四川省眉山市2025_2026学年高二上学期12月期中联考数学试题 [含答案]

这是一份四川省眉山市2025_2026学年高二上学期12月期中联考数学试题 [含答案]，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．书架上有1本语文书，3本不同的数学书，4本不同的物理书，某位同学从中任取1本，共有（ ）种取法.
A．8B．7C．12D．5
2．已知今天是星期三，则经过天后是（ ）
A．星期四B．星期五C．星期六D．星期日
3．曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A．B．0C．1D．2
4．甲、乙、丙、丁、戊、己共6名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第6名的名次，已知甲不是第1名，乙既不是第1名也不是第6名，则这6人的名次排列可能有（ ）种不同的情况
A．348B．356C．368D．384
5．在杨辉三角中，每一个数值是它肩上面两个数值之和.这个三角形开头几行如下图，若第行从左到右第12个数与第13个数的比值为2，则（ ）
A．15B．16C．17D．18
6．已知函数，则的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
7．已知数列满足，，设数列的前项和为，若，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
8．过点作曲线的两条切线，切点分别为，，则（ ）
A．B．C．1D．2
二、多选题
9．已知函数，.下列结论正确的是（ ）
A．函数不存在最大值，也不存在最小值B．函数存在极大值和极小值
C．函数有且只有1个零点D．函数的极小值就是的最小值
10．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周，则下列说法正确的是（ ）
A．某学生从中选2门课程学习，共有15种选法
B．课程“乐”“射”排在相邻的两周，共有240种排法
C．课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，共有144种排法
D．课程“礼”不排在第一周，课程“数”不排在最后一周，共有480种排法
11．已知是数列的前n项和，且，则下列结论正确的是（ ）
A．为等比数列B．为等比数列
C．D．
三、填空题
12．的展开式中系数最大的项是第 项.
13．设数列的前n项和满足，且，则 ．
14．已知定义在上的函数，其导函数为，则不等式的解集为 ．
四、解答题
15．在二项式的展开式中，其展开式中各二项式系数和为，求：
（1）和展开式的所有项系数之和；
（2）展开式中的有理项．
16．已知函数，其图象在处的切线过点．
（1）求a的值；
（2）讨论的单调性；
17．设函数，设，．
（1）求数列的通项公式．
（2）若，，数列的前项和为，若对一切成立，求的取值范围．
18．已知函数在点处的切线平行于直线．
（1）若对任意的恒成立，求实数的取值范围；
（2）若是函数的极值点，求证：．
19．已知等差数列中，，，数列满足，．
（1）求，的通项公式；
（2）记为数列的前项和，试比较与的大小；
（3）任意，，求数列的前项和．
答案
1．【正确答案】A
【详解】任取1本可分三类：第一类取的是语文书，第二类取的是数学书，第三类取的是物理书，
由此可得取法为．
故选A．
2．【正确答案】C
【详解】由，
由于能被7整除，
所以除以7余，故经过天后是是星期六；
故选C
3．【正确答案】D
【详解】解：的导数为，
可得在点处的切线的斜率为，
由切线与直线垂直，可得，
解得，
故选．
4．【正确答案】D
【详解】第一步先排第1名，第1名可以是丙、丁、戊、己中的一位，共有种情况；
第二步排乙，可以选择第2、3、4、5名，共有种情况；
第三步排其他人，相当于4个人全排列，共有种情况；
所以共有种情况；
故选D.
5．【正确答案】C
【详解】由杨辉三角的性质知，第n行的数对应的是展开式的二项式系数，
因为第行从左到右第12个数与第13个数的比值为2，
所以，即，解得.
故选C.
6．【正确答案】C
【详解】由题意可得，解得且，即定义域为，可排除D，
设，则，
所以当时，；当时，，即，
所以当时，，可排除A；当，，可排除A，
综上，C为正确选项.
故选C
7．【正确答案】B
【详解】，，数列是以为首项，为公差的等差数列，
，则，
，
，
由得：，解得：，又，.
故选B.
8．【正确答案】B
【详解】由题意得，过点作曲线的两条切线，
设切点坐标为，则，即，
由于，故，，
由题意可知，为的两个解，则，，
故.
故选B
9．【正确答案】BCD
【详解】，则，
令，令或，
所以函数在上单调递减，在和上单调递增，
且，，如图，

所以，函数在处取得极大值，在处取得极小值，
极小值即为最小值，且函数有且只有一个零点0.
故选BCD.
10．【正确答案】ABC
【详解】A：6门中选2门共有种选法，故A正确；
B：课程“乐”“射”排在相邻的两周时，把这两个看成一个整体，有种排法，然后全排列有种排法，根据分步乘法计数原理，“乐”“射”相邻的排法共有种，故B正确；
C：课程“御”“书”“数”排在不相邻的三周，先排剩下的三门课程有种排法，然后利用插空法排课程“御”“书”“数”有种排法，根据分步乘法计数原理，得共有种排法，故C正确；
D：分2种情况讨论：若先把“礼”排在最后一周，再排“数”，有种排法，若先把“礼”不排在最后一周，再排“数”，有种排法，所以，共有种排法，故D错误.
故选ABC.
11．【正确答案】BCD
【详解】对A：因为，，，
所以，，
因此，，，
而，，所以数列不是等比数列，故A错误；
对B：因为，所以，
而，，因此数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确；
对C：由选项B知：数列是首项为，公比为的等比数列，
因此，而，，
所以
，故C正确；
对D：由选项C知：，
因此，故D正确.
故选BCD.
12．【正确答案】10
【详解】展开式的通项为，
由
得，因为，所以，
故系数最大的项是第10项.
13．【正确答案】
【详解】由，得
是以为首相，1为公差的等差数列，
，
，
当 时，，

14．【正确答案】
【详解】构造函数，则，
所以函数在上为增函数，
且.
①当时，由可得，
即，
即，可得，解得，此时；
②当时，由可得，
即.
即，可得，解得，此时.
综上所述，不等式的解集为.
15．【正确答案】（1）；1.
（2）见详解.
【详解】（1）二项式系数和为，，解得，
令二项式中，则．
，所有项系数之和为1．
（2）二项式的通项为，
若为有理项，则，即，
，
，
，
，
，
．
16．【正确答案】（1）
（2）在上递增，在上递增；
【详解】（1）因为函数，
所以，，
则，
所以函在处的切线方程为，
又因为切线过点，
所以，
即，解得；
（2）由（1）知；，则，
令，则，
当时，，当时，，
所以，
即当时，，当时，，
所以在上递增，在上递增；
17．【正确答案】（1）；（2）．
【详解】（1）；
时，，
，
相加得，
所以，又，
所以对一切正整数，有；
（2），
，，，即，，
时，，
，
，即，
，
，，所以即时，取得最大值，，
综上，．
18．【正确答案】（1）
（2）见详解
【详解】（1）的定义域为，，
由题知，解得．
由题意可知对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，只需，
令，则，
所以当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增．
所以，
于是，因此实数的取值范围是．
（2）由条件知，对其求导得，
函数在上单调递增，且，
所以存在，使，即，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
于是是函数的极值点，
所以，即得证．
19．【正确答案】（1），；（2）见详解；（3）
【详解】（1）由题意可得:
，解得:，
故
因为数列满足，，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，
（2）由（1）知：，
，所以
所以，
所以，
所以当时，，
当时，，
当时，；
（3）当为奇数时，，
当为偶数时，
对于任意正整数，有
①，
②，
①②得
，
所以，
以及
，
因此，
所以，数列的前项和为.