浙江省湖州市长兴县南太湖联盟2025~2026学年高二上册12月联考数学试卷（含答案）

这是一份浙江省湖州市长兴县南太湖联盟2025~2026学年高二上册12月联考数学试卷（含答案），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．已知直线l过点，且倾斜角为60°，则直线l的纵截距为（ ）
A．1B．C．D．
2．“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的（ ）条件
A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要
3．已知平面经过点，且平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
4．已知是等差数列的前n项和，若，则（ ）
A．33B．44C．55D．66
5．在正三棱锥中，棱两两垂直，分别是棱和的中点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
6．已知F为抛物线的焦点，，A为抛物线在第一象限上的点，且满足，则点A的横坐标为（ ）
A．5B．4C．3D．2
7．已知数列满足，，则（ ）
A．1002B．1023C．1024D．1005
8．已知A，B是双曲线上的两点，是双曲线的左焦点，满足，，，则双曲线C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．点P在圆：上，点Q在圆：上，则（ ）
A．两圆的位置关系为外切B．的最大值为12
C．两圆公切线段长为D．两圆相交弦所在直线的方程为
10．在长方体中，，分别是棱，上的动点（含端点），且，为棱的中点，则（ ）
A．若是棱的中点，则平面
B．若是棱的中点，直线平面
C．线段长度的最大值为
D．若为线段的中点，则的最小值为
11．已知椭圆，，是左右焦点，在椭圆的上半部分（含端点）上存在n个点，，…，，，是右顶点，是左顶点，使得，，…，成为公差是的等差数列，则下列说法正确的是（ ）
A．的周长为16
B．当时，n的最大值为14
C．当时，
D．的最小值为
三、填空题
12．已知数列满足，，则__________.
13．若圆与直线交于A，B两点，则__________.
14．点是抛物线上一点，过焦点的直线交抛物线于，两点，交抛物线的准线于点，若为的中点，，，点在以为直径的圆上，则的最小值为__________.
四、解答题
15．已知圆C过曲线与坐标轴的交点.
（1）求圆C的方程；
（2）若过点的直线l与圆C相切，求直线l的方程.
16．已知抛物线的准线方程为，焦点为F，是抛物线上的一点，O为坐标原点.
（1）求抛物线C的方程及；
（2）已知直线l与抛物线交于A，B两点，使点恰为的重心，求直线l的斜率k.
17．已知数列满足：，，数列的前n项和满足.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和.
18．如图，在四棱锥中，F为棱上一动点（不包含端点），，，.

（1）证明：平面；
（2）若F是靠近点D的四等分点，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若O是三棱锥外接球的球心，求的最小值.
19．已知椭圆的短轴长为2，离心率为，左、右顶点分别为C和D，O为原点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆依次相交于不同于D，C的A，B两点.
（ⅰ）求面积的最大值；
（ⅱ）若直线BD与AC交于点G.求证：点G在定直线上.
答案
1．【正确答案】D
【详解】直线l倾斜角为60°，则直线l的斜率为，
故直线l的方程为，令得，
故直线l的纵截距为.
故选D
2．【正确答案】A
【详解】因为方程表示焦点在x轴上的椭圆，
所以，解得，
所以“”是“方程表示焦点在x轴上的椭圆”的充分不必要条件，
故选A
3．【正确答案】B
【详解】由，，得.
又因为平面的一个法向量为，
所以.
所以点到平面的距离为.
故选B
4．【正确答案】C
【详解】由题意知，，
所以.
故选C
5．【正确答案】A
【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
则，
设异面直线与所成角大小为，
则.
故选A
6．【正确答案】C
【详解】因为F为抛物线的焦点，所以，
因为A为抛物线在第一象限上的点，所以设，
所以
又，所以，
即，
解得.
故选C
7．【正确答案】B
【详解】因为，，故，，
依次可得，，，，，，
故
故选B
8．【正确答案】A
【详解】由，得双曲线上的两点关于原点对称，
令该双曲线的右焦点为，则四边形是平行四边形，，
由，，得，令双曲线半焦距为c，
由，，得，
即，解得，设，则，
消去得，由，得，
因此，整理得，即，
所以双曲线C的离心率.
故选A
9．【正确答案】BCD
【详解】对于A，由圆可知圆心与半径，
圆可知圆心与半径，
因为，且，即，所以两圆相交，故A错误；
对于B，由圆的性质可知，故B正确；
对于C，由过圆心的半径垂直于切线，则公切线的长度为，故C正确；
对于D，联立方程可得，即，
两式相减可得，则相交弦所在直线的方程为，故D正确.
故选BCD.
10．【正确答案】AC
【详解】在长方体中，，，，
如图以为原点建立空间直角坐标系，
则，
∴设，
∵，∴.
若是棱的中点，则，即，∴，
即，
在正方形中，，
又∵平面，平面，∴，
且，平面，平面，
∴平面，即是平面的一个法向量，
∵，即，∴平面，A选项正确；
当是棱的中点时，，，则，
是平面的一个法向量，
∵不存在实数使得，故与不平行，
∴直线与平面不垂直，B选项错误；
，∵，
∴，即，C选项正确；
当为线段的中点时，，
∴，，
则，
∵，
∴，
设直线，点在圆上，
则圆心到直线的距离，∴点到直线的距离，
点到直线的距离，
∵，
∴，D选项错误.
故选AC.
11．【正确答案】ACD
【详解】对于A，由椭圆，则，所以，
所以焦点三角形的周长，故A正确；
对于B，由A可得，即，
由等差数列的公差，则，
整理可得，由，则，解得，所以的最大值为，故B错误；
对于C，由，则，所以
，故C正确；
对于D，由题意可得，，，则，
令，求导可得，
令，由，解得，此时，即，符合题意，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，故D正确.
故选ACD.
12．【正确答案】
【详解】由，所以，
所以.
13．【正确答案】
【详解】由圆，得圆心，半径.
所以圆心到直线的距离，
由圆的弦长公式，又因为，
由余弦定理，又因为在三角形中，所以.
14．【正确答案】
【详解】过点作⊥轴于点，准线与轴交于点，
因为若F为AK的中点，，所以，故Rt≌Rt，
则，故，
则，将代入中，得，即，
又，由勾股定理得，
即，解得，，
过点作⊥准线于点，则，
要想求的最小值，即求的最小值，
又Q在以为直径的圆上，设圆心为，则，
直径为，半径，连接，
故，所以，
故当四点共线时，取得最小值，
最小值为.
15．【正确答案】（1）
（2）或
【详解】（1）令，则，令，则，解得或，
所以圆C过点，
设圆C的方程为，
所以，解得，
所以圆C的方程为，即；
（2）由（1）可知圆C的圆心坐标为，半径，
若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，
此时圆心到直线的距离为，不符合条件；
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即
此时圆心到直线的距离为，
解得或，
所以直线l的方程为或.
16．【正确答案】（1），；
（2）3.
【详解】（1）抛物线的准线方程为，则，解得，
抛物线的方程为，由是抛物线上，得，解得，
所以抛物线C的方程为，.
（2）设，由点为的重心，得，
解得，由点在抛物线上，得，
两式相减，得，即，
所以直线l的斜率.
17．【正确答案】（1），
（2）
【详解】（1）由题可知：，
所以
，
所以；
当时，，
当时，，满足上式，
所以；
（2）；
则，
，
所以
所以.
18．【正确答案】（1）见详解；
（2）；
（3）.
【详解】（1）在四棱锥中，连接，由，及余弦定理，
得，，则，
由，，得是正三角形，，而，
，则，又平面，
所以平面.
（2）由（1）得平面平面，在平面内过点作，
而平面平面，则平面，直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
由，得，，
设平面的法向量，而，
则，令，得，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）由（1）知，是的斜边，则其中点是外接圆圆心，平面，
设，由，得，
解得，点，令，
，
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
19．【正确答案】（1）；
（2）（ⅰ）；（ⅱ）见详解.
【详解】（1）由椭圆的短轴长为2，得，
由椭圆的离心率为，得，解得，
所以所求椭圆的标准方程为.
（2）（ⅰ）显然直线不垂直于轴，设其方程为，设，
由消去得，
由，解得，且，
则的面积为
，
当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为.
（ⅱ）由（1）得，由（ⅰ）得，
直线的方程为，直线的方程为，
则
，由，解得，
因此直线BD与AC交点G的横坐标为，
所以点G在定直线上.