山东德州市夏津第一中学2025-2026学年高一下册3月月考数学试卷（含答案）

这是一份山东德州市夏津第一中学2025-2026学年高一下册3月月考数学试卷（含答案），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1. 下列命题正确的是（ ）
A. B. 若，则
C. 零向量没有方向D.
【正确答案】D
【分析】根据向量相等及零向量的定义判断即可.
【详解】对于A：，故A错误；
对于B：取非零向量，此时满足，但不成立，故B错误；
对于C：零向量有方向，其方向任意，故C错误；
对于D：模为0，故D正确.
故选：D．
2. 已知向量，若，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程求得，得到的坐标，结合向量模的坐标运算公式，即可求解.
【详解】由向量，因为，可得，解得，
所以，则，所以．
3. 已知，若，则＝（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】根据诱导公式求出，再根据同角三角函数关系求出，利用两角差的余弦公式即可求解.
【详解】因为，，所以，，
又因为，所以，，
所以.
4. 已知，均为锐角，且，，则（）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】根据同角的三角函数及两角差的正弦公式求解即可.
【详解】因为均为锐角，所以，，所以.
因为，，所以，，
则
.
故选：D.
5. 在中，点在边上，且，是边上任意一点，与交于点，若，则（）
A. B. C. 3D. 4
【正确答案】C
【分析】根据三点共线的结论得到，然后利用线性运算得到，，然后计算即可.
【详解】
A、P、E三点共线，设，且，
又，所以，，即．
6. 如图，设，线段与交于点，且，通过计算得到：，则的最小值为（ ）
A. 5B. 9C. D.
【正确答案】D
【分析】根据给定条件，利用共线向量定理的推论及基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】由，三点共线，得，即，
所以，
当且仅当，即时取等号.
故最小值为.
7. 在平面直角坐标系中，已知点，若，则（）
A. B. 0C. D.
【正确答案】C
【分析】由向量夹角的定义，结合三角恒等变形化简求解即可．
【详解】根据题意可知，，
，
即．
8. 如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（）
A. B.
C. D.
【正确答案】D
【详解】对于A，由共线，存在使，
由共线，存在使，
联立系数相等：
，解得：，，因此：，故选项 A 错误；
对于B，，
若，则：
​，显然系数不相等，选项B错误；
对于C，由于，且在上，故设，
则，
结合，得：，解得，选项C错误；
对于D，由，
所以，故选项 D 正确.
二、多选题
9. 若是平面内的一个基底，则下列四组向量中不能作为平面向量的基底的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】AC
【分析】根据共线向量定理逐项判定向量是否共线即可.
【详解】对于A，，则，为共线向量，故不能作为平面向量的基底；
对于B，若存在实数使得，则，无解，
所以可以作为平面向量的基底；
对于C，，则，为共线向量，故不能作为平面向量的基底；
对于D，若存在实数使得，则，无解，
所以可以作为平面向量的基底.
10. 、、是锐角三角形的内角，下列结论一定成立的有（）
A. B.
C. D.
【正确答案】ABD
【分析】根据条件，利用三角形的性质，得到间的关系，对A和B，利用诱导公式即可求解；对C，利用诱导公式及三角函数的性质，即可求解；对D，通过作差，利用余弦的差角公式，得到，再由三角函数的符号，即可求得出.
【详解】因为、、是锐角三角形的内角，
则，且，
对于A，因为，所以A正确，
对于B，因为，所以B正确，
对于C，因为，，则,
又在区间上单调递增，所以，故C错误，
对于D，因为，
又，，则，
所以，即，故D正确
11. 下列命题正确的是（）
A. 在中，，则的形状一定是直角三角形
B. 平行四边形中，若，则四边形是矩形
C. 若，，，四点同一条直线上，且，则
D. 在中，若，则点的轨迹经过的内心
【正确答案】ABD
【分析】对AB，根据向量数量积的运算律即可判断；对C，举出反例即可判断；对D，根据向量加法的几何意义即可判断.
详解】对于A，由，可得，
所以，所以，所以，
所以，所以是直角三角形，故A正确；
对于B，由可得，
所以，所以，
所以，所以四边形是矩形，故选项B正确；
对于C，依题意如图，
但，故C错误；
对于D，根据向量加法的几何意义知，以和为邻边的平行四边形为菱形，
点在该菱形的对角线上，由菱形的对角线平分一组对角，故点的轨迹经过的内心，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12. 化简求值：______
【正确答案】1
【详解】原式．
13. 设是两个不共线的向量，若，且三点共线，则实数的值为__________.
【正确答案】
【分析】利用共线向量定理结合平面向量基本定理列式计算得解.
【详解】由，
由三点共线，得，
则，又不共线，因此，解得，
所以实数的值为.
故
14. 已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________．
【正确答案】
【分析】建立直角坐标系，结合向量数量积求解即可.
【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则，，，
设点，则，，，
所以，
则，
当且仅当，时，取最小值．
四、解答题
15. （1）化简
（2）设向量，，求．
【正确答案】（1）；（2）
【分析】利用向量的线性运算法则与运算律化简计算即可.
【详解】（1）原式
.
（2）原式
，
因为，，
所以原式
．
16. （1）若是第二象限角，是第三象限角，求的值；
（2）已知均为锐角，求的值．
【正确答案】（1）；（2）
【分析】（1）先利用诱导公式和同角三角函数关系求出的值，再根据两角差的余弦公式求解即可；
（2）由，再根据两角差的余弦公式求解即可.
【详解】（1），
又是第二象限角，．
，且为第三象限角，
，
（2）由，为锐角可得．
由和
可得．
于是
．
17. 设，已知是平面内两个不共线的向量，，且，，三点共线．
（1）求的值：
（2）若，
①求向量与的夹角的余弦值；
②已知点坐标为，若四边形为平行四边形．求点的坐标．
【正确答案】（1）
（2）①；②
【分析】（1）求出，根据，，三点共线满足的关系求解即可；
（2）①利用平面向量夹角的余弦公式求解即可.②由平行四边形得，利用相等向量满足的关系即可求解．
【小问1详解】
由已知得，
因为三点共线，所以，即.
【小问2详解】
由已知得，
；
②由平行四边形得，又，
所以，解得，即
18. 已知向量，，．
（1）若，的夹角为钝角，求x的取值范围；
（2）若，求在上的投影向量（结果用坐标表示）．
（3）若与的夹角为，求的值.
【正确答案】（1）且
（2）
（3）或
【分析】（1）由坐标表示向量的数量积小于零且不共线即可；
（2）先由坐标表示向量垂直的条件求出，再由投影向量的计算公式求解即可；
（3）由坐标表示向量的数量积公式，化简计算即可.
【小问1详解】
由题知，且，不共线．
，即．
当时，，即．
综上，且．
【小问2详解】
，，，则，
在上的投影向量为．
【小问3详解】
，，
，
整理得：，解得：或.
19. 在平面直角坐标系中，，，，点，满足，，，点是的中点.
（1）求的取值范围；
（2）是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
（3）已知三角形三个顶点，求三角形面积的公式，即若，则. 若点为内心，求的面积.
【正确答案】（1）
（2）不存在，理由见解析
（3）
【分析】（1）首先表示出向量，再根据向量数量积求解.
（2）根据向量垂直得到关于的一元二次方程，再根据判别式判断即可.
（3）求出，再根据三角形内心的性质求解.
【小问1详解】
因为点是的中点，所以，则，
，
则，因为，所以；
【小问2详解】
由（1）可得，，所以.
当时，可知，即，化简得，
因，所以方程无解，即不存在实数，使得.
【小问3详解】
由条件：，，.
因为，，.
又为内心，
从而.