2026年湖南省长沙市高三下第一次测试数学试题（含答案解析）

这是一份2026年湖南省长沙市高三下第一次测试数学试题（含答案解析），共2页。试卷主要包含了已知变量的几组取值如下表，已知集合A，B=,则A∩B=，已知函数，一个正三棱柱的正等内容，欢迎下载使用。
1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数，则（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．已知向量，，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
3．已知变量的几组取值如下表：
若与线性相关，且，则实数（ ）
A．B．C．D．
4．已知二次函数的部分图象如图所示，则函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
5．已知集合A，B=,则A∩B=
A．B．C．D．
6．已知函数,关于的方程R)有四个相异的实数根,则的取值范围是( )
A．B．C．D．
7．已知函数（，，），将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
8．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）
A．16B．12C．8D．6
9．已知为虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
10．已知函数f(x)＝,若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，则实数k的取值范围是( )
A． B．
C． D．
11．为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标，国家加大了扶贫攻坚的力度．某地区在2015 年以前的年均脱贫率（脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比）为．2015年开始，全面实施“精准扶贫”政策后，扶贫效果明显提高，其中2019年度实施的扶贫项目，各项目参加户数占比（参加该项目户数占 2019 年贫困户总数的比）及该项目的脱贫率见下表：
那么年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的（ ）
A．倍B．倍C．倍D．倍
12．在正方体中，球同时与以为公共顶点的三个面相切，球同时与以为公共顶点的三个面相切，且两球相切于点.若以为焦点，为准线的抛物线经过，设球的半径分别为，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，在区间上随机取一个数，则使得≥0的概率为 ．
14．曲线在点处的切线方程是__________.
15．已知双曲线()的左右焦点分别为，为坐标原点，点为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率的取值范围为_____.
16．若存在直线l与函数及的图象都相切，则实数的最小值为___________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）如图，四棱锥中，底面是边长为的菱形，，点分别是的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
18．（12分）已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求和的普通方程；
（2）过坐标原点作直线交曲线于点（异于），交曲线于点，求的最小值.
19．（12分）某公司为了鼓励运动提高所有用户的身体素质，特推出一款运动计步数的软件，所有用户都可以通过每天累计的步数瓜分红包，大大增加了用户走步的积极性，所以该软件深受广大用户的欢迎.该公司为了研究“日平均走步数和性别是否有关”，统计了2019年1月份所有用户的日平均步数，规定日平均步数不少于8000的为“运动达人”，步数在8000以下的为“非运动达人”，采用按性别分层抽样的方式抽取了100个用户，得到如下列联表：
（1）（i）将列联表补充完整；
（ii）据此列联表判断，能否有的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”？
（2）将频率视作概率，从该公司的所有人“运动达人”中任意抽取3个用户，求抽取的用户中女用户人数的分布列及期望.
附：
20．（12分）已知椭圆的左右焦点分别是，点在椭圆上，满足
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线过点，且与椭圆只有一个公共点，直线与的倾斜角互补，且与椭圆交于异于点的两点，与直线交于点（介于两点之间），是否存在直线，使得直线，，的斜率按某种排序能构成等比数列？若能，求出的方程，若不能，请说理由.
21．（12分）中国古代数学经典《数书九章》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马中，底面ABCD是矩形.平面，，，以的中点O为球心，AC为直径的球面交PD于M（异于点D），交PC于N（异于点C）.
（1）证明：平面，并判断四面体MCDA是否是鳖臑，若是，写出它每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
22．（10分）设等比数列的前项和为，若
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）在和之间插入个实数，使得这个数依次组成公差为的等差数列，设数列的前项和为，求证：.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
结合分段函数的解析式,先求出,进而可求出.
【详解】
由题意可得，则.
故选:C.
本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题.
2．B
【解析】
由已知向量的坐标，利用平面向量的夹角公式，直接可求出结果.
【详解】
解：由题意得，设与的夹角为，
，
由于向量夹角范围为：，
∴.
故选：B.
本题考查利用平面向量的数量积求两向量的夹角，注意向量夹角的范围.
3．B
【解析】
求出，把坐标代入方程可求得．
【详解】
据题意，得，所以，所以．
故选：B．
本题考查线性回归直线方程，由性质线性回归直线一定过中心点可计算参数值．
4．B
【解析】
由函数f(x)的图象可知，0＜f(0)＝a＜1，f(1)＝1－b＋a＝0，所以1＜b＜2.
又f′(x)＝2x－b，所以g(x)＝ex＋2x－b，所以g′(x)＝ex＋2＞0，所以g(x)在R上单调递增，
又g(0)＝1－b＜0，g(1)＝e＋2－b＞0，
根据函数的零点存在性定理可知，函数g(x)的零点所在的区间是(0，1)，
故选B.
5．A
【解析】
先解A、B集合，再取交集。
【详解】
,所以B集合与A集合的交集为，故选A
一般地，把不等式组放在数轴中得出解集。
6．A
【解析】
=,当时时,单调递减，时,单调递增,且当,当, 当时，恒成立，时,单调递增且,方程R)有四个相异的实数根.令=则,,即.
7．B
【解析】
先根据图象求出函数的解析式,再由平移知识得到的解析式,然后分别找出
和的等价条件,即可根据充分条件,必要条件的定义求出.
【详解】
设,根据图象可知,
,
再由, 取,
∴.
将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,
∴.
,,
令,则,显然,
∴是的必要不充分条件.
故选：B．
本题主要考查利用图象求正(余)弦型函数的解析式,三角函数的图形变换, 二倍角公式的应用,充分条件,必要条件的定义的应用,意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力,属于中档题.
8．B
【解析】
根据正三棱柱的主视图，以及长度，可知该几何体的底面正三角形的边长，然后根据矩形的面积公式，可得结果.
【详解】
由题可知：该几何体的底面正三角形的边长为2
所以该正三棱柱的三个侧面均为边长为2的正方形，
所以该正三棱柱的侧面积为
故选：B
本题考查正三棱柱侧面积的计算以及三视图的认识，关键在于求得底面正三角形的边长，掌握一些常见的几何体的三视图，比如：三棱锥，圆锥，圆柱等，属基础题.
9．B
【解析】
求出复数，得出其对应点的坐标，确定所在象限．
【详解】
由题意,对应点坐标为 ，在第二象限．
故选：B．
本题考查复数的几何意义，考查复数的除法运算，属于基础题．
10．D
【解析】
由已知可将问题转化为：y＝f(x)的图象和直线y＝kx－有4个交点，作出图象，由图可得：点(1,0)必须在直线y＝kx－的下方，即可求得：k＞；再求得直线y＝kx－和y＝ln x相切时，k＝；结合图象即可得解.
【详解】
若关于x的方程f(x)＝kx－恰有4个不相等的实数根，
则y＝f(x)的图象和直线y＝kx－有4个交点．作出函数y＝f(x)的图象，如图，
故点(1,0)在直线y＝kx－的下方．
∴k×1－＞0，解得k＞.
当直线y＝kx－和y＝ln x相切时，设切点横坐标为m，
则k＝＝，∴m＝.
此时，k＝＝，f(x)的图象和直线y＝kx－有3个交点，不满足条件，
故所求k的取值范围是，
故选D..
本题主要考查了函数与方程思想及转化能力，还考查了导数的几何意义及计算能力、观察能力，属于难题．
11．B
【解析】
设贫困户总数为，利用表中数据可得脱贫率，进而可求解.
【详解】
设贫困户总数为，脱贫率，
所以.
故年的年脱贫率是实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的倍.
故选：B
本题考查了概率与统计，考查了学生的数据处理能力，属于基础题.
12．D
【解析】
由题先画出立体图，再画出平面处的截面图，由抛物线第一定义可知，点到点的距离即半径，也即点到面的距离，点到直线的距离即点到面的距离因此球内切于正方体，设，两球球心和公切点都在体对角线上，通过几何关系可转化出，进而求解
【详解】
根据抛物线的定义，点到点的距离与到直线的距离相等，其中点到点的距离即半径，也即点到面的距离，点到直线的距离即点到面的距离，因此球内切于正方体，不妨设，两个球心和两球的切点均在体对角线上，两个球在平面处的截面如图所示，则，所以.又因为，因此，得，所以.

故选：D
本题考查立体图与平面图的转化，抛物线几何性质的使用，内切球的性质，数形结合思想，转化思想，直观想象与数学运算的核心素养
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
试题分析：可以得出，所以在区间上使的范围为，所以使得≥0的概率为
考点：本小题主要考查与长度有关的几何概型的概率计算.
点评：几何概型适用于解决一切均匀分布的问题，包括“长度”、“角度”、“面积”、“体积”等，但要注意求概率时做比的上下“测度”要一致.
14．
【解析】
利用导数的几何意义计算即可.
【详解】
由已知，，所以，又，
所以切线方程为，即.
故答案为：
本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，要注意在某点处的切线与过某点的切线的区别，是一道容易题.
15．
【解析】
法一:根据直角三角形的性质和勾股定理得，，,又由双曲线的定义得,将离心率表示成关于的式子,再令，则，令对函数求导研究函数在上单调性，可求得离心率的范围.
法二：令，，，，，根据直角三角形的性质和勾股定理得，将离心率表示成关于角的三角函数，根据三角函数的恒等变化转化为关于的函数，可求得离心率的范围.
【详解】
法一:，，，,
，,
设，则，
令，所以时，，在上单调递增， ，，.
法二：，，令，，，，，
，，，
，
.
故答案为：.
本题考查求双曲线的离心率的范围的问题，关键在于将已知条件转化为与双曲线的有关，从而将离心率表示关于某个量的函数，属于中档题.
16．
【解析】
设直线l与函数及的图象分别相切于，，
因为，所以函数的图象在点处的切线方程为，即，因为，所以函数的图象在点处的切线方程为，即，因为存在直线l与函数及的图象都相切，所以，所以，
令，设，则，
当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，
所以，所以实数的最小值为．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）取的中点，连接，通过证明，即可证得；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量的坐标表示即可得解.
【详解】
（1）证明：取的中点，连接．
是的中点，，又，
四边形是平行四边形．
，又平面平面，
平面．
（2），，
同理可得：，又平面．
连接，设，
则，建立空间直角坐标系．

设平面的法向量为，
则，则，取．
直线与平面所成角的正弦值为．
此题考查证明线面平行，求线面角的大小，关键在于熟练掌握线面平行的证明方法，法向量法求线面角的基本方法，根据公式准确计算.
18．（1）曲线的普通方程为：；曲线的普通方程为：（2）
【解析】
（1）消去曲线参数方程中的参数，求得和的普通方程.
（2）设出过原点的直线的极坐标方程，代入曲线的极坐标方程，求得的表达式，结合三角函数值域的求法，求得的最小值.
【详解】
（1）曲线的普通方程为：；
曲线的普通方程为：.
（2）设过原点的直线的极坐标方程为；
由得，所以曲线的极坐标方程为
在曲线中，.
由得曲线的极坐标方程为，所以
而到直线与曲线的交点的距离为，
因此，
即的最小值为.
本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查直角坐标方程化为极坐标方程，考查极坐标系下距离的有关计算，属于中档题.
19．（1）（i）填表见解析（ii）没有的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”（2）详见解析
【解析】
（1）(i)由已给数据可完成列联表，(ii)计算出后可得；
（2）由列联表知从运动达人中抽取1个用户为女用户的概率为，的取值为，，由二项分布概率公式计算出各概率得分布列，由期望公式计算期望．
【详解】
解（1）（i）
（ii）由列联表得
所以没有的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”
（2）由列联表知从运动达人中抽取1个用户为女用户的概率为，.
易知
所以的分布列为
．
本题考查列联表，考查独立性检验，考查随机变量的概率分布列和期望．属于中档题．本题难点在于认识到．
20．（1）；（2）不能，理由见解析
【解析】
（1）设，则，由此即可求出椭圆方程；
（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆的方程可求得，则直线斜率为，设其方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得关于对称，可求得，假设存在直线满足题意，设，可得，由此可得答案．
【详解】
解：（1）设，则，
，
所以椭圆方程为；
（2）设直线的方程为，
与联立得，
∴，
因为两直线的倾斜角互补，所以直线斜率为，
设直线的方程为，
联立整理得，
，
所以关于对称，
由正弦定理得，
因为,所以，
由上得，
假设存在直线满足题意，
设，按某种排列成等比数列，设公比为，则，
所以，则此时直线与平行或重合，与题意不符，
所以不存在满足题意的直线．
本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力与推理能力，属于难题．
21．（1）证明见解析，是，，，，；（2）
【解析】
（1）根据是球的直径，则，又平面， 得到，再由线面垂直的判定定理得到平面，，进而得到，再利用线面垂直的判定定理得到平面.
（2）以A为原点，，，所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系，设，由，解得，得到，从而得到，然后求得平面的一个法向量，代入公式求解.
【详解】
（1）因为是球的直径，则，
又平面，
∴，.∴平面，
∴，∴平面.
根据证明可知，四面体是鳖臑.
它的每个面的直角分别是，，，.
（2）如图，
以A为原点，，，所在直线为x，y，z轴建立直角坐标系，
则，，，，.
M为中点，从而.
所以，设，
则.
由，
得.
由得，即.
所以.
设平面的一个法向量为.
由.
取，，，得到.
记与平面所成角为θ，
则.
所以直线与平面所成的角的正弦值为.
本题主要考查线面垂直的判定定理和线面角的向量求法，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
22．（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ），，两式相减化简整理利用等比数列的通项公式即可得出．
（Ⅱ）由题设可得，可得，利用错位相减法即可得出．
【详解】
解：（Ⅰ）因为，故，两式相减可得，
，故，
因为是等比数列，∴，又，所以，
故，所以；
（Ⅱ）由题设可得，所以，
所以，①
则，②
①－②得：，
所以，得证.
本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
1
2
3
4
7
实施项目
种植业
养殖业
工厂就业
服务业
参加用户比
脱贫率
运动达人
非运动达人
总计
男
35
60
女
26
总计
100
运动达人
非运动达人
总计
男
35
25
60
女
14
26
40
总计
49
51
100
0
1
2
3