2021-2022学年河南省信阳市某校高二（下）3月月考数学试卷

这是一份2021-2022学年河南省信阳市某校高二（下）3月月考数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 若复数z=21−i，其中i为虚数单位，则z=( )
A.1+iB.1−iC.−1+iD.−1−i

2. 用反证法证明“三角形中最多有一个钝角”的命题第一步应假设（ ）
A.三角形中没有钝角B.三角形中有一个钝角
C.三角形中有两个钝角D.三角形中至少有两个钝角

3. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是( )

A.r2C.r4
4. 有一段“三段论”，推理是这样的：对于可导函数f(x)，如果f′x0=0，那么x=x0是函数f(x)的极值点，因为f(x)=x3在x=0处的导数值f′(0)=0，所以x=0是函数f(x)=x3的极值点.以上推理中( )
A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.结论正确

5. 若x+2ii=y+i，其中x,y∈R，i为虚数单位，则复数z=x+yi所对应复平面内的点Z位于（ ）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

6. 在平面直角坐标系中，点x0,y0到直线Ax+By+C=0的距离d=|Ax0+By0+C|A2+B2，类比可得在空间直角坐标系中，点1,2,3到平面x+2y+2z−4=0的距离为( )
A.83B.73C.5D.4

7. 通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表：
已知X2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，PX2≥10.828=0.001，根据小概率值α=0.001的X2独立性检验，以下结论正确的为（ ）
A.爱好跳绳与性别有关
B.爱好跳绳与性别有关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
C.爱好跳绳与性别无关
D.爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001

8. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则( )
A.乙、丁可以知道自己的成绩B.乙、丁可以知道对方的成绩
C.乙可以知道四人的成绩D.丁可以知道四人的成绩

9. 在R上定义运算⊙:A⊙B＝A(1−B)，若不等式(x−a)⊙(x+a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A.−1
10. 线性分形又称为自相似分形，其图形的结构在几何变换下具有不变性，通过不断迭代生成无限精细的结构．一个正六边形的线性分形图如下图所示，若图1中正六边形的边长为1，周长与面积分别记为a1,S1，图2中所有正六边形的周长之和与面积之和分别记为a2,S2，以此类推，图n中所有正六边形的周长之和与面积之和分别记为an,Sn，其中图n中每个正六边形的边长是图n−1中每个正六边形边长的13，则下列说法正确的是（ ）

A.图4中共有294个正六边形
B.a3=1003
C.Sn=332×79n−1
D.存在正数m，使得an≤m恒成立

11. 对于一个数的三次方，我们可以分解为若干个数字的和如下所示：
13＝1，
23＝3+5，
33＝7+9+11，
43＝13+15+17+19，…，
根据上述规律，173的分解式中，等号右边的所有数的个位数之和为（ ）
A.71B.75C.83D.88

12. 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题正确的是（ ）
（1）若a2+b2π2；
（2）若ab>c2，则C>π3；
（3）若a3+b3＝c3，则C<π2；
（4）若2ab>(a+b)c，则C>π2；
（5）若(a2+b2)c2<2a2b2，则C<π3．
A.（1）（2）（3）B.（1）（2）（5）
C.（1）（3）（4）D.（1）（3）（5）
二、填空题

观察下列各等式：
tan10∘tan20∘+tan20∘tan60∘+tan60∘tan10∘＝1
tan20∘tan30∘+tan30∘tan40∘+tan40∘tan20∘＝1
tan33∘tan44∘+tan44∘tan13∘+tan33∘tan13∘＝1：写出能反映以上式子一般规律的恒等式：_________.

已知复数z=m−m−m2ii为纯虚数，则实数m=________.

以模型y=cekx去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z=lny，其变换后得到线性回归方程z=0.3x+4，则c=________．

牛顿通过研究发现，形如ax+bn形式的可以展开成关于x的多项式，即ax+bn=a0+a1x+a2x2+…+anxn的形式其中各项的系数可以采用“逐次求导赋值法”计算．例如：在原式中令x=0可以求得a0，第一次求导数之后再取x=0，可求得a1，再次求导之后取x=0可求得a2，依次下去可以求得任意-项的系数，设ex=a0+a1x+a2x2+…+anxn+…，则当n=5时，e=________．（用分数表示）
三、解答题

已知复数z1=a+7−ai，z2=5+(3a+1)i(a∈R，i是虚数单位）.
（1）若z2的实部与z1的模相等，求实数a的值；
（2）若复数z1+z2在复平面上的对应点在第四象限，求实数a的取值范围．

保护生态环境，提倡环保出行，节约资源和保护环境，某地区从2016年开始大力提倡新能源汽车，每年抽样1000汽车调查，得到新能源汽车y辆与年份代码x年的数据如下表：
（1）建立y关于x的线性回归方程；
（2）假设该地区2022年共有30万辆汽车，用样本估计总体来预测该地区2022年有多少新能源汽车．
参考公式：回归方程y=bx+a斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2，a=y−bx．

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c.
（1）求证：A，B，C中至少有一个角大于或等于60∘；
（2）若角A，B，C成等差数列，证明：1a+b+1b+c=3a+b+c.

2022年2月4日，第24届冬奥会在中国北京和张家口举行．冬奥会闭幕后，某学校体育社团从全校学生中随机抽取了200名学生，对其是否收看冬奥会进行了问卷调查，统计数据如下：
（1）根据上表说明，能否有99.5%的把握认为，是否收看冬奥会与性别有关？
（2）现从参与问卷调查且收看了冬奥会的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取7人参加冰雪运动志愿宣传活动．若从这7人中随机选取2人，求选取的2人中有1名男生1名女生的概率．
附：K2=nad−bc2a+bc+da+cb+d，其中n=a+b+c+d.


设数列{an}满足a1=3，an+1=3an−4n.
(1)计算a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明；

(2)求令bn=an2,n∈N*，证明： 1b1+1b2+1b3+⋯+1bn<14.

已知函数fx=ax+xx−10(1)证明fx在1,+∞上为减函数；

(2)用反证法证明方程fx=0没有负数根．
参考答案与试题解析
2021-2022学年河南省信阳市某校高二（下）3月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
共轭复数
复数代数形式的乘除运算
【解析】
利用复数的代数形式的乘除运算可求得z=1−i，从而可得答案．
【解答】
解：∵ z=21−i=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i，
∴ z=1−i，
故选B．
2.
【答案】
D
【考点】
反证法与放缩法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”，应假设：一个三角形中至少有两个钝角．
3.
【答案】
A
【考点】
相关系数
【解析】
根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小．
【解答】
解：由给出的四组数据的散点图可以看出，
图1和图3是正相关，相关系数大于0，
图2和图4是负相关，相关系数小于0，
图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以r1接近于1，r2接近于−1，
由此可得r2故选A.
4.
【答案】
A
【考点】
演绎推理
【解析】
在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析的其大前提的形式：“对于可导函数f(x)，如果f′(x0)=0，那么x=x0是函数f(x)的极值点”，不难得到结论．
【解答】
解：大前提是：“对于可导函数f(x)，如果f′(x0)=0，那么x=x0是函数f(x)的极值点”，不是真命题，
因为对于可导函数f(x)，如果f′(x0)=0，且满足当x>x0时和当x∴ 大前提错误.
故选A.
5.
【答案】
D
【考点】
复数相等的充要条件
复数的代数表示法及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
因为x+2ii=y+i，所以−2+xi=y+i，解得： x=1,y=−2，
所以z=x+yi对应的点为1,−2，位于第四象限．
6.
【答案】
B
【考点】
类比推理
点到直线的距离公式
【解析】
类比可得，点x0,y0,z0到平面Ax+By+Cz+D=0的距离d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2，即可得出结果．
【解答】
解：在平面直角坐标系中，点x0,y0到直线Ax+By+C=0的距离d=|Ax0+By0+C|A2+B2，
则类比在空间中点x0,y0,z0到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为
d=|Ax0+By0+Cz0+D|A2+B2+C2，
所以点1,2,3到平面x+2y+2z−4=0的距离为
d=|1+2×2+2×3−4|12+22=73.
7.
【答案】
D
【考点】
独立性检验
【解析】
此题暂无解析
【解答】
a+b=40+20=60,c+d=20+30=50,a+c=40+20=60，
b+d=20+30=50,ad−bc=40×30−20×20=800，n=110，
X2=nad−bc2a+bc+da+cb+d=110×800260×50×60×50≈7.822<10.828
故，爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001
8.
【答案】
A
【考点】
进行简单的合情推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲所说，
甲不知自己的成绩，
所以乙丙必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己的成绩；若是两良，甲也会知道自己的成绩）
所以乙看到了丙的成绩，知道自己的成绩；
所以丁看到甲的成绩，甲、丁也为一优一良，丁知道自己的成绩．
故选A．
9.
【答案】
C
【考点】
一元二次不等式的解法
不等式恒成立问题
【解析】
由题意可得(x−a)(1−x−a)<1对任意实数x恒成立，即为x2−x−a2+a+1>0对任意实数x恒成立，运用判别式小于0，解不等式可得所求范围．
【解答】
∵ (x−a)⊙(x+a)＝(x−a)(1−x−a)，
∴ 不等式(x−a)⊙(x+a)<1，
即(x−a)(1−x−a)<1对任意实数x恒成立，
即x2−x−a2+a+1>0对任意实数x恒成立，
所以Δ=1−4−a2+a+1<0，
解得−1210.
【答案】
C
【考点】
等比数列的通项公式
数列的应用
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
对于A，由图可知，图1至图n中正六边形的个数构成以1为首项，7为公比的等比数列，故图4中共有73=343个正六边形，A不正确．
对于B，由题可知，图n中每个正六边形的边长为13n−1，所以an=6×13n−1×7n−1=6×73n−1，a3=983，B不正确．
对于C，因为图n中每个正六边形的边长为13n−1，所以图n中每个正六边形的面积为332×19n−1，所以Sn=332×19n−1×7n−1=332×79n−1，C正确．
对于D，因为数列an是公比大于1的递增数列，所以不存在正数m，使得an≤m恒成立，D不正确．
11.
【答案】
C
【考点】
归纳推理
【解析】
观察可知，等号的右边为数列{2n−1}中的数，故在173之前，已经使用了(1+16)×162=136个数，故173＝273+275+...+305，故所有数的个位数之和为83．
【解答】
观察可知，等式右边的数为正奇数，故在173之前，总共使用了
1+2+3+⋯+16=1+162×16=136个正奇数，所以173的分解式中第一个数为2×137−1=273，
最后一个是273+16×2=305，因此173=273+275+⋯+305，所有数的个位数之和为83，
故选C．
12.
【答案】
D
【考点】
命题的真假判断与应用
余弦定理
【解析】
①由余弦定理公式可直接算得csC<0；②结合余弦定理和均值不等式即可得解；③将a3+b3＝c3变形为1=(ac)3+(bc)3<(ac)2+(bc)2即可得解；④取特殊值，例如a＝b＝2，c＝1；⑤将(a2+b2)c2<2a2b2变形为c2<2a2b2a2+b2≤2a2b22ab=ab，再结合②即可得解．
【解答】
（1）由余弦定理得，csC=a2+b2−c22ab<0，则C>π2，即正确；
（2）csC=a2+b2−c22ab≥2ab−c22ab>2ab−ab2ab=12，则0（3）因为a3+b3＝c3，所以c最大，所以1=(ac)3+(bc)3<(ac)2+(bc)2，即有a2+b2>c2，则C<π2，即正确；
（4）不妨取a＝b＝2，c＝1，满足2ab>(a+b)c，此时csC=4+4−12×2×2>0，所以C<π2，即错误；
（5）若(a2+b2)c2<2a2b2，则c2<2a2b2a2+b2≤2a2b22ab=ab，由②中的推导可知，0所以正确命题的序号是（1）（3）（5）.
二、填空题
【答案】
若α+β+γ=π2，则tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1．
【考点】
归纳推理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
若α+β+γ=π2，则tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=1．
【答案】
1
【考点】
复数的基本概念
复数代数形式的乘除运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为z=m−m−m2ii=m2−m−mi为纯虚数，
所以m2−m=0，m≠0，解得m=1.
【答案】
e4
【考点】
求解线性回归方程
对数的运算性质
【解析】
我们根据对数的运算性质：lga(MN)=lgaM+lgaN，lgaNn=nlgaN，即可得出结论．
【解答】
解：∵ y=cekx，
∴ 两边取对数，可得lny=ln(cekx)=lnc+lnekx=lnc+kx，
令z=lny，可得z=lnc+kx.
∵ z=0.3x+4，
∴ lnc=4，
∴ c=e4．
故答案为：e4．
【答案】
16360
【考点】
二项式定理的应用
导数的运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
当n=5时， ex=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+⋯，令x=0可得： a0=1,
第一次求导可得： ex=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4+…，令x=0可得： a1=1,
第二次求导可得： ex=2a2+6a3x+12a4x2+20a5x3+…，令x=0可得： a2=12,
第三次求导可得： ex=6a3+24a4x+60a5x2+…，令x=0可得： a3=16,
第四次求导可得： ex=24a4+120a5x+…，令x=0可得： a4=124,
第五次求导可得： ex=120a5+…，令x=0可得： a5=1120,
ex=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+⋯中，
令x=1可得： e=a0+a1+a2+a3+a4+a5+...，
则e=1+1+12+16+124+1120=16360.
故答案为16360.
三、解答题
【答案】
（1）依题意， |z1|=a2+7−a2=2a2−14a+49，
因为z2的实部与z1的模相等，则2a2−14a+49=5，整理得a2−7a+12=0，解得a=3或a=4，
所以a=3或a=4.
（2）因z1+z2=a+5+2a+8i，而z1+z2在复平面上对应点在第四象限，
于是得a+5>02a+8<0，解得−5所以实数a的取值范围是−5,−4.
【考点】
复数的代数表示法及其几何意义
复数代数形式的乘除运算
复数的模
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）依题意， |z1|=a2+7−a2=2a2−14a+49，
因为z2的实部与z1的模相等，则2a2−14a+49=5，整理得a2−7a+12=0，解得a=3或a=4，
所以a=3或a=4.
（2）因z1+z2=a+5+2a+8i，而z1+z2在复平面上对应点在第四象限，
于是得a+5>02a+8<0，解得−5所以实数a的取值范围是−5,−4.
【答案】
（1）x=3,y=30+50+70+100+1105=72，
b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2=1×30+2×50+3×70+4×100+5×110−5×3×7212+22+32+42+52−5×32=21，
因为a=y−bx，所以a=72−21×3=9，所以y=21x+9.
（2）预测该地区2022年抽样1000汽车调查中新能源汽车数，
当x=7时，y=21×7+9=156，该地区2022年共有30万辆汽车，
所以新能源汽车N=300000×1561000=46800.
【考点】
求解线性回归方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）x=3,y=30+50+70+100+1105=72，
b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi2−nx2=1×30+2×50+3×70+4×100+5×110−5×3×7212+22+32+42+52−5×32=21，
因为a=y−bx，所以a=72−21×3=9，所以y=21x+9.
（2）预测该地区2022年抽样1000汽车调查中新能源汽车数，
当x=7时，y=21×7+9=156，该地区2022年共有30万辆汽车，
所以新能源汽车N=300000×1561000=46800.
【答案】
（1）假设结论不成立，即0∘（2）要证1a+b+1b+c=3a+b+c，只需证a+b+ca+b+a+b+cb+c=3，
即证： ca+b+ab+c=1，即证cb+c+aa+b=a+bb+c，即证： c2+a2=ac+b2，
又因△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，故B=60∘．由余弦定理可得：
b2=c2+a2−2accs60∘，即： b2=c2+a2−ac，故c2+a2=ac+b2，
所以1a+b+1b+c=3a+b+c成立.
【考点】
余弦定理
等差数列的性质
反证法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）假设结论不成立，即0∘（2）要证1a+b+1b+c=3a+b+c，只需证a+b+ca+b+a+b+cb+c=3，
即证： ca+b+ab+c=1，即证cb+c+aa+b=a+bb+c，即证： c2+a2=ac+b2，
又因△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，故B=60∘．由余弦定理可得：
b2=c2+a2−2accs60∘，即： b2=c2+a2−ac，故c2+a2=ac+b2，
所以1a+b+1b+c=3a+b+c成立.
【答案】
（1）∵ K2=200×80×40−20×602100×100×140×60=20021≈9.524>7.879，
∴ 有99.5%的把握认为“是否收看冬奥会”与性别有关．
（2）采用按性别分层抽样的方法，选取7人，
则男生有8080+60×7=4人，女生有7−4=3人，
男生4人编号为a、b、c、d，女生3人编号为1、2、3，
则从这7人里面选取2人有如下21种可能组合：
ab，ac，ad，a1，a2，a3，bc，bd，b1，b2，b3，cd，c1，c2，c3，d1，d2，d3，12，13，23，
其中有1名男生1名女生的组合有12种，
故所求概率为： 1221=47.
【考点】
独立性检验
列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）∵ K2=200×80×40−20×602100×100×140×60=20021≈9.524>7.879，
∴ 有99.5%的把握认为“是否收看冬奥会”与性别有关．
（2）采用按性别分层抽样的方法，选取7人，
则男生有8080+60×7=4人，女生有7−4=3人，
男生4人编号为a、b、c、d，女生3人编号为1、2、3，
则从这7人里面选取2人有如下21种可能组合：
ab，ac，ad，a1，a2，a3，bc，bd，b1，b2，b3，cd，c1，c2，c3，d1，d2，d3，12，13，23，
其中有1名男生1名女生的组合有12种，
故所求概率为： 1221=47.
【答案】
解：(1)由a1=3，an+1=3an−4n，
a2=3a1−4=5，a3=3a2−4×2=7，
⋯，
猜想an的通项公式为an=2n+1.
证明如下：（数学归纳法）当n=1，2，3时，显然成立； ①
假设n=k时，即ak=2k+1成立，其中k∈N*，
由ak+1=3ak−4k=3(2k+1)−4k=2(k+1)+1 ，②
故假设成立.
综上①②，所以an=2n+1n∈N*.
(2)证明： bn=an2=2n+12=4n2+4n+1>4nn+1，
∴ 1bn<14nn+1=141n−1n+1，
则1b1+1b2+1b3+⋯+1bn<141−12+12−13+⋯+1n−1n+1
=141−1n+1<14.
【考点】
数学归纳法
数列递推式
数列与不等式的综合
【解析】
(1)利用数列的递推关系式求出a2，a3，猜想{an}的通项公式，然后利用数学归纳法证明即可；
(2)化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的前n项和Sn.
【解答】
解：(1)由a1=3，an+1=3an−4n，
a2=3a1−4=5，a3=3a2−4×2=7，
⋯，
猜想an的通项公式为an=2n+1.
证明如下：（数学归纳法）当n=1，2，3时，显然成立； ①
假设n=k时，即ak=2k+1成立，其中k∈N*，
由ak+1=3ak−4k=3(2k+1)−4k=2(k+1)+1 ，②
故假设成立.
综上①②，所以an=2n+1n∈N*.
(2)证明： bn=an2=2n+12=4n2+4n+1>4nn+1，
∴ 1bn<14nn+1=141n−1n+1，
则1b1+1b2+1b3+⋯+1bn<141−12+12−13+⋯+1n−1n+1
=141−1n+1<14.
【答案】
证明：(1)由题可知f′x=axlna+x−1−xx−12
=axlna−1x−12
因为0所以lna<0，
所以axlna−1x−12<0，
所以f′x<0在1,+∞上恒成立，即fx在1,+∞上为减函数．
(2)假设存在x0<0满足fx0=0，
则ax0=−x0x0−1，
由ax0>1可得−x0x0−1>1，
即12故方程fx=0没有负数根．
【考点】
利用导数研究函数的单调性
根的存在性及根的个数判断
反证法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
证明：(1)由题可知f′x=axlna+x−1−xx−12
=axlna−1x−12
因为0所以lna<0，
所以axlna−1x−12<0，
所以f′x<0在1,+∞上恒成立，即fx在1,+∞上为减函数．
(2)假设存在x0<0满足fx0=0，
则ax0=−x0x0−1，
由ax0>1可得−x0x0−1>1，
即12故方程fx=0没有负数根．