河南省禹州市第三高级中学2025-2026学年高二下册开学数学试卷（含答案）

这是一份河南省禹州市第三高级中学2025-2026学年高二下册开学数学试卷（含答案），共29页。试卷主要包含了 函数的单调递增区间是， 已知函数，若，则的取值范围为， 若，则下列结论中正确的是， 已知函数，则等内容，欢迎下载使用。
测试范围：人教A版2019选择性必修第二册全部，第三册第一章.
第一部分（选择题共58分）
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知数列满足，，则的前2026项和（ ）
A. 2023B. 2025C. 2026D. 2137
【正确答案】D
【分析】应用数列的周期性计算求和.
【详解】由，得，，，
，所以，
所以是以3为周期的周期数列，
又，
所以.
故选：D.
2. 已知的二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（ ）
A. B. C. 40D. 80
【正确答案】B
【分析】先求出，再利用二项展开式的通项公式即可求解.
【详解】由题知，，解得，
所以的展开式的通项为，
令，得，所以的系数为.
故选：B.
3. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. 和D.
【正确答案】B
【分析】先求出导函数，再令导函数为正得出单调增区间即可.
【详解】因为函数的导函数为，
令，即得，
所以函数的单调递增区间是.
故选：B.
4. 从5人中选出4人分别到上海、香港、台北、澳门四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去上海游览，则不同的选择方案共有（ ）
A. 120种B. 96种C. 72种D. 48种
【正确答案】C
【分析】先确定去上海游览的人，再确定剩下三个城市游览的人，即可求解.
【详解】分两步：首先从除甲乙之外的3人中选1人去上海游览，共有种，
其次从剩余4人中选3人到其他三个城市游览，共有种，
共有种，
故选：C
5. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A. 数列公差大于0
B. 中最大
C. 数列的公差与数列的公差相等
D. 使得的正整数的最小值为24
【正确答案】B
【详解】因为，所以，则，
所以数列的公差小于0，故A错误；
因为等差数列单调递减，且，，所以中最大，故B正确；
设公差为，则，其公差为，
故数列的公差与数列的公差不相等，故C错误；
因为，故D错误.
6. 已知函数，若，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】分析，的单调性，确定x1和x2都是唯一的，化简，得，得，构造函数，求导后即可求解.
【详解】由，得，所以在R上单调递增,
由，得，且，所以在上单调递增
因此，对任意，x1和x2都是唯一的，
由题意：，
，即，则，
故，
故，根据的x1是唯一的，
得，即，
故，
令， ，则，
由得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
故当时，取得最小值：，
因此，即.
故选：C
7. 把10个相同的小球放入编号分别为1，2，3的三个不同的箱子中，每个箱子的球的个数不少于其编号，则共有多少种放法（ ）
A. 10种B. 种C. 种D. 45种
【正确答案】B
【分析】采用隔板法求解.
【详解】先在1号箱子放0个小球，2号箱子放1个小球，3号箱子放2个小球，
问题转化为将剩余的7个相同小球放入3个不同箱子中，方法数共有种.
故选：B.
8. 记上的可导函数的导函数为，满足（）的数列称为函数的“牛顿数列”．若，数列为牛顿数列，且，，数列的前n项和为，则满足的所有n的和为（ ）
A 7B. 8C. 9D. 12
【正确答案】C
【分析】根据牛顿数列的定义通过函数求导化简得数列递推式，即得等比数列，求出数列的通项与前项和，利用数列的增减性即可求得答案.
【详解】由可得，根据牛顿数列的定义，，
将和代入上式，得，
则数列组成首项为，公比为2的等比数列，故，于是，
则，，则等价于，即，
因为递增数列，且，故满足条件的有4，5两个，它们的和为.
故选：C.
二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 若，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】BD
【分析】对于A，令，即可判断，对于BC，由，由系数计算公式和令进行判断，对于D，分别令和，得到和，进而可判断.
【详解】对于A，取，得，A错；
对于B,展开式中项的系数为，B对；
对于C，令，
可得二项式，
展开式中各项系数均为正，
即，
又
，C错；
对于D，取，得，
取，得，
联立解得，
因此，D对.
故选：BD
10. 已知函数，则（ ）
A. 有两个极值点
B. 有三个零点
C. 点是曲线对称中心
D. 过点且与曲线相切的直线恰有两条
【正确答案】ABD
【分析】对于A，分析函数的单调性即可得出极值点个数；对于B， 利用函数的极值与零点存在定理可得出零点个数；对于C，通过检验是否恒成立即可判断；对于D，利用导数的几何意义写出切线方程，由求出的切点个数即可判断.
【详解】对于A，由求导得．
令，得或，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以和2是函数的两个极值点，故A正确；
对于B，由A项分析，在时取得极大值，在时取得极小值，
且当时，，当时，，故函数在定义域上有三个零点，故B正确；
对于C，由，
因为，
故曲线关于点不成中心对称，故C错误；
对于D，设切点为，则切线的方程为，
代入，可得，化简得，解得或．
故过点且与曲线相切的直线恰有两条，故D正确．
故选：ABD
11. 设和分别为数列和的前项和.已知，则（ ）
A. 是等比数列B. 是递减数列
C. D.
【正确答案】ABC
【分析】利用求出即可判断AC，利用错位相减法求，进而判断D，利用解出即可判断B.
【详解】由，当时，，所以，
当时，，
所以，
所以，即，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，故A正确；
所以，所以，所以，
由，解得，所以当时，是递减数列，
又，所以，所以是递减数列，故B正确；
由有：，所以，故C正确；
由①，
所以②，
由①②有：
，
解得，所以，
当时，当时，，
所以，故D错误.
第二部分（非选择题共92分）
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 2520的正因数有__________个.
【正确答案】48
【详解】对2520分解质因数：，
根据正因数个数公式计算得.
13. 已知过原点的直线与函数的图像相切，则直线的方程为__________.
【正确答案】
【分析】首先讨论当时，去绝对值得到函数的解析式，然后求导求出切线斜率，然后将点代入得到切线方程，最后根据函数是偶函数，可求出时的切线方程，从而得到答案.
【详解】当时，，设切点为，
则切线斜率为，那么切线方程为，
将代入方程中解得，故切线方程为；
由于为偶函数，其图像关于轴对称，
故当时，切线方程为.
综上可知，切线方程为和.
故答案为.
14. 已知数列满足，，则数列的通项公式为______.
【正确答案】
【分析】利用已知求的方法，分别讨论时，与时，的通项，再进行验证；
【详解】由，
当时，，
当时，，
两式相减，得，即，
所以，
所以，
所以，
由于时，不满足上式，
所以.
故答案为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 从这六个数字中任取4个数字可以组成多少个符合下列条件的无重复数字的四位数？
（1）该数是奇数：
（2）不大于4210的偶数；
（3）数字4和5至多出现一个.
【正确答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）根据个位和千位的特殊位置，利用分步乘法计数原理即可求解；
（2）根据千位和个位的数字分类讨论，利用分类加法计数原理即可求解；
（3）根据数字4和5出现的情况，分类讨论，利用分类加法计数原理即可求解.
【小问1详解】
根据题意，排四位奇数的排法分三步：
第一步：先排个位共有种排法，
第二步：再排千位有种排法，
第三步：最后排中间两位共有种排法，
根据分步乘法计数原理共有：种排法；
【小问2详解】
第一类：千位为1或3时，个位为选一个，共有种排法；
第二类：千位为2时，个位为和选一个，共有种排法，
第三类：千位为时，个位为0时，
当百位2时，十位排1共有1种排法，当百位排1时，十位有3种排法，
所以千位为时，个位为0时，共有种排法，
第四类：千位为4时，个位为2时，百位从0和1选一个排有种排法，十位有种排法，
所以共有种排法，
根据分类加法计数原理共有：种排法；
【小问3详解】
第一类：数字4和5没有出现，则从排四位数，共有种排法；
第二类：数字4出现一次，数字5没有出现，数字4排千位有种排法，
数字4不排千位，在后面三位选一个位置排数字4有种选法， 再排千位有种选法，
最后排剩下的两个位置有种排法，共有种排法，
所以数字4出现一次，数字5没有出现，共有种排法；
第三类：数字5出现一次，数字4没有出现，
同理数字4出现一次，数字5没有出现的情况，共有种排法，
根据分类加法计数原理共有种排法.
16. 已知等差数列满足，.
（1）求的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，且，.令，求数列的前n项和.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由题意求出等差数列的首项和公差，即可求得其通项公式；
（2）由，求得数列的通项公式，根据等差数列的前项和公式及等比数列的前项和公式，分组求和，即可得到数列的前n项和.
【小问1详解】
设等差数列的公差为d，
则，解得.
所以的通项公式；
【小问2详解】
数列满足，，①.
当时，，解得；
当时，，②，
①-②得：，整理得，
故数列是以2为首项，2为公比的等比数列；所以；
结合（1）知，
所以数列的前n项和.
17. 已知函数.
（1）求在处的切线方程；
（2）当时，求最值.
【正确答案】（1）
（2）最小值为，无最大值
【分析】（1）求出的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；
（2）利用导数判断出函数在上的单调性，再利用单调性结合给定区间求出的最值.
【小问1详解】
依题意，，，则在处的切线斜率为，
又，即切点坐标为，
故所求切线方程为：，即.
【小问2详解】
由.
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
故当时，取得最小值为
当时，，
，
故在区间上的最小值为，无最大值.
18. 已知正项数列的前n项和为，且，表示不超过x的最大整数，如，，.
（1）求数列的通项公式：
（2）记，求的值；
（3）记，若，求n的最小值.
【正确答案】（1）
（2）2551 （3）316
【分析】（1）利用递推关系可证明等差数列求通项公式；
（2）利用分组求和，放缩求和可求值；
（3）利用对数运算性质来估计项数，即可求解.
【小问1详解】
由，当时，可得，
两式相减可得：
所以，（），又因为，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，即；
【小问2详解】
由，
则，
因为，
，
所以，
即.
【小问3详解】
由，则，，，，
可得：当时，，，
当时，记
则
两式相减可得：
则，
因为时，，，所以
则
所以，因为，所以，所以.
19. 已知函数，（）．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求a的取值范围；
（3）若，且不等式在上恒成立，求a的最小值．
【正确答案】（1）答案见解析.
（2）
（3）1
【分析】（1）函数定义域为，求导，再分和两种情况讨论求解即可得答案；
（2）函数零点即方程的解，等价于,将问题转化为求与图像的交点个数;
（3）根据题意得在上恒成立，故令，求函数最大值即可得答案.
【小问1详解】
由题意，，
当时，恒成立，在单调递增；
当时，令，得，
当，，当，
在单调递增，在单调递减
【小问2详解】
有两个零点，等价于有两个实数根，即，
即，等价于与有两个交点．
由得，，
当，，当，，
在单增，单减． 且，，
，，，，且时，，图象如图，
的取值范围是
【小问3详解】
不等式为，
所以不等式在上恒成立，
所以在上恒成立．
设，则，
当时，，，
又在上是增函数，，，
所以存在，使得，
当时，，；
当时，，，
即在上单调递增，在上单调递减，
，，
则，所以，
因为，所以，
又因为，所以，所以a的最小值为1