黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试卷含解析（word版+pdf版）

这是一份黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2025-2026学年高一下学期4月月考数学试卷含解析（word版+pdf版），共4页。试卷主要包含了单选题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第I卷 (选择题共 58 分)
一、单选题:本大题共 8 小题，每个小题 5 分，共 40 分. 在每小题给出的选项中，只有一项是符合 题目要求的.
1. 化简: AB+AC+BA+CB 等于( )
A. AB B. BA C. CA D. AC
2. 一个圆锥的高是 3 ,侧面积是 2π ,则该圆锥轴截面的周长为( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
3. 设 a,b 是非零向量,则 aa=bb 是 a=2b 成立的 ( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示, 此直观图恰好是一个边长为 2 的正方形，则原平面图形的面积为 ( )
A. 4 B. 4+43 C. 16 D. 82
5. 已知向量 a=2csα,−1,b=3csα,1 ，且 a⊥b ，则 cs2α= ()
A. −23 B. 23 C. −13 D. 13
6. 对于两个不共线向量 e1,e2 ,已知 a=4e1+3e2,b=me1−2e2 ,若 2a−b 与 b 共线,则 m 的值为 ( )
A. −53 B. 83 C. −83 D. 53
7. 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD−A1B1C1D1 中, E 是 AB 的中点, 动点 P 在正方体内部或表面上,若 PB1// 平面 DEC1 ,则动点 P 的轨迹所形成的区域面积为( )
A. 4B. 92 C. 6D. 214
8. 在 △ABC 中,已知 AB⋅AC=9,sinB=csA⋅sinC,△ABC 的面积为 6,P 为线段 AB 上的一点,且 CP=x⋅CACA+y⋅CBCB ,则 1x+1y 的最小值为 ( )
A. 7+2312 B. 7+3212 C. 7+2612 D. 7+4312
二、多项选择题:本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求, 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 已知平面向量 a=1,3,b=−2,1 ，则()
A. a=10
B. 2a−b⊥b
C. a 与 b 的夹角为锐角
D. a 在 b 上的投影向量为 −25,15
10. 在正方体 ABCD−A1B1C1D1 中，点 E,F,G 分别是棱 A1B1,B1C1,BB1 的中点，则( )
A. FG// 平面 AA1D1D B. EF// 平面 BC1D1
C. FG// 平面 BC1D1 D. 平面 EFG// 平面 BC1D1
11. 如图, AB,CD 是半径为 1 的圆 O 的两条不同的直径, AM=2MO ,则 ( )
A. AM=13MB
B. MC⋅MD=−89
C. 满足 MB=λMC+μMD 的实数 λ 与 μ 的和为定值 4
D. sin∠CMD 的最大值为 35
第II卷(非选择题共 92 分)
三、填空题:本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知向量 a,b 满足 a−b=5,a+b=2a−b ，则 b= _____.
13. 若圆锥和圆柱的底面半径、高和侧面积都相等，设该圆锥体积为 33π ，则该圆柱的高为_____.
14. 已知一正三棱台的上、下底面边长分别为 3 、 23 ，若该正三棱台的体积为 734 ，则它的外接球的体积为_____.
四、解答题:本大题共 5 小题，共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分) 已知向量 a,b 满足 a=3,b=2,a+b⊥b .
(1)求向量 a 与 b 的夹角 θ 的余弦值；
(2)求 2a+b .
16. (15 分) 设 △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,其面积为 S ,已知 2S+3AB⋅AC=0 . (1)求角 A 的大小；
(2)若 a=3 ，设 G 是 △ABC 的重心，求 AG 的最小值.
17. (15 分)如图，在圆柱 OO1 中， AC ， A1C1 分别为圆 O ，圆 O1 的直径， AA1,BB1,CC1 为圆柱的母线.
(1)求证:平面 A1OB// 平面 O1B1C ；
(2)若圆 O 的半径为 2,∠BAC=30∘,A1A=AB ，点 P 为 A1B 的中点， 求三棱锥 P−O1B1C 的体积.
18.(17 分)如图，在四棱锥 P−ABCD 中， AD//BC ， M ， N 分别是 PB ， CD 的中点， AD=3BC ， PE=λED.
(1)求证: MN// 平面 PAD ；
(2)若 PB// 平面 ACE ，求 λ 的值；
(3)当 λ=2 时，若 PA=PB=PC=AD=9,CD=12,AF=2FD ， 请在图中作出四棱锥 P−ABCD 过点 B,E,F 的截面(保留作图痕迹)， 并求出截面周长.
19. (17 分) 对于一组向量 a1,a2,a3,⋯,ann∈N,n≥3 ,记 Γn=a1,a2,a3,⋯,an ,令向量 Sn=a1+a2+a3+⋯+an ,如果存在向量 ap,p∈{1,2,3,⋯,n} ,使得 ap≥Sn+kapk∈Z , 那么称 ap 是 Γn 的“ k 向量”.
(1)设 an=n,x−n,n∈N∗ ，若 a3 是 Γ3 的“-3 向量”，求实数 x 的取值范围；
(2)若 an=sinnπ2,csnπ2,n∈N∗,Γ7 是否存在 “-1 向量”? 给出你的结论并说明理由;
(3)已知 a1,a2,a3 均是 Γ3 的 “-1 向量”,其中 a1=sinx,csx,a2=2csx,2sinx . 设在平面直角坐标系中有一点列 P1,P2,P3,⋯,Pn 满足: P1 为坐标原点, P1P2=a3 ,且 P2k+1 与 P2k 关于点 P1 对称, P2k+2 与 P2k+1k∈N∗ 关于点 P2 对称,求 P2025P2026 的最小值.