侧面积为.故表面积为，故选C.
本小题主要考查中国古代数学文化，考查三视图还原为原图，考查几何体表面积的计算，属于基础题.
5．A
【解析】
构造函数，根据已知条件判断出的单调性.根据是奇函数，求得的值，由此化简不等式求得不等式的解集.
【详解】
构造函数，依题意可知，所以在上递增.由于是奇函数，所以当时，，所以，所以.
由得，所以，故不等式的解集为.
故选：A
本小题主要考查构造函数法解不等式，考查利用导数研究函数的单调性，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.
6．D
【解析】
将多项式的乘法式展开，结合二项式定理展开式通项，即可求得的值.
【详解】
∵
所以展开式中的系数为，
∴解得.
故选：D.
本题考查了二项式定理展开式通项的简单应用，指定项系数的求法，属于基础题.
7．B
【解析】
由题意可得，，时，，将换为，两式相除，，，
累加法求得即有，结合条件，即可得到所求值．
【详解】
解：，
即，，
时，，
，
两式相除可得，
则，，
由，
，
，
，，
可得
，
且，
正整数时，要使得成立，
则，
则，
故选：．
本题考查与递推数列相关的方程的整数解的求法，注意将题设中的递推关系变形得到新的递推关系，从而可简化与数列相关的方程，本题属于难题.
8．C
【解析】
建立坐标系，写出相应的点坐标，得到的表达式，进而得到最大值.
【详解】
以D点为原点，BC所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立坐标系，
设内切圆的半径为1，以（0，1）为圆心，1为半径的圆；
根据三角形面积公式得到，
可得到内切圆的半径为
可得到点的坐标为：

故得到
故得到
，
故最大值为：2.
故答案为C.
这个题目考查了向量标化的应用，以及参数方程的应用，以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.
9．D
【解析】
试题分析：把函数图象上各点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），可得的图象；再将图象向右平移个单位，可得的图象，那么所得图象的一个对称中心为，故选D.
考点：三角函数的图象与性质.
10．A
【解析】
先求出，再求焦点坐标，最后求的斜率
【详解】
解：抛物线经过点
，，
，，
故选：A
考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式，基础题.
11．B
【解析】
由为定值，可得，则是以3为周期的数列，求出，即求.
【详解】
对任意的，均有为定值，
，
故，
是以3为周期的数列，
故，
.
故选：.
本题考查周期数列求和，属于中档题.
12．B
【解析】
利用基本不等式得，可判断②；和联立解得可判断①③；由图可判断④.
【详解】
，
解得（当且仅当时取等号），则②正确；
将和联立，解得，
即圆与曲线C相切于点，，，，
则①和③都错误；由，得④正确.
故选：B.
本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．0.35
【解析】
根据对立事件的概率和为1，结合题意，即可求出结果来．
【详解】
解：由题意知本题是一个对立事件的概率，
抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，
，
抽到不是一等品的概率是，
故答案为：．
本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题，属于基础题．
14．
【解析】
先确定关于x的方程当a为何值时有4个不相等的实根，再将这四个根的平方和表示出来，利用函数思想来判断当a为何值时这4个根的平方和存在最小值即可.
【详解】
由题意，当时，，此时，此时函数在单调递减，在单调递增，方程最多2个不相等的实根，舍；
当时，函数图象如下所示：
从左到右方程，有4个不相等的实根，依次为，，，，即，
由图可知，故，且，，
从而，
令，显然，
，要使该式在时有最小值，则对称轴，解得.
综上所述，实数a的取值范围是.
本题考查了函数和方程的知识，但需要一定的逻辑思维能力，属于较难题.
15．A或D
【解析】
分别假设每一个人一半是对的，然后分别进行验证即可．
【详解】
解：假设甲说：第1个盒子里面放的是是对的，
则乙说：第3个盒子里面放的是是对的，
丙说：第2个盒子里面放的是是对的，
丁说：第4个盒子里面放的是是对的，
由此可知第4个盒子里面放的是；
假设甲说：第3个盒子里面放的是是对的，
则丙说：第4个盒子里面放的是是对的，
乙说：第2个盒子里面放的是是对的，
丁说：第3个盒子里面放的是是对的，
由此可知第4个盒子里面放的是．
故第4个盒子里面放的电影票为或．
故答案为：或
本题考查简单的合情推理，考查推理论证能力、分析判断能力、归纳总结能力，属于中档题．
16．
【解析】
利用三视图判断几何体的形状，然后通过三视图的数据求解几何体的体积.
【详解】
如图：
此四棱锥的高为，底面是长为，宽为2的矩形，
所以体积.
所以本题答案为.
本题考查几何体与三视图的对应关系，几何体体积的求法，考查空间想象能力与计算能力.解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）或；（2）证明见解析
【解析】
（1）将化简，分类讨论即可；
（2）由（1）得，，展开后再利用基本不等式即可.
【详解】
（1）当时，，
所以或或
解得或，
因此不等式的解集的或
（2）
根据
，当且仅当时，等式成立.
本题考查绝对值不等式的解法、利用基本不等式证明不等式问题，考查学生基本的计算能力，是一道基础题.
18．（Ⅰ）见解析（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）取中点，连，，根据平行四边形，可得，进而证得平面平面，利用面面垂直的性质，得平面，又由，即可得到平面.
（Ⅱ）根据三棱锥的体积公式，利用等积法，即可求解.
【详解】
（Ⅰ）取中点，连，，
由，可得，
可得是平行四边形，则，
又平面，∴平面平面，
∵平面，平面，∴平面平面，
∵，是中点，则，而平面平面，
而，∴平面.
（Ⅱ）根据三棱锥的体积公式，
得
.
本题主要考查了空间中线面位置关系的判定与证明，以及利用“等体积法”求解三棱锥的体积，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，以及合理利用“等体积法”求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.
19．（1）（2）
【解析】
分析：(1)利用正弦定理以及诱导公式与和角公式，结合特殊角的三角函数值，求得角C；
(2)运用向量的平方就是向量模的平方，以及向量数量积的定义，结合基本不等式，求得的最大值，再由三角形的面积公式计算即可得到所求的值.
详解：（1）∵，
，

（Ⅱ）取中点，则，在中，，
（注：也可将两边平方）即，
，所以，当且仅当时取等号．
此时，其最大值为.
点睛：该题考查的是有关三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，诱导公式，和角公式，向量的平方即为向量模的平方，基本不等式，三角形的面积公式，在解题的过程中，需要正确使用相关的公式进行运算即可求得结果.
20．（1）；（2）.
【解析】
（1）将代入函数的解析式，将函数的及解析式变形为分段函数，利用二次函数的基本性质可求得函数的值域；
（2）由参变量分离法得出在区间内有解，分和讨论，求得函数的最大值，即可得出实数的取值范围.
【详解】
（1）当时，.
当时，；
当时，.
函数的值域为；
（2）不等式等价于，
即在区间内有解
当时，，此时，，则；
当时，，
函数在区间上单调递增，当时，，则.
综上，实数的取值范围是.
本题主要考查含绝对值函数的值域与含绝对值不等式有解的问题，利用绝对值的应用将函数转化为二次函数，结合二次函数的性质是解决本题的关键，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
21．
【解析】
先将曲线C和直线l的极坐标方程化为直角坐标方程，可得圆心到直线的距离，再由勾股定理，计算即得.
【详解】
以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，
可得曲线C：（）的直角坐标方程为，表示以原点为圆心，半径为r的圆.
由直线l的方程，化简得，
则直线l的直角坐标方程方程为.
记圆心到直线l的距离为d，则，
又，即，所以.
本题考查曲线和直线的极坐标方程化为直角坐标方程，是基础题.
22．（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）将所求问题转化为在上有解，进一步转化为函数最值问题；
（2）将所证不等式转化为，进一步转化为，然后再通过构造加以证明即可.
【详解】
（1），根据题意，在内存在单调减区间，
则不等式在上有解，由得，设，
则，当且仅当时，等号成立，
所以当时，，所以存在，使得成立，
所以的取值范围为。
（2）当时，，则，从而
所证不等式转化为，不妨设，则不等式转化
为，即，
即，令，则不等式转化为，因为
，则，从而不等式化为，设，则
，所以在上单调递增，所以
即不等式成立，故原不等式成立.
本题考查了利用导数研究函数单调性、利用导数证明不等式，这里要强调一点，在证明不等式时，通常是构造函数，将问题转化为函数的极值或最值来处理，本题是一道有高度的压轴解答题.