黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2024-2025学年高二下学期4月考试数学试题（Word版附解析）

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是符合题目要求的.）
1. 已知等差数列 满足 ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用等差数列的性质，可得答案.
【详解】因为 ，解得 .
故选：B.
2. 根据变量 和 的成对样本数据，由一元线性回归模型 得到经验回归模型
，求得残差图．对于以下四幅残差图，满足一元线性回归模型中对随机误差假设的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元线性回归模型中对随机误差的假定进行判断．
【详解】对于 A，残差比较均匀地分布在以取值为 0 的横轴为对称轴的水平带状区域内，故 A 正确；
对于 B，残差与观测时间有线性关系，故 B 错误；
对于 C，残差的方差不是一个常数，随着观测时间变大而变小再变大，故 C 错误；
对于 D，残差与观测时间是非线性关系，故 D 错误.
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故选：A.
3. 已知数列 的前 n 项和 ，则 （ ）
A. B. 2 C. 4 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】根据数列前 项和 与 的关系求出数列的通项公式，再分别求出 、 、 的值，最后代入
进行计算.
【详解】已知 ，当 时， .
当 时，
.
当 时， ；
当 时， ；
当 时， .
将 ， ， 代入 可得：
.
的值为 .
故选：D.
4. 设 是等比数列 的前 n 项和，若 ， ，则 （ ）
A. 8 B. 9 C. 18 D. 19
【答案】D
【解析】
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【分析】设等比数列 的公比为 ，由已知求出 ，再结合前 项和的意义求得答案.
【详解】设等比数列 的公比为 ，由 ，得 ，
则 ， ，
，
所以 .
故选：D
5. 已知蝗虫的产卵量 y 与温度 x 的关系可以用模型 拟合，设 ，其变换后得到一组数据：
x 20 23 25 27 30
z 2 2.4 3 3 4.6
由上表可得经验回归方程 ，则 （ ）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】利用回归直线过点 ，结合题意可得答案.
【详解】 ，由题可得
注意到回归直线过点 ，
由题可得 ，
则 .
故选：A
6. 记 为等差数列 的前 项和，已知 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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【分析】由 结合等差中项的性质可得 ，即可计算出公差，即可得 的值.
【详解】由 ，则 ，
则等差数列 的公差 ，故 .
故选：B.
7. 已知数列 的各项为正数，且 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知等式变形得出 ，结合题意得出 ， ，可
知数列 为常数列，由此可求得数列 的通项公式.
【详解】因为数列 的各项为正数，且 ， ，
故当 时， ，
由题意可知，对任意的 ， ，则 ，所以， ，
则有 ，所以，数列 为常数列，
故 ，所以 .
故选：A.
8. 若等差数列 满足 ，则 （ ）
A. 2025 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据等差中项的性质，利用倒序相加法，可得答案.
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【详解】由等差数列 满足 ，
则对于 ，当 时， ，
则 ，
设 ，则 ，
两式相加可得 ，解得 .
故选：C.
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列 叙述正确的有（ ）
A. 关于一元线性回归，若相关系数 ，则 y 与 x 的相关程度很强
B. 关于一元线性回归，若决定系数 越大，模型的拟合效果越差
C. 关于独立性检验，随机变量 的值越大，认为“两个分类变量有关系”的把握性越大
D. 关于独立性检验，若 的观测值满足 ，依据小概率值 的独立性检验，认为“两个
分类变量无关”（参考数据： ）
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据一元线性回归 相关系数和决定系数的定义即可判断 AB，根据独立性检验中随机变量 的
值的意义即可判断 CD.
【详解】对于 A，相关系数 很接近 1，则随机变量 y 与 x 的相关程度很强，故 A 正确；
对于 B，关于一元线性回归，决定系数 越大，则模型的拟合效果越好，故 B 错误；
对于 C，关于独立性检验，随机变量 的值越大，可判断“两个分类变量有关系”的把握性越大，故 C 正
确；
对于 D，因 的观测值满足 ，则零假设成立，
即在犯错概率不超过 的情形下，可认为“两个分类变量无关”，故 D 正确.
故选：ACD.
10. 已知数列 的前 项和 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 为 中的最大项
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C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据题意，先由 求得 ，然后根据等差数列求和，以及性质逐一判断，即可得到结果.
【详解】对于 A：当 时， ；当 时， ，
经检验，当 时， ，故 ，A 正确；
对于 B：令 ，则 ，故当 时， ，故 和 为 中的最大项，B 错误；
对于 C： ，C 正确；
对于 D：
，D 错误．
故选:AC
11. 如图，有一列曲线 ， ，……， ，……，且 1 是边长为 1 的等边三角形， 是对
进行如下操作而得到：将曲线 的每条边进行三等分，以每边中间部分的线段为边，向外
作等边三角形，再将中间部分的线段去掉得到 ，记曲线 的边数为 ，周长为 ，围成
的面积为 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 数列{ }是首项为 3，公比为 4 的等比数列
B. 数列{ }是首项为 3，公比为 等比数列
C. 数列 是首项为 ，公比为 的等比数列
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D. 当 n 无限增大时， 趋近于定值
【答案】ABD
【解析】
【分析】结合图形规律得 ，即可判断 A,根据第 个图形的边长为 ，
即可判断 B，根据 ，利用累加法及等比数列的前 项和公式求出
．
【详解】 是在 的基础上，每条边新增加 3 条新的边，故 ，又 ,所以数列
{ }是首项为 3，公比为 4 的等比数列,且 故 A 正确，
第 个图形的边长为 ，所以 ，故数列{ }是首项
为 3，公比为 的等比数列，故 B 正确，
因为 是在 的每条边上再生出一个小正三角形，于是
，
同理，对 是在 的每条边上再生出一个小正三角形，
于是 的面积等于 的面积加上 个新增小三角形的面积，
即 ，
于是可以利用累加的方法得到
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将上面式子累加得
当 时， ，故 C 错误，D 正确，
故选：ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知数列 中， ， ， ，则 __________.
【答案】15
【解析】
【分析】根据给定条件，探讨数列 的周期，进而求出其前 30 项的和.
【详解】数列 中，由 ，得 ，
因此 ，数列 是周期数列，周期为 3， ，
所以 .
故答案为：15
13. 已知等差数列 ， 的前 n 项和分别为 ， ，且 ，则使得 为整数的正整数 n
的值为__________.
【答案】2 或 8
【解析】
【分析】根据下标和性质及求和公式得到 ，求出 即可.
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【详解】因为 ，
所以 ，
，
若使 为整数，则 是 的因数，
因为 ，所以 或 .
故答案为：2 或 8
14. 已知数列 的前 n 项和 ，且 ，数列 ， 均为等差数列，又数列 的前 n 项和
为 ，且 ，则 的值为__________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】利用等差中项列出①式和②式，消元后求出 ，进而求出数列 的公差，利用 与 的
关系求得 ，进而得到 ，最后求 即可.
【详解】因数列 为等差数列，则 ，即 ，化简得： ①
又因数列 也为等差数列，则 ，即 ②
将①代入②： ，两边平方整理得： ，再两边平方，可得
，解得 ，
故数列 的公差为 ，故 ，解得 ，
当 时， ，显然 时符合，
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故数列 的通项公式为： ，
则 ，
则
.
故答案为： .
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 已知数列 ， ，其中 是各项均为正数的等比数列，满足 ， .
（1）求数列 的通项公式；
（2）且 ，求数列 的前 2n 项和 .
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1） 是等比数列，由已知条件求出 ，进而可求得 的通项公式；
（2）由（1）知 ，然后利用分组求和法求和即可.
【小问 1 详解】
设等比数列 的公比为 q，因为 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 .
【小问 2 详解】
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n 是奇数时， ；n 是偶数时，
∴ ，
所以
16. 已知数列 满足 （ ， ），且 .
（1）求 ， ，并证明数列 是等比数列；
（2）若 ，求数列 的前 n 项和 .
【答案】（1） ， ，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）令 ，根据已知条件得 ， ，即可证明；
（2）由（1）求得 ，利用错位相减法求前 n 项和 即可.
【小问 1 详解】
由题意， ， ，
令 ， ，
当 时， .
所以数列 是以 2 为首项，公比为 2 的等比数列，
即数列 是以 2 为首项，公比为 2 的等比数列.
【小问 2 详解】
由（1）可知： ，则 ，
所以
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则 ，①
两边同乘 2 得： ，②
① ②得：
，
所以 .
17. 推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择.为加强社区居民的垃圾分类意识，某社区在健身
广场举办了“垃圾分类，从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动，号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡
献一份力量，为此需要征集一部分垃圾分类志愿者.
（1）为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关，现随机选取了一部分社区居民进行调查，
其中被调查的男性居民 30 人，女性居民 20 人，男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的 ，
女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的 .根据所给数据，得到成对样本数据的分类统计结果，
完成下面 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者
与性别有关？
性别
合
男 女
计
性 性
喜欢担任
不喜欢担
任
合计
附： ，
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
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2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
（2）若某垃圾站的日垃圾分拣量 y（千克）与垃圾分类志愿者人数 x（人）之间具有较强的线性相关性，求
回归直线方程 ，并预测志愿者人数为 10 人时，该垃圾站的日垃圾分拣量.
数据统计如表：
志愿者人数 x（人） 2 3 4 5 6
日垃圾分拣量 y（千克） 24 29 41 46 60
参考数据 ，附： ，
【答案】（1）表格见解析，有关
（2） ，93.4 千克.
【解析】
【分析】（1）根据题意，列出列联表，再根据公式计算，对照临界表中的数据，比较即可得到答案；
（2）由表中数据和参考数据，根据参考公式求得回归直线方程为，再将 代入，即可求出结果．
【小问 1 详解】
零假设 ：居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别无关根据题意，列出的 2×2 列联表如下：
性别
合
男 女
计
性 性
喜欢担任 10 15 25
不喜欢担
20 5 25 任
合计 30 20 50
第 13页/共 18页
则 ，
依据小概率值 的独立性检验， 不成立，
因此认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关，此推断犯错误的概率不超过 0.005.
【小问 2 详解】
由表中数据可知， ， ，
，又 ，
则 ， ，
∴回归直线方程为 .
当 时， ，
所以当志愿者为 10 人时，垃圾分拣量大约为 93.4 千克.
18. 已知数列 的前 n 项和为 ，且 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）数列 满足： ，求数列 的通项公式；
（3）若存在实数 ，使不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3） .
【解析】
【分析】（1）根据给定的递推公式，结合 求出 .
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（2）由（1）的结论，利用前 n 项和与第 n 项的关系求出 .
（3）由（1）（2）的结论求出 ，利用作差探讨单调性，再按 的奇偶求出 的范围.
【小问 1 详解】
数列 的前 n 项和为 ，由 ，得 ，解得 ，
当 时， ，整理得 ，
因此数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，所以 .
【小问 2 详解】
由（1）知 ，则 化为 ，
当 时， ，两式相减得 ，即 ，
当 时， ，满足上式，
所以数列 的通项公式是 .
【小问 3 详解】
令 ，则 ，
当 时， ，即 ，
当 时， ，则 ， 递增，即 ，
当 n 是偶数时，由 对任意正整数 n 恒成立，得 ，而 递增，
即 ，且 ，因此 ；
当 n 是奇数时，由 对任意正整数 n 恒成立，得 ，
而 ，当 时， 递增，即 ，因此 ，解得 ，
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所以 的取值范围是 .
19. 若数列 的前 项和 ，满足 ，其中 、 ，则称数列 是 数
列.
（1）若 ，判断 否为 数列；
（2）若数列 是 数列，且 ，求数列 的通项公式；
（3）在（2）成立的条件下，若数列 是 数列， ，数列 的前 项和 ，且
，求证： .
【答案】（1） 是 数列
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用等比数列的求和公式求出 ，利用题中定义判断即可；
（2）根据题中定义可得 变形得出 ，当 时，可得出
，两式作差变形得出 ，结合等差中项法可知数列 为等差数列，求出
的值，可得出 的公差，由此可得出数列 的通项公式；
（3）先由数列 是 数列，得出 ，当 时，求出 的值，当 时，由
得 ，两式作差推导出数列 为等比数列，求得 ，可得出
，结合裂项求和法可证得结论成立.
【小问 1 详解】
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若 ，则 ，且 ，所以，数列 是以首项和公比都为 的等比数列，
则 ，所以 ，
且当 ， 时， ， ，
即数列 满足 ，所以 是 数列.
【小问 2 详解】
若数列 是 数列，设数列 的前 项和 ，则有 ，
当 时， ， ，
两式相减得 ，
又 ，所以 ，
即 ，
整理得 ，
又 ，所以 ，所以 是等差数列，
因 ， ，所以， ，解得 ，
所以，数列 的公差为 ，所以 .
【小问 3 详解】
若数列 是 数列，所以 ，所以 ， .
当 时， ， ，则 ，解得 ，
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当 时， （ⅰ）， （ⅱ），
（ⅰ）－（ⅱ）可得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，整理可得 ，
又 ，所以 首项为 、公比为 的等比数列，可知 ，
由（2）知 ，则 ，
，所以 得证.
第 18页/共 18页