2025_2026学年北京市文汇中学下学期期中考试八年级数学检测试卷 [含解析]

这是一份2025_2026学年北京市文汇中学下学期期中考试八年级数学检测试卷 [含解析]，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列各式中，是最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列几组数中，能作为直角三角形三边长的一组是（ ）
A．2，4，6B．1C．1D．4，5，6
4．如图，在中，，则（ ）
A．10B．C．D．
5．下列命题正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有两个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形
6．如图，在菱形中，点、是、的中点，若，则菱形的周长为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，矩形，，对角线，交于，若，则的长为（ ）
A．4B．C．D．16
8．下列关于一次函数的图象性质说法中，不正确的是（ ）
A．直线与x轴交点的坐标是B．直线经过第一、二、四象限
C．y随x的增大而减小D．与两坐标轴围成的三角形面积为4
9．如图．勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，字树机器人小P在三角形地块上进行走路测试，它从点A出发沿折线匀速运动至点A后停止．设小P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线的最低点，当小P运动到点C时，小P到线段的距离为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．当_____时，二次根式有意义．
12．已知点，均在一次函数的图象上，则_______（填“＞”“＜”或“=”）．
13．如图，在中，，，在数轴上，点与原点重合，以原点为圆心，线段长为半径画弧，交数轴正半轴于一点，则这个点表示的实数是______．

14．一支蜡烛，点燃后其剩余长度与燃烧时间之间的关系如图所示：
则剩余长度与燃烧时间x（分）之间的关系为_______，自变量的取值范围是_______．
15．如图，菱形的对角线交于点O，过点C作，交的延长线于点E，连接．若，，则菱形的面积为______．
16．如图，已知函数与函数的图象交于点P，则不等式的解集是___．
17．如图，正方形的边长为，点是对角线上的一个动点，点在上且，则周长的最小值为_______．
18．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》题时给出了“赵爽弦图”．将两个“赵爽弦图”（如图1）中的两个正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成正方形，记空隙处正方形，正方形的面积分别为，，则下列四个判断：①②；③若，则；④若点A是线段的中点，则，其中正确的序号是_________

三、解答题
19．计算：
（1）；
（2）．
20．已知：为锐角三角形，．
求作：菱形．
作法：如图，
①以点A为圆心，适当长为半径作弧，交于点M，交于点N；
②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点E，作射线与交于点O；
③以点O为圆心，以长为半径作弧，与射线交于点D，连接，；
四边形就是所求作的菱形．
（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）：
（2）完成下面的证明：
证明：∵平分，
∴__________．
∵，
∴四边形是平行四边形（ ）（填推理的依据）．
∵，
∴四边形是菱形（ ）（填推理的依据）．
21．已知：如图，在平行四边形中，点E、F在AC上，且．求证：．
22．如图，在平面直角坐标系中，直线与交于点，分别交x轴于点B和点C，点D是直线上的一个动点．
（1）求m，n的值．
（2）若的面积是面积的2倍，求点D的坐标．
23．在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点． 点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求画图．
（1）在图①中，画一个等腰直角三角形，使其面积为；
（2）在图②中，画一个平行四边形，使其面积为5（不包括正方形）．
24．如图，是的对角线，，延长至点，使，连接交于点，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，，求的长．
25．为响应国家“发展新一代人工智能”的号召，某市举办了无人机大赛．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面12米高的升降平台起飞，甲、乙两架无人机同时匀速上升，6秒时甲无人机到达大赛指定的高度停止上升开始表演，完成表演动作后，按原速继续飞行上升，当甲、乙两架无人机按照大赛要求同时到达距离地面的高度为72米时，进行联合表演．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（米）与飞行的时间x（秒）之间的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题：
（1）甲无人机的速度是________米/秒，乙无人机的速度是________米/秒；
（2）求线段对应的函数表达式；
（3）甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，求出与乙无人机的高度差为9米的时间．
26．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
（1）求这个一次函数的表达式；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围．
27．如图，在正方形中，E是边上的一点（不与A，D重合），连接，点B关于直线的对称点是点F，连接，直线与直线交于点P，连接与直线交于点Q．
（1）依题意补全图形；
（2）设，则____，_____．（可用含有的式子表示）
（3）用等式表示线段之间的数量关系，并证明．
（4）当时，若，直接写出的值．
28．中，点是边上一点（不与重合），连接，若是的中点，则称点为中边的“有缘点”，其中，若，，则点的坐标为，已知，，．
（1）点、、、中，是中边的有缘点的有_________．
（2）已知中，，，，，点在轴上方，若第二、四象限的角平分线上存在中边的“有缘点”，求的取值范围；
（3）已知中，，边与轴交于点，边与轴交于点，点分别是、的中点． 若直线上存在三边的“有缘点”，直接写出的取值范围．
答案
1．【正确答案】C
【分析】本题主要考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须同时满足两个条件：（1）被开方数不能含有分母；（2）被开方数中不能含有能开得尽方的因数．根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A．被开方数中含有分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B．，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
C．是最简二次根式，符合题意；
D．，被开方数中含有能开得尽方的因数，不符合题意．
故选C．
2．【正确答案】D
【分析】根据二次根式的加法法则可以判断A，根据二次根式的减法法则可以判断B，根据二次根式的除法法则可以判断C，根据二次根式的乘法法则可以判断D．
【详解】解：A.与不是同类二次根式，不能直接相加，故A计算错误，不符合题意；
B.，故B计算错误，不符合题意；
C.，故C计算错误，不符合题意；
D.，故D计算正确，符合题意；
故选D．
3．【正确答案】C
【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理处理：计算判断较小的两边的平方和是否等于第三边的平方即可．
【详解】解：A、，2，4，6不能作为直角三角形三边长，不合题意；
B、，1不能作为直角三角形三边长，不合题意；
C、，1，，能作为直角三角形三边长，符合题意；
D、，4，5，6不能作为直角三角形三边长，不合题意；
故选C．
4．【正确答案】B
【分析】本题考查了平行四边形的对角相等和平行线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
根据平行四边形对角相等的性质和平行线的性质解答即可．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
，
又，
，
∴．
故选B．
5．【正确答案】D
【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形也可能是等腰梯形，故错误，不符合题意；
B、有三个角是直角的四边形是矩形，故错误，不符合题意；
C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，不符合题意；
D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，正确，符合题意.
故选D．
6．【正确答案】A
【分析】本题考查了三角形中位线的性质，菱形的性质，熟练掌握中位线的性质是解题的关键．
根据中位线的性质得出，进而即可求解；
【详解】解：在菱形中，、分别是、的中点，，
，
菱形的周长是；
故选A
7．【正确答案】B
【分析】根据矩形的性质，证明是等边三角形，再根据勾股定理即可求出的长．
【详解】解：四边形是矩形，
，，
，
，
是等边三角形，
，
在中，，
故选B．
8．【正确答案】A
【分析】根据题意由题目中的函数解析式利用一次函数图象的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：A、直线与 x 轴交点的坐标是，故符合题意；
B、一次函数的图象中，，故直线经过第一、二、四象限，故不符合题意；
C.、一次函数的图象中 ，有y 随 x 的增大而减小，故不符合题意；
D、由一次函数 可知与坐标轴的交点坐标分别为和，∴与坐标轴围成的三角形面积为4，故不符合题意；
故选A．
9．【正确答案】B
【分析】本题考查勾股定理的实际应用，设的长为m，则，故，在直角中利用勾股定理即可求解，找到直角三角形，利用勾股定理是解题的关键．
【详解】解：由题意可知，
，
设的长为，则，
∴，
在直角中，
又∵，
解得：，
故选B．
10．【正确答案】A
【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，垂线段最短．过点作于点，当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，勾股定理求得．然后等面积法即可求解．
【详解】解：如图过点作于点，过点C作于点，
当点与重合时，在图2中点表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，
由题意得，，，，
在中，由勾股定理得，，
，
．
故选A．
11．【正确答案】
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
由二次根式有意义得：被开方数为非负数列不等式可得答案．
【详解】解：由题意得：，
∴．
12．【正确答案】
【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质可得出随的增大而增大，结合，即可得出．
【详解】解：，
随的增大而增大．
点，均在一次函数的图象上，且，
．
13．【正确答案】
【分析】本题考查了勾股定理，实数在数轴上的表示，根据勾股定理求出，根据题意即可求解，熟练掌握知识点得应用是解题的关键．
【详解】在中，，，
由勾股定理得：，
则这个点表示的实数是.
14．【正确答案】；
【分析】本题主要考查函数关系式，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
根据题意利用待定系数法求出函数解析式即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：剩余长度与燃烧时间x（分）之间是一次函数关系，
设剩余长度与燃烧时间x（分）之间的关系为，
把点代入，得：
，
解得：，
∴剩余长度与燃烧时间x（分）之间的关系为，
当时，，
此时，
∴自变量的取值范围是
15．【正确答案】
【分析】此题考查了菱形的性质和直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
首先根据菱形的性质得到，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到，然后利用菱形面积公式求解即可．
【详解】解：∵四边形是菱形
∴，
∵
∴
∴
∴菱形的面积．
16．【正确答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，观察图象可得当时，函数的图象位于函数的图象的上方，即可求解．利用数形结合思想解答是解题的关键．
【详解】解：观察图象得：当时，函数的图象位于函数的图象的上方，
∴不等式的解集是．
17．【正确答案】20
【分析】连接AC、CE，CE交BD于P，此时AP+PE的值最小，求出CE长，即可求出答案．
【详解】解：连接AC、CE，CE交BD于P，连接AP、PE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，AC⊥BD，即A和C关于BD对称，
∴AP=CP，
即AP+PE=CE，此时AP+PE的值最小，
所以此时△PAE周长的值最小，
∵正方形ABCD的边长为12，点E在边AB上，AE=7，
∴∠ABC=90°，BE=12-7=5，
由勾股定理得：CE==13，
∴△PAE的周长的最小值是AP+PE+AE=CE+AE=13+7=20.
18．【正确答案】①②③
【分析】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，由正方形面积公式，勾股定理逐项进行判断即可．
【详解】设“赵爽弦图”中，直角三角形的较短直角边为，较长直角边为，斜边为，则小正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，
∴，，．
∴．
∴．
故①正确；
∵，
∴．
∴．
∴．
故②正确；
∵，，
∴．
即．
∴．
∴．
故③正确；
∵点A是线段的中点，
∴．
即．
∴．
∴．
∴．
故④不正确；
故答案是①②③．
19．【正确答案】（1）；
（2）．
【分析】此题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键．
（1）化简二次根式后利用加法计算即可；
（2）利用乘法公式计算后再进行加减法运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
.
20．【正确答案】（1）见详解
（2）OB，对角线互相平分的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形
【分析】（1）根据所给几何语言画出对应的图形即可；
（2）先根据等腰三角形的性质得到CO=OB，再根据平行四边形和菱形的判定解答即可.
【详解】（1）解：如图，菱形ABDC即为所求作；
（2）证明：∵，平分，
∴．
∵，
∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）．
∵，
∴四边形是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）．
21．【正确答案】见详解
【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质．连接与对角线交于点O．根据平行四边形的性质以及可得，即可求证．
【详解】证明：如图，连接与对角线交于点O．
∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴．
∴四边形是平行四边形，
∴．
22．【正确答案】（1），
（2）或
【分析】（1）把A点坐标代入直线上，得到m的值，由A点在直线上，把A点坐标代入直线解析式中，得到n的值；
（2）根据直线，的解析式，得到B，C点的坐标，从而得到的长，得到面积，设出D点纵坐标，根据面积的关系，求出该纵坐标，代入直线的解析式，得到D点坐标，即可作答．
本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵直线与交于点，
∴把代入，
得，
则把代入，得
解得，
（2）解：依题意，，
∴，
当时，则，
∴，
∴点的坐标为
∵，
当时，则，
∴，
即点B的坐标为，
∴，
∵，
∴的面积为，
设D的纵坐标为，
∴的面积为，
∵的面积是面积的2倍，
∴
解得，
把代入，得，
∴；
把代入，得，
∴；
综上：点D的坐标为或．
23．【正确答案】（1）见详解
（2）见详解
【分析】本题考查了网格作图，网格与勾股定理，平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先算出，结合面积为这个条件得，且，即可作答；
（2）根据网格特征，得四边形是平行四边形，运用割补法得出平行四边形的面积为5，即可作答．
【详解】（1）解：如图，
根据勾股定理可得，
，
，
为等腰直角三角形，
（2）解：如图，
，
，
，
同理可得，
，
四边形为平行四边形，
．
24．【正确答案】（1）见详解；（2）
【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，，即可推出四边形是平行四边形，再由，得到，由此即可证明；
（2）过作于，先根据矩形的性质和三线合一定理求出，然后利用三角形中位线定理得到，再由勾股定理求解即可．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：过作于，
四边形是矩形，，
，，，，，
，
，
，
∴OF是△BCD的中位线，
，，
．
25．【正确答案】（1）6，3
（2）
（3）17秒
【分析】本题考查一次函数的应用、解绝对值方程、解一元一次方程，掌握路程、速度、时间之间的关系，待定系数法求一次函数的关系式、解绝对值方程是解题的关键．
（1）根据速度路程时间计算即可；
（2）根据时间路程速度求出乙无人机飞行段所用时间，从而求出点P的坐标，再利用待定系数法求出线段对应的函数表达式即可；
（3）分别写出甲、乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式，令二者差的绝对值为9列方程并求解即可．
【详解】（1）解：甲无人机的速度是（米/秒），乙无人机的速度是（米/秒）．
（2）解：甲无人机飞行段用时（秒），（秒），
∴，
设线段对应的函数表达式为（k、b为常数，且），
将坐标和分别代入，
，
解得：，
∴线段对应的函数表达式为．
（3）解：设乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为，
将、代入，得，解得，
∴乙无人机所在的位置距离地面的高度y与飞行的时间x之间的函数表达式为．
当甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，，
由与乙无人机的高度差为9米得：，
解得，
∴当甲无人机在完成独立表演动作后继续上升时，与乙无人机的高度差为9米时的时间为17秒．
26．【正确答案】（1）；
（2）且．
【分析】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数的平移、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法和数形结合思想求解是解答的关键．
（1）根据一次函数图象平移时的k值相等求得k值，再将点代入求解b值即可求解；
（2）先求出函数的图象过定点，将代入中，求得，再结合一次函数的图象与性质求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到的，
∴．
将点代入，得，
∴一次函数的表达式是；
（2）解：∵将代入函数，则，
∴函数的图象过定点，
将代入中，解得，
如图，
∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，
∴且．
27．【正确答案】（1）见详解
（2）
（3），见详解
（4）
【分析】（1）直接根据题意，画出图形即可；
（2）根据折叠的性质，等边对等角结合三角形的内角和定理，进行求解即可；
（3）连接，正方形的性质结合勾股定理得到，对称性，得到，推出，利用勾股定理即可得出结论；
（4）过点作，易得为等腰直角三角形，进而求出的长，证明，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，补全图形如图：
（2）∵正方形，
∴，
∵对称，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∴.
（3），证明如下：
连接，
∵正方形，
∴，，
∴，
∵对称，
∴，
∴，
由（2）可知：，
∴，
∴，
∴，
∴；
（4）过点作，则：，
∵，
∴，
由（1）可知：，
∵，由（3）知：，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
28．【正确答案】（1），；
（2）；
（3）且．
【分析】本题考查了中点坐标公式，坐标与图形，解不等式组，一次函数与结合图形，理解新定义是解题的关键．
（）根据题“有缘点”定义画出图形，然后逐一判断即可；
（）由，，，可得轴，设在上，则，设点是的边的“有缘点”，则，点在第二、四象限的角平分线上，所以，由等腰直角三角形的性质可得，，故有，然后代入解不等式组即可；
（）找出临界点当时，与重合，当时，与重合，然后结合图形即可求解．
【详解】（1）解：如图，设，
∵，
∴中边的“有缘点”的纵坐标系为，
当点为时，为有缘点，当点为时，为有缘点.
（2）解：如图，
∵，，
∴轴，
∵，
∴轴，
设在上，则，
设点是的边的“有缘点”，
则，
∵点在第二、四象限的角平分线上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：；
（3）解：如图，
由图形可知，当时，与重合，当时，与重合，
∴直线上存在三边的“有缘点”时的取值范围是且．
燃烧时间（分）
10
20
30
40
50
……
剩余长度（）
19
18
17
16
15
……