云南省曲靖市富源县多校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷(含答案)

这是一份云南省曲靖市富源县多校2024-2025学年高二上学期开学考试数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知,,则( )
A.B.
C.D.
2．命题“,”的否定是( )
A.,B.,
C.,D.,
3．已知复数（其中i为虚数单位）,则复数在复平面内对应的点位于( ).
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
4．已知角的顶点与坐标原点重合,始边与x轴正半轴重合,终边落在直线上,则( ).
A.B.C.D.
5．某高中的三个年级共有学生2000人,其中高一600人,高二600人,高三800人,该校现在要了解学生对校本课程的看法,准备从全校学生中抽取80人进行访谈,若采取按比例分配的分层抽样,且按年级来分层,则高一年级应抽取的人数是( )
A.24B.26C.30D.36
6．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列说法正确的是( )
A.若，，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，则
7．一枚质地均匀的正方体骰子,其六个面分别刻有1,2,3,4,5,6六个数字,投掷这枚骰子两次,事件“第一次向上一面的数字是2”,事件“第二次向上一面的数字是3”,事件“两次向上一面的数字之和是7”,事件“两次向上一面的数字之和是8”,则( )
A.C与D相互独立B.A与D相互独立
C.B与D相互独立D.B与C相互独立
8．我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明，极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则( )
A.9B.C.12D.
二、多项选择题
9．已知甲种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.7，10.0，10.0，10.0，10.3，乙种杂交水稻近五年的产量（单位：吨/公顷）数据为：9.6，9.7，10.0，10.2，10.5，则( )
A.甲种的样本平均数等于乙种的样本平均数
B.甲种的样本方差大于乙种的样本方差
C.甲种样本的分位数小于乙种样本的分位数
D.甲乙两种水稻近五年的总方差为
10．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为，则( )
A.该圆锥的体积为B.该圆锥的侧面积为
C.D.的面积为
11．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,其中,且,则下列说法正确的是( )
A.
B.面积的最大值为
C.若D为边BC的中点,则AD的最大值为3
D.若为锐角三角形,则其周长的取值范围为
三、填空题
12．已知向量,,则在方向上的投影向量为__________.
13．已知函数和,其中、均可取1、2、3、4、5、6中的任一数.则这两函数图象有交点的概率为____________.
14．已知,是单位向量,且,则向量与的夹角为___________.
四、解答题
15．在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量,且.
(1)求角A;
(2)若,,求内切圆的半径.
16．如图,在四棱锥中,底面是正方形,平面,且,点E为线段的中点.
(1)求证：平面;
(2)求证：平面;
17．某地区对初中500名学生某次数学成绩进行分析，将得分分成8组（满分150分）：，,,,,,,，整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求第七组的频率；
(2)用样本数据估计该地的500名学生这次考试成绩的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)现从500名学生中利用分层抽样的方法从,的两组中抽取5个人进一步做调查问卷，再从这5个人中随机抽取两人，求抽取到的两人不在同一组的概率.
18．设函数.
(1)求的图象的对称轴方程和对称中心的坐标;
(2)求在上的最值.
19．如图,四棱锥的底面是边长为2的菱形,底面,,E,F分别是,的中点,.
(1)求四棱锥的体积;
(2)求与底面所成角的正切值.
参考答案
1．答案：A
解析：因为,,则.
故选：A.
2．答案：C
解析：由全称命题的否定知原命题的否定为,.
故选：C.
3．答案：D
解析： ,,
复数在复平面内对应的点的坐标为,位于第四象限.
故选：D.
4．答案：B
解析：角的顶点与坐标原点重合,始边与x轴正半轴重合,终边落在直线上,
,
,
故选：B.
5．答案：A
解析：依题意高一年级应抽取的人数为人.
故选：A.
6．答案：B
解析：若，，则或m与n异面，故A错误;
若，，由直线与平面垂直的性质可得，故B正确;
若，，则或或n与相交，故C错误;若，，则或，故D错误.
故选:B.
7．答案：D
解析：投掷这枚骰子两次,共有个基本事件,
共6个基本事件,则,
共6个基本事件,则,
共6个基本事件,则,
共5个基本事件,则,
事件为不可能事件,则,
所以C与D不相互独立,故A错误;
事件共1个基本事件,则,
所以A与D不相互独立,故B错误;
事件共1个基本事件,则,
所以B与D不相互独立,故C错误;
事件共1个基本事件,则,
所以B与C相互独立,故D正确.
故选：D.
8．答案：B
解析：由题意可知，，，
设，由勾股定理可得，解得，
所以，所以，
故选：B.
9．答案：ACD
解析：对于A，，，正确；
对于B，因为甲、乙平均值都为，所以，
，
显然甲种的样本方差小于乙种的样本方差，错误；
对于C，，故甲种样本的分位数为10.0，
乙种样本的分位数为10.2，所以甲种样本的分位数小于乙种样本的分位数，正确；
对于D，甲乙两种水稻近五年的总方差为，
故甲乙两种水稻近五年的总方差为
，
正确.
故选：ACD
10．答案：AC
解析：对于A，依题意，圆锥母线长，，，所以底面圆的半径，圆锥的体积为，故A正确；对于B，该圆锥的侧面积为；故B错误；
对于C，如图，取AC的中点M，连接PM，OM，则，又因为，所以，故为二面角的平面角，即，所以，即，所以，故C正确；
对于D，由选项C可知，，，，所以的面积为，故D错误.故选AC.
11．答案：ACD
解析：由题意可知,利用余弦定理得,因为,所以,故A正确;
由上述可知,的面积,且易知,解出,当且仅当时取等号,此时,故B错误;
在和中,对和利用余弦定理,,化简后有,由上述知,BC的最大值为12,因此AD最大为3,故C正确;
利用正弦定理,,则,,于是的周长,由于是锐角三角形,因此解出,则,故
D正确.故选ACD.
12．答案：
解析：,
则在方向上的投影向量为.
故答案为：.
13．答案：
解析：根据已知条件联立,即,整理有：,
因为两函数图象有交点,所以,即,
当时,无解;当时,;当时,;
当时,;当时,;
当时,;综上,满足条件的、共19对,
又根据已知条件、的所有取值情况为种,
所以两函数图象有交点的概率为.
故答案为：.
14．答案：
解析：,同理,
,,
由向量夹角的范围为,所以向量与的夹角为.
故答案为：.
15．答案：（1）；
（2）
解析：（1）因为向量与平行，所以，
由正弦定理得，
又，所以，所以，
又，所以；
（2）由余弦定理得，所以，解得或（舍），
所以的面积，
设内切圆的半径为r，
所以，解得.
16．答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
解析：(1)连接,交于点O,连接,
是正方形对角线交点, 为的中点,
由已知E为线段的中点, ,
又平面,平面,
平面;
(2),E为线段的中点,,
平面,平面,,
在正方形中,,又,,平面,
平面,又平面,
,又,,平面,
平面;
17．答案：(1)0.080
(2)102分
(3)
解析：（1）由频率分布直方图得第七组的频率为：
；
（2）用样本数据估计该地500名学生这次考试成绩的平均分为：
（分）；
（3）由频率分布直方图可知的频数为的频数为，所以两组人数比值为，
按照分层抽样抽取5人，则在,分别抽取3人和2人，
记这组三人的编号为A,B,C,这组两人的编号为a,b，
故从5人随机抽取2名，共10种情况，为：
,,,,,,,,,
设事件“从5个人中随机抽取两人，抽取到的两人不在同一组”
则，共6种情况.
故，
即从这5个人中随机抽取两人，则抽取到的两人不在同一组的概率为.
18．答案：(1),;,;
(2),.
解析：(1)因为,
令,,解得,
所以的对称轴方程为,,
令,得,,
可得函数图象的对称中心的坐标为,;
(2)因为,所以,
令,解得,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,,,故.
19．答案：(1);
(2).
解析：(1),,四边形为菱形
,
如图,连,相交于点O,连.
,,
平面,平面,且.
.
(2) 平面, 与底面形成的角为.
,
.故与底面所成角的正切值为.