河南洛阳市某重点中学2025-2026学年高二下册3月月考数学学科月考试卷（含答案）

这是一份河南洛阳市某重点中学2025-2026学年高二下册3月月考数学学科月考试卷（含答案），共29页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 设函数满足，则（ ）
A. B. C. 1D. 2
【正确答案】B
【分析】根据导数的定义及极限的运算性质计算可得.
【详解】，
故选：B
2. 设，若，则（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】B
【分析】求出函数的导数，结合已知条件，即得答案.
【详解】由，得，
故由，得，
故选：B
3. 曲线在点处的切线与直线垂直，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
【正确答案】D
【分析】求得的导数，可得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得的方程，解方程可得所求值．
【详解】解：的导数为，
可得在点处的切线的斜率为，
由切线与直线垂直，可得，
解得，
故选：．
4. 已知函数在x=1处取得极大值，则m的值为（ ）
A. 1B. 3C. 1或3D. 2或
【正确答案】B
【分析】求导，令，即可得求导m值，分别代入导函数检验，当时，在x=1处取得极小值，故舍去，当时，在处取得极大值，即可得答案.
【详解】由题意得：，因为在x=1处取得极大值，
所以，解得或，
当时，，
令，解得或，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以在处取得极小值，不符合题意，故舍去，
当时，，
令，解得或，
当时，，为增函数，
当时，，为减函数，
所以在处取得极大值，故满足题意
综上.
故选：B
易错点为，通过，解得或，需代回导函数检验，x=1处为极大值点还是极小值点，方可得答案.
5. 已知函数，则的大致图象为（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】C
【分析】利用导数判定单调性结合特殊区间即可得出选项.
【详解】，
令，所以在和上单调递增，
又当时，，.
故选：C
6. 函数在上不单调，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】D
【分析】由有解，结合三角函数的值域来求得正确答案.
【详解】，
因为函数在上不单调，
所以函数有零点，
所以方程 有根，
所以函数与 有交点（且交点非最值点），
因为函数的值域为，
所以 .
故选：D
7. 已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f'（x），对任意x∈R，f'（x）＞f（x）恒成立，且f（1）＝1，则不等式ef（x）＞ex的解集为（ ）
A. （1，+∞）B. [1，+∞）C. （﹣∞，0）D. （﹣∞，0]
【正确答案】A
【分析】首先根据ef（x）＞ex，构造函数，对其求导判断单调性即可。
【详解】由题意得：令
因为f'（x）＞f（x），所以，即在R上为增函数，因为ef（x）＞ex
即,所以
故选:A
本题主要考查了利用构造函数判断函数单调性的问题，解决此类问题的关键是构造出新的函数，属于中等题。
8. 函数在上存在单调递增区间，则实数取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【正确答案】C
【分析】先求出导函数，再根据存在单调递增区间得出，使得，进而应用参数分离即可计算求解.
【详解】因为，所以，
因为函数在上存在单调递增区间，
所以，使得，所以，
，设，故需小于函数在上的上界，
因为，所以，
则，所以．
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9. 下列函数求导错误的是（ ）
A. B.
C. D.
【正确答案】ABD
分析】根据导数公式及复合函数求导计算判断即可.
【详解】对于A：，A选项错误；
对于B：，B选项错误；
对于C：，C选项正确；
对于D：，D选项错误.
故选：ABD.
10. 已知函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A. 在区间和上，函数均是减函数
B. 为函数的零点
C. 为函数的极小值点
D. 为函数的最大值
【正确答案】AC
【分析】分别在每一段区间上讨论的正负，由此可得的正负，从而得到单调性；结合极值点、零点和最值的定义依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，当时，，又，；
当时，，又，；
在和上均为减函数，A正确；
对于B，根据图象可知是的零点，但无法确定，B错误；
对于C，由A知：在上为减函数；
当时，，又，；
上单调递增，又，，
是的极小值点，C正确；
对于D，当时，，又，；
在上单调递减，又在上单调递增，
是的极大值，无法确定是最大值，D错误.
故选：AC.
11. 已知函数，下列判断正确的是（ ）
A. 的单调减区间是，B. 的定义域是
C. 的值域是D. 与有一个公共点，则或
【正确答案】ABD
【分析】先判断函数定义域，再求导分析函数的单调性与最值作出简图，进而可判断各选项.
详解】对B，函数定义域满足，解得，故B正确；
对A，，令可得和，
解得和，故的单调减区间是，，故A正确；
对C，由A可得当和时单调递减，
当时单调递增，且，
作出简图，可得的值域是，故C错误；
对D，由图象可得，与有一个公共点，则或，故D正确；
故选：ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线在点处的切线方程为______.
【正确答案】
【分析】
求出曲线在处的导数值即切线斜率，即可得出方程.
【详解】，，
在点处的切线的斜率，
则切线方程为，即.
故答案为.
13. 已知函数满足在处导数为__________.
【正确答案】#
【分析】根据题意先求出的导数，然后将代入导函数，求出的值.
【详解】,
，
，
.
故答案为.
14. 若函数在区间上单调，则实数的取值范围是_________.
【正确答案】
【分析】利用导数得到函数的极值点，再根据函数在区间上单调判断极值点与区间关系可得.
【详解】，
令，
时，时，
所以在单调递减，在上单调递增，
又函数在区间上单调，
所以或，解得或.
故答案为.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 求下列各函数的导数：
（1）
（2）
（3）
（4）
【正确答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【小问1详解】
【小问2详解】
【小问3详解】
【小问4详解】
令，则.
16. 已知函数．
（1）求的单调区间；
（2）设，求的最值．
【正确答案】（1）的单增区间为和，单减区间为.
（2）最小值为，最大值为.
【分析】（1）求出导函数，利用导数求出的单调区间；（2）根据单调性，求出端点值和极值，即可得到的最值．
【小问1详解】
函数的导函数为.
当和时，有，所以单调递增；当时，有，所以单调递减.
即的单增区间为和，单减区间为.
【小问2详解】
由（1）可知：在上递增，在上递减，在上递增.
又，；
，.
所以在上的最小值为，最大值为.
17. 已知曲线在点处的切线的斜率为3，且当时，函数取得极值.
（1）求函数的极值；
（2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围.
【正确答案】（1）极大值是，极小值是；
（2）
【分析】（1）由题意可得，，求得函数的解析式，再利用导数判断函数的单调性，求函数的极值；
（2）根据（1）的结果求函数的最值，不等式可得，即可求解得到取值范围.
【小问1详解】
，由导数的几何意义可知，，
且，得，
所以，，得或，
，得或，，得，
所以的增区间是和，减区间是，
所以极大值是，极小值是；
【小问2详解】
由（1）可知，在区间单调递增，在区间单调递减，，
所以在区间的最大值为，，
若存在，使得不等式成立，则，
所以.
18. 已知函数在处有极大值.
（1）求实数的值；
（2）若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.
【正确答案】（1）
（2）
【分析】（1）由题意题干中的函数进行求导，根据极值与导数的关系建立方程，分别检验解得的根，可得答案；
（2）由（1）明确函数解析式，利用导数求得其极值与单调性，并作图，根据零点定义，将问题等价转化为函数交点问题，可得答案.
【小问1详解】
由函数，求导可得，
由函数在处取极大值，则，解得或，
当时，可得，
易知当时，；当时，，
则此时函数在处取得极小值，不符合题意，舍去；
当时，可得，
易知当时，；当时，，
则此时函数在处取得极大值，符合题意.
综上所述，.
【小问2详解】
由（1）可得函数，求导可得，
令，解得或，可得下表：
所以函数的极大值为，极小值为，
函数存在三个零点，等价于函数图象与直线存在三个交点，
如下图：
由图可得，则.
19. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明.
【正确答案】（1）见解析；（2）见解析.
【分析】（1）先求函数导数，再根据导函数符号的变化情况讨论单调性：当时，，则在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减.
（2）证明，即证，而，所以需证，设g（x）=lnx-x+1 ，利用导数易得，即得证.
【详解】（1） 的定义域为（0，+），.
若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.
若a＜0，则当时，时；当x∈时，.
故f（x）在单调递增，在单调递减.
（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为.
所以等价于，即.
设g（x）=lnx-x+1，则.
当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时，，即.
利用导数证明不等式的常见类型及解题策略：（1）构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.
（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增