山东省德州市夏津第一中学2024-2025学年高一下学期第一次月考数学试卷（Word版附解析）

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一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用诱导公式求值.
【详解】.
故选：D
2. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先求出扇形的半径，再根据扇形面积公式即可代入求值.
【详解】扇形的半径，所以扇形的面积为，
故选：D.
3. 已知点在角的终边上，若，则（ ）
A. B. 为第二象限的角
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据终边上的点及已知函数值得，即，再结合三角函数的定义判断各项的正误.
【详解】由题设，可得，A错；
所以，则为第三象限的角，B错；
，C错；
，D对.
故选：D
4. 为了得到的图象，只要把的图象上所有的点（ ）
A. 向右平行移动个单位长度B. 向左平行移动个单位长度
C. 向右平行移动个单位长度D. 向左平行移动个单位长度
【答案】B
【解析】
【分析】利用函数平移思想，来求解析式，结合三角函数诱导公式即可得出正确判断.
【详解】因为，
所以把的图象上所有的点向左平行移动个单位长度可得
的图象，故B正确；
经检验，ACD错误.
故选：B.
5. 已知函数的部分图象如图所示，则不正确的是（ ）
A.
B. 将的图象向右平移个单位，得到的图象
C. ，都有
D. 函数的单调递减区间为，
【答案】B
【解析】
【分析】根据图象求出函数的解析式，利用三角函数的性质及函数的平移变换即可求解.
【详解】由图知，，即，
所以，由题意，根据为下降零点，
则，则，
又因为，所以，
所以的解析式为：，
对A，，故A正确；
对B，将的图象向右平移个单位，得的图象，故B错误；
对C，由三角函数的性质知，，所以，都有，故C正确；
对D，由，得，
所以函数的单调递减区间为，故D正确.
故选：B.
6. 函数满足，且在区间上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】易知函数是以4为一个周期的周期函数，，结合分段函数表达式求值即可.
【详解】因为，所以4是函数的一个周期，
又因为，所以，
所以，
故选：A.
7. 已知某摩天轮的最高点到地面的距离为，摩天轮启动后按逆时针方向匀速转动，直径为，每30分钟转动一圈.若从最低点开始计时，则摩天轮运行5分钟后离地面的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用待定系数法来求三角函数解析式，从而问题即可求解.
详解】
由题意可设距离地面的高度与时间所满足的三角函数关系式为：，
因为摩天轮的直径为，可知，
又因为摩天轮的最高点到地面的距离为，可知，
由每30分钟转动一周，可知，
由于从最低点开始计时，即当时，，
所以有，
则当时，有，
故选：C
8. 已知函数在区间上单调递增，且在区间上恰好取得一次最大值，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦函数图象及性质，借助相位整体思想分析正弦函数的单调性与最大值，从而可得参数的范围.
【详解】因为，所以，
由于在递增，
所以，
又由可得：，
由在上恰好取得一次最大值，
则，
所以综合上述可得：，
故选：A.
二、多选题（每小题6分，共18分）
9. 对于平面向量，下列命题不正确的是（ ）
A. 若向量与不相等，则
B. 若，则向量
C. 若向量与不共线，则与都是非零向量
D. 若向量与共线，向量与共线，则向量与也共线
【答案】ABD
【解析】
【分析】由向量的基本概念及共线向量的概念逐项判断即可；
【详解】对于A，当向量与互为相反向量时，两向量的模长相等，故该命题不正确；
对于B，向量的模长有大小关系，但向量之间无大小关系，该命题不正确；
对于C，由于零向量与任意向量共线，向量与不共线，则与都是非零向量，该命题正确；
对于D,与共线，与共线时，与也共线，当时命题不一定成立，该命题不正确，
故选：ABD.
10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ）

A.
B.
C. 的图象与轴的交点坐标为
D. 函数的图象关于直线对称
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据图象求周期，然后可判断A；根据正切函数定义域可判断B；代入验证可判断C；判断关于点对称，然后由图象的对称变换可判断D.
【详解】对A，由图可知，的最小正周期，则，A正确；
对B，由图象可知时，函数无意义，故，
由，得，即，B错误；
对C，，C正确；
对D，由，则的图象关于点对称，
由图象对称变换可得函数的图象关于直线对称，D正确.
故选：ACD
11. 关于函数下列说法正确的有（ ）
A.
B. 不等式的解集是
C. 若方程有3个实数根，则
D. 若存在实数满足，则的最小值为7
【答案】AB
【解析】
【分析】利用分段函数的解析式，求出的值，即可判断A选项；作出分段函数的图像，利用图像可得到不等式的解集，可判断B选项；结合图像数形结合可得有3个根的的取值范围，可判断C选项；利用余弦函数的对称性得到，再求出的取值范围，利用基本不等式可判断D选项.
【详解】函数，作出图像如图所示，

，故选项A正确；
当时，若，则，即，解得或，当时，若，则，即，解得，
结合的图像可得，不等式的解集是，故选项B正确；
由函数可知，与的图像有三个不同的交点时，，故选项C错误；
设存在实数满足，则函数与图像有三个不同的交点，其中和关于的对称轴对称，故，
当时，，故的取值范围是，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8，故选项D错误.
故选：AB.
三、填空题（每小题5分，共15分）
12. 已知函数f(x)＝2sin是偶函数，则θ的值为________.
【答案】
【解析】
【分析】由函数f(x)为偶函数可得，结合，求出的值.
【详解】∵函数f(x)偶函数，∴，
解得：
又，
∴当时，.
故答案为：.
13. ，若是奇函数，是偶函数，则的最小值_____.
【答案】##
【解析】
【分析】通过是奇函数可得，通过是偶函数可得最后结果.
【详解】因为是奇函数且，所以，即，
又因为偶函数，
所以，，即，
又因为，所以的最小值，
故答案为：.
14. 若函数图象的相邻对称轴距离为，且.若存在，使得不等式成立，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据相邻对称轴距离可求出周期，进而求出，再根据求出,从而可得函数解析式，再求出在上的最大值，然后解关于的不等式即可.
【详解】因为函数图象的相邻对称轴距离为，
所以，则，那么，则.
又因为，即.
由于，，所以，解得.
则.
当时，.
当，即时，取得最大值.
因为存在，使得不等式成立，所以.
即，解得不等式解集为，即实数的取值范围是.
故答案为：
四.解答题（共5小题，77分）
15. 在平面直角坐标系中，角是第二象限角，且终边与单位圆交于点.
（1）求实数及的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；；
（2）.
【解析】
【分析】（1）由题意列式即可求解m，再由正切函数定义即可得解；
（2）由结合诱导公式和齐次式弦化切即可计算得解.
【小问1详解】
由题意可得，所以.
【小问2详解】
由（1）得，
所以.
16. 已知两个非零向量与不共线.
（1）若，求证：三点共线；
（2）试确定实数，使和共线.
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量共线定理证明即可得出结论；
（2）利用共线定理构造方程组即可解得.
【小问1详解】
由可得；
显然，即共线，
又因为它们有公共点，
所以可得三点共线；
【小问2详解】
若和共线，且向量与不共线，
则存在实数满足，因此，
解得；
即存在，使和共线.
17. 已知函数的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式.
（2）将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，得到的图象，求图像的对称中心及单调增区间.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数解析式；
（2）利用图象变换求出，再利用余弦函数的图象性质求出对称中心及单调递增区间.
【小问1详解】
由图形可知，，得
过点，，即，
，
函数的解析式
【小问2详解】
将图象上各点纵坐标保持不变，横坐标伸长为原来的倍，
得到的图象，再将所得图象上各点向右平移个单位长度，
得到的图象，
即，
由，得
所以的对称中心为，
令，得，
所以的单调递增区间为.
18. 已知函数，．
（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值；
（3）求不等式的解集．
【答案】（1）；单调递减区间是，
（2），；，
（3）
【解析】
【分析】（1）由的性质求周期，结合余弦函数单调性得减区间；
（2）求出的范围，再结合余弦函数的性质得最值；
（3）由余弦函数的性质解不等式．
【小问1详解】
的最小正周期，
当，即，时，单调递减，
∴的单调递减区间是，.
【小问2详解】
∵，则，
故，
∴，此时，即，
，此时，即．
【小问3详解】
，即，
所以或，，
即或，，
所以不等式的解集为．
19. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点．
（1）求函数的解析式；
（2）当，方程有解，求实数的取值范围；
（3）若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）由题意得，求出周期，再利用周期公式可求出，然后将点代入中可求出的值，从而可求出函数解析；
（2）求得，则将问题转化为有解，然后由求出的范围，从而可求出实数的取值范围；
（3）设，则将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，然后结合正弦函数的图象可求出的范围，从而可求出，进而可求出的取值范围．
【小问1详解】
设的最小正周期为，由题意得，得周期，
所以，得，
因为，所以，
所以，
因为的图象过点，所以，得，
因为，所以，
故．
【小问2详解】
，
即有解，
由，得，
所以，所以，
所以，即．
【小问3详解】
，设，则，
由“方程在区间上恰有三个实数根”，
得“方程在区间上恰有三个实数根”，
则的图象如下：
即，
由图得，，，
即，
综上．
【点睛】关键点点睛：此题考查由正弦函数的性质求正弦函数的解析式，考查函数与方程的综合问题，考查正弦函数和余弦函数的图象与性质，第（3）问解题的关键是通过换元后，将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，再结合正弦函数的图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题.