辽宁营口市大石桥市第三高级中学2025-2026学年高二下册开学数学试卷（含答案）

这是一份辽宁营口市大石桥市第三高级中学2025-2026学年高二下册开学数学试卷（含答案），共5页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第Ⅰ卷 选择
一、单项选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 数列3，5，7，9，…的一个通项公式是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】A
【分析】
根据3，5，7，9，…，数列规律采用验证的方法得到数列的通项公式.
【详解】解：因为
所以.
故选：A
2. 在等比数列中，，则（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 32
【正确答案】A
【分析】根据求出，再根据可得答案.
【详解】设等比数列的公比为，
由，可得q＝2，所以.
故选：A
3. 中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于60岁时完成杰作直指算法统宗，这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文就是：“今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”请你计算甲应该分得
A. 78石B. 76石C. 75石D. 74石
【正确答案】A
【分析】由只知道甲比丙多分三十六石，求出公差，再由等差数列的前n项和的，能求出甲应该分得78石，得到答案．
【详解】由题意，今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，
只知道甲比丙多分三十六石，所以，
所以，解得石．
甲应该分得78石．
故选A．
本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和基本量的运算，其中解答中熟记等差数列的性质和前n项和，准确运算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
4. 已知等差数列共有项，其偶数项之和为，奇数项之和为，则该数列的公差为（ ）．
A.
B.
C.
D.
【正确答案】D
【分析】
分别写出奇偶项的和，做差可解出.
【详解】，，，.
故选：D．
5. 数列{an}的通项公式为an＝，则数列{an}中的最大项是
A. 3B. 19
C. D.
【正确答案】C
【分析】
把数列看作函数，利用基本不等式求最值，注意n只能取正整数．
【详解】令f(x)＝x＋ (x＞0)，运用基本不等式得f(x)≥2，当且仅当x＝3时，等号成立．因为an＝，所以，由于n∈N*，故当n＝9或n＝10时，an＝最大．
故选：C.
本题考查求数列的最大项或最小项问题．数列看作特殊的函数，可以利用函数性质求最值，只是在解题时要注意自变量取值范围是正整数．
6. 已知数列的前项和，（ ）
A.
B.
C.
D.
【正确答案】D
【分析】
根据前项和，得到；根据通项公式去绝对值，利用等差数列的求和公式，即可得出结果.
【详解】∵，∴当时，，
当时，，
令，解得，
令
，
故选：D.
二、多项选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对按比例得分，有选错的得0分）
7. 在等比数列{an}中，已知a1＝3，a3＝27，则数列的通项公式是（ ）
A. an＝3n，n∈N＋B. an＝3n－1，n∈N＋C. an＝(－1)n－13n，n∈N＋D. an＝2n－1，n∈N＋
【正确答案】AC
【分析】根据已知条件求得数列的公比，进而求得，从而确定正确选项.
【详解】设等比数列的公比为，则，
当时，.当时，.
故选：AC
8. 等差数列是递增数列，满足，前n项和为，下列选项正确的是（ ）
A. B.
C. 时n的最小值为8D. 当时最小
【正确答案】ABC
【分析】由等差数列性质、通项公式和求和公式逐项判断即可；
【详解】对A，设公差为d，因为等差数列是递增数列，则，故A正确；
对B，因，则，即，故B正确；
对D，，则对称轴为，开口向上，所以当或4时，取得最小值，故D错误；
对C，由，即0，即，解得（舍去）或，所以时，n的最小值为8，故C正确．
故选：ABC
第Ⅱ卷 非选择题
三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分）
9. 已知数列的通项公式为，则使成立的最大正整数的值为_______．
【正确答案】673
【详解】由数列的通项公式为，得数列单调递减，
，解得，
而，所以的最大值为673.
10. 若数列的前项和,则它的通项公式______________．
【正确答案】
【分析】先求出首项,再根据,求出通项公式,检验首项是否符合,写出通项公式即可.
【详解】解:由题知,,
当时,,
当时,,
将代入,满足,
所以.
故答案为:
四、解答题（本题共3小题，共48分，每题16分）
11. 已知等差数列的公差，前n项和为．
（1）若1，，成等比数列，求；
（2）在（1）的条件下，若，求．
【正确答案】（1）或
（2），．
【分析】（1）根据等差数列的性质和等比中项的定义，列出方程，求出首项即可；
（2）根据等差数列前n项和公式，直接写出结果即可.
【小问1详解】
因为数列的公差，所以，
因为1，，成等比数列，所以，
即，解得或．
【小问2详解】
因为，所以，
所以，．
12. 已知数列满足，，设．
（1）求；
（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（3）求的通项公式．
【正确答案】（1），，；（2）是首项为，公比为的等比数列．理由见解析；（3）.
【分析】（1）根据，求得和，再利用，从而求得，，；
（2）方法一：利用条件可以得到，从而可以得出，这样就可以得到数列是首项为，公比为的等比数列；
（3）方法一：借助等比数列的通项公式求得，从而求得.
【详解】（1）由条件可得，
将代入得，，而，所以，．
将代入得，，所以，．
从而，，；
（2）[方法1]：通性通法】定义法
由以及可知，，，
所以，，又，所以为等比数列．
[方法2]：等比中项法
由知，所以，．
由知，所以．
所以为等比数列．
（3）[方法1]：【最优解】定义法
由（2）知，所以．
[方法2]：累乘法
因为，累乘得：．
所以．
【整体点评】（2）方法一：利用定义证明数列为等比数列，是通性通法；
方法二：利用等差中项法判断数列为等比数列，也是常用方法；
（3）方法一：根据（2）中结论利用等比数列的通项公式求解，是该题的最优解；
方法二：根据递推式特征利用累乘法求通项公式．
13. 等差数列中，，，等比数列中，，．
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
【正确答案】（1）， （2）
【分析】（1）根据等差数列的通项公式求出首项，公差和等比数列的通项公式求出首项，公比即可.
(2)由用错位相减法求和.
【详解】（1）在等差数列中，设首项为，公差为.
由，有 ，解得：
所以
又设的公比为，由，，得
所以.
(2)
…………………………………①
……………②
由①－②得



所以
本题考查求等差、等比数列的通项公式和用错位相减法求和,属于中档题.