2025-2026学年云南曲靖市富源县高一上学期1月考试卷数学试题

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一、单选题
1．命题“”的否定为（ ）
A．B．
C．D．
2．已知，则的分数指数幂形式为（ ）
A．B．C．D．
3．下列函数，既是幂函数，又存在零点的是（ ）
A．B．C．D．
4．函数在上的图象大致为（ ）
A．B．
C．D．
5．若，则（ ）
A．B．C．D．
6．若关于的不等式的解集中恰有2个整数，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
7．（ ）
A．B．1C．D．
8．已知函数，且，，，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列各角，终边与角的终边相同的是（ ）
A．B．C．D．
10．下列结论正确的有（ ）
A．若，则
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若，则
D．若，则
11．已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数
B．，
C．若，则为定值
D．若是三条边的边长，则
三、填空题
12．集合的子集的个数为 ．
13．物理学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型．若物体的初始温度是，环境温度是，则经过分钟，物体的温度满足，其中是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有的物体，放在的空气中冷却，经过10分钟，物体的温度为，则再经过20分钟，物体的温度为 ．
14．在函数①，②，③，④中，最小正周期为的所有函数的序号为 ．
四、解答题
15．已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
16．某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表．
(1)将表中数据补充完整，并直接写出的解析式；
(2)将的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求在上的单调区间．
17．已知函数满足．
(1)求的解析式；
(2)若是的零点，证明：．
18．设函数．
(1)当时，求图象的对称中心的坐标．
(2)已知在上有且仅有4个零点．
（i）求的取值范围；
（ii）若，不等式在上恒成立，求的取值范围．
19．定义：给定函数，若存在实数、，且、、有意义时，在定义域内恒成立，则称函数具有“”性质.
(1)证明：函数不具有“”性质.
(2)判断函数是否具有“”性质.若是，写出、的值；若不是，请说明理由.
(3)设定义域为的奇函数具有“”性质，且当时，，若函数，试讨论在上的零点个数.
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《云南曲靖市富源县2025-2026学年高一上学期1月考试卷数学试题》参考答案
1．C
【分析】利用全称量词命题的否定为存在量词命题，即可求解．
【详解】由全称量词命题的否定为存在量词命题，知原命题的否定为：.
故选：C
2．A
【分析】利用分数指数幂的运算法则化简.
【详解】．
故选：A
3．D
【分析】根据幂函数的定义和性质判断即可.
【详解】幂函数形式：，所以不是幂函数，
但没有零点，不符合题意，
既是幂函数，又存在零点．
故选：D.
4．C
【分析】根据函数奇偶性和特值进行排除.
【详解】，所以是偶函数，
的图象关于轴对称，排除A，B．
，排除D，所以只有C正确．
故选：C．
5．B
【分析】引入中间值判断与的大小关系，又，从而可判断的大小关系.
【详解】函数在上单调递增，，
所以，即，
，，
所以．
故选：B.
6．D
【分析】分类讨论求出含参一元二次不等式的解集，然后根据题意得到不等式组，进而可以求出结果.
【详解】．
若，则原不等式的解集为，则，得；
若，则原不等式的解集为空集，不符合题意；
若，则原不等式的解集为，则，得．
综上所述，的取值范围为．
故选：D
7．B
【分析】利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，辅助角公式和正弦二倍角公式进行化简.
【详解】
．
故选：B
8．C
【分析】由题意可得在上单调递增，结合指数函数、一次函数的性质求解即可.
【详解】因为，所以，
又因为，，，
所以在上单调递增，
则由，得.
所以a的取值范围为.
故选：C.
9．BCD
【分析】根据终边相同的角的判断方法逐一判断即可.
【详解】．
故选：BCD
10．BD
【分析】根据不等式的性质、充分条件和必要条件的定义，分别对选项逐一进行分析即可.
【详解】对于A，通过作差法得，，，
又的正负无法确定，当时，，即；
当时，，即.故A错误.
对于B，当时，可以推出，
当时，不一定有，例如：时，但不满足，
因此“”是“”的充分不必要条件，故B正确.
对于C，，，
对和作差，，
，，.故C错误.
对于D，，，
根据分子相同，分母越大，分数越小的原则，可得，故D正确.
故选：BD.
11．ACD
【分析】根据奇函数定义可判断A；根据奇偶性和复合函数单调性判断的单调性，结合对称性和可判断B；利用对称性可判断C；先判断的单调性，然后结合三角形构成条件即可判断D.
【详解】对A，因为恒成立，
所以的定义域为，
又，所以，
所以
，
所以是奇函数，正确；
对B，因为是奇函数，所以，
所以，
因为在上单调递增，且恒成立，
所以由复合函数单调性可知在上单调递增，
又因为为奇函数，所以在上单调递增，
由平移变换可知在上单调递增，
因为当时，恒成立，所以，所以，
所以恒成立，错误；
对C，由可知，当时，，
所以，正确；
对D，因为在上单调递增，且为增函数，
所以在上单调递增，
若是三条边的边长，则，所以，正确.
故选：ACD
12．4
【分析】求出集合中的元素，由子集的定义求解．
【详解】因为，
所以的子集的个数为．
故答案为：4
13．30
【分析】首先根据及经过10分钟，物体的温度为，得出的值，再求出再经过20分钟，物体的温度即可．
【详解】由题意得，，，代入，
得，即，
所以，
所以，
由题意再经过20分钟，将代入，
即，得，
即再经过20分钟，物体的温度为，
故答案为：30．
14．②④
【分析】通过取特值法验证函数的周期排除①；利用图象的翻折规律判断②；根据诱导公式和余弦型函数的周期性公式计算判断③；利用正切型函数的周期公式计算判断④.
【详解】对于函数，取，则，
若周期为，则，
因为，所以该函数的最小正周期不为，①错误；
可由的图象在轴下方的图象向上翻折（原先在轴上方的图象不变）得到，故其周期变为原来的一半，最小正周期为，②正确；
因为，所以的最小正周期为③错误；
的最小正周期为，④正确；
故答案为：②④
15．(1)
(2)
【分析】（1）运用诱导公式结合已知条件化简所求式，计算求解；
（2）运用二倍角公式及结合已知条件化简所求式，再计算求解．
【详解】（1），，
．
（2），，
．
16．(1)表格数据答案见解析，解析式
(2)单调递增区间为；单调递减区间为
【分析】（1）利用表中已有数据可得，联立方程组可解得，可补充表中数据并求出函数解析式.
（2）由伸缩变换规则可得，可通过整理代换法令和，求出所有单调区间即可得出其在上的单调区间；也可以利用，求得，结合正弦函数单调性可求得结论.
【详解】（1）根据表中第二列数据可知，解得；
结合第一列和第五列数据可得，解得；
因此可将表中数据补充如下．
可知
（2）易知
方法一：
由，得．
令，得在上单调递增，
令，得在上单调递增，
所以在上的单调递增区间为．
由，得，
令，得在上单调递减，
即在上的单调递减区间为．
方法二：
由，得．
当或时，即或时，单调递增，
可得在上的单调递增区间为．
当，即时，单调递减，
所以在上的单调递减区间为．
17．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用列方程组法求解函数的解析式即可；
（2）先由零点存在定理求得，由函数的零点定义可得，利用作差比较法和基本不等式即可证明结论.
【详解】（1）由，①
可得，②
②2①，得
，
则．
（2）由（1）可知，显然是上的增函数．
因为，由零点存在定理，可得．
由，得，则，
由．
因为，所以．则，当且仅当时，等号成立．
因为，所以，则，
则．
18．(1)
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）利用二倍角正、余弦公式化简，代入求出，进而求解；
（2）利用正弦型函数的图象和性质，结合零点个数求的范围；利用不等式恒成立条件构造不等式求的范围．
【详解】（1）
，
当时，．
令，得，
图象的对称中心的坐标为．
（2）（i）由（1）得，
由，得，
在上有且仅有4个零点，，
解得，的取值范围为．
（ii）若，则，故．
不等式在上恒成立，
在上恒成立．
由，得，
，则，
解得，即的取值范围为．
19．(1)证明见解析
(2)具有，且，
(3)答案见解析
【分析】（1）利用“”性质的定义结合指数的运算性质计算即可证得结论成立；
（2）根据“”性质可得出关于、的方程组，解之即可；
（3）根据“”性质结合奇函数的性质推导出函数是周期为的周期函数，数形结合得出当在不同取值下，函数与在图象的公共点的个数，即可得出结论.
【详解】（1）假设函数具有“”性质，则存在、使得，
即，所以，
因为是常数，而不是常数，故等式不成立，
所以函数不具有“”性质.
（2）函数是否具有“”性质，理由如下：
由题意可知，
整理可得对任意的恒成立，
所以，解得.
（3）因为函数具有“”性质，即对任意的，有，
即，
又因为函数为奇函数，故，可得，
故函数是周期为的周期函数，且有，
当时，，则，此时，
当时，，则，此时，
所以当时，，
作出函数在上的图象如下图所示：
当直线过点，则，可得，
当直线过点时，则，可得，
因为，当时，直线与函数在上的公共点个数为，
当时，直线与函数在上的公共点个数为，
当时，直线与函数在上的公共点个数为，
当时，直线与函数在上的公共点个数为，
当时，直线与函数在上的公共点个数为.
综上所述，当时，在上的零点个数为个，
当时，在上的零点个数为个，
当时，在上的零点个数为个，
当时，在上的零点个数为个，
当时，在上的零点个数为个.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
C
B
D
B
C
BCD
BD
题号
11









答案
ACD









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