2021-2022学年河南省新乡市某校高中部高二（下）3月月考数学试卷

这是一份2021-2022学年河南省新乡市某校高中部高二（下）3月月考数学试卷，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 不等式x2≥2x的解集是( )
A.{x|x≥2}B.{x|x≤2}
C.{x|0≤x≤2}D.{x|x≤0或x≥2}

2. 命题“∃x<0 x2+2x−m>0”的否定是（ ）
A.∀x≥0,x2+2x−m≤0B.∃x≥0,x2+2x−m≤0
C.∀x<0,x2+2x−m≤0D.∃x<0,x2+2x−m≤0

3. 已知在等比数列{an}中，a3a11=4a7，数列{bn}是等差数列，且b7=a7，则b3+b11=( )
A.3B.6C.7D.8

4. △ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asinB=2sinA，acsB=c+1，则A=（ ）
A.π3B.5π12C.2π3D.3π4

5. 已知两个正数a,b满足 3a+2b=1，则 3a+2b 的最小值是( )
A.23B.24C.25D.26

6. 设x，y满足 2x+y≥4，x−y≥−1，x−2y≤2，则z=x+y的最小值是( )
A.−3B.−1C.1D.3

7. 设等差数列an满足a2=7, a4=3, Sn是数列an的前n项和，则使得Sn>0最大的自然数n是（ ）
A.9B.10C.11D.12

8. 已知a=lg72，b=lg0.70.2，c=0.70.2，则a，b，c的大小关系为( )
A.b
9. f′(x0)＝0是函数f(x)在点x0处取极值的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10. 在平行六面体（底面是平行四边形的四棱柱） ABCD−A1B1C1D1中， AB=AD=AA1=1，∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60∘，则AC1的长为（ ）

A.3B.3C.6D.6

11. 已知椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0与双曲线x2m2−y2n2=1m>0,n>0具有相同焦点F1,F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2=π3，记椭圆与双曲线的离心率分别为e1,e2，则3e12+e22的最小值是（ ）
A.2B.3C.4D.5

12. 定义在R上的奇函数y=f(x)满足f(3)=0，且当x>0时，不等式f(x)>−xf′(x)恒成立，则函数g(x)=xf(x)+lg|x+1|的零点的个数为( )
A.1B.2C.3D.4
二、填空题

不等式x−1x−3≤0的解集为________.

若数列an满足an+1=2an+1,a1=1，则a3=________.

在△ABC中，若c=13, a=3, ∠C=120∘，则b=________.

曲线fx=ex−x2在点0,f0处的切线方程为________.
三、解答题

已知集合A={x|x2−2x−3<0}，B=x||x−a|<1.
(1)当a=3时，求A∪B；

(2)设p:x∈A,q:x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

已知Sn是等差数列an的前n项和，若a2+a9=29 ，S4=a8.
(1)求数列an的通项公式an；

(2)记bn=1anan+1，求数列bn的前n项和Tn.

已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acsB+bcsA=2ccsB.
(1)求角B；

(2)若A=π4，角B的角平分线交AC于点D，BD=6，求CD的长．

如图，在正四棱柱ABC−A1B1C1D1中，DC＝DA＝2，DD1＝4，点E在C1C上，且CE＝1．

（1）求异面直线A1D与B1B所成角的正切值；

（2）求证：A1C⊥平面DBE；

（3）求二面角A1−DE−B的余弦值．

已知椭圆M：x2a2+y2b2=1a>b>0的离心率为22，且过点2,2.
(1)求椭圆M的方程；

(2)若A，B分别为椭圆M的上，下顶点，过点B且斜率为kk>0的直线l交椭圆M于另一点N（异于椭圆的右顶点），交x轴于点P，直线AN与直线x=a相交于点Q．
求证：直线PQ的斜率为定值．

已知函数f(x)=aex−ln x−1．
(1)设x=2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；

(2)证明：当a≥1e时，f(x)≥0．
参考答案与试题解析
2021-2022学年河南省新乡市某校高中部高二（下）3月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
其他不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由x2≥2x ，整理得：x(x−2)≥0
解得：x≤0或x≥2.
故选D.
2.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
全称命题与特称命题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
3.
【答案】
D
【考点】
等比数列的性质
等差数列的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：在等比数列{an}中，a3a11=a72=4a7，
解得a7=4，
在等差数列{bn}中，b3+b11=2b7=2a7=8.
故选D.
4.
【答案】
C
【考点】
正弦定理
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
C
5.
【答案】
C
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
根据题意，将2a+3b变形为(2a+3b)×(2a+3b)，进一步可化简可得2a+3b=13+6(ba+ab)，由基本不等式可以求出ba+ab的最小值，代入2a+3b=13+6(ba+ab)中，可得2a+3b的最小值，即可得答案．
【解答】
解：由2b+3a=1，
则2b+3a=(2b+3a)×(2b+3a)
=4+9+6(ab+ba)=13+6(ab+ba)，
又由a>0，b>0，可得ab+ba≥2ba⋅ab=2，
则2b+3a≥13+12=25，即2b+3a的最小值为25.
故选C.
6.
【答案】
D
【考点】
求线性目标函数的最值
【解析】
直接作出线性区域，再利用几何意义的出答案.
【解答】
D
7.
【答案】
A
【考点】
等差数列的前n项和
数列与不等式的综合
【解析】
此题暂无解析
【解答】
A
8.
【答案】
D
【考点】
指数式、对数式的综合比较
【解析】
本题根据对数函数及指数函数来比较大小，解题关键是找到中间值，将a、b、c与中间值进行比较即可得到结果．
【解答】
D
9.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
函数在某点取得极值的条件
【解析】
f′(x0)＝0推不出函数f(x)在点x0处取极值，反之函数f(x)在点x0处取极值，必有f′(x0)＝0．
【解答】
B
10.
【答案】
D
【考点】
棱柱的结构特征
空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
D
11.
【答案】
B
【考点】
椭圆的定义
椭圆的离心率
双曲线的定义
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
B
12.
【答案】
C
【考点】
函数的单调性与导数的关系
函数零点的判定定理
【解析】
由不等式f(x)>−xf′(x)在(0, +∞)上恒成立，得到函数h(x)=xf(x)在x>0时是增函数，再由函数y=f(x)是定义在R上的奇函数得到h(x)=xf(x)为偶函数，结合f(0)=f(3)=f(−3)=0，作出两个函数y1=xf(x)与y2=−lg|x+1|的大致图象，数形结合可得答案．
【解答】
解：定义在R的奇函数f(x)满足：
f(0)=0=f(3)=−f(−3)，
x>0时，f(x)>−xf′(x)，即f(x)+xf′(x)>0，
∴ [xf(x)]′>0，h(x)=xf(x)在x>0时是增函数，
又h(−x)=−xf(−x)=xf(x)=h(x)，
∴ h(x)=xf(x)是偶函数，
∴ x<0时，h(x)是减函数，结合函数的定义域为R，
且f(0)=f(3)=f(−3)=0，
可得函数y1=xf(x)与y2=−lg|x+1|的大致图象如图，
∴ 由图象可知，函数g(x)=xf(x)+lg|x+1|的零点的个数为3个．
故选C．
二、填空题
【答案】
[1,3)
【考点】
分式不等式的解法
【解析】
原不等式等价于x−1x−3≤0且x−3≠0，求解即可.
【解答】
解：∵ x−1x−3≤0，
∴ x−1x−3≤0且x−3≠0，
解得1≤x<3.
故答案为： [1,3).
【答案】
7
【考点】
数列递推式
【解析】
此题暂无解析
【解答】
7
【答案】
1
【考点】
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
1
【答案】
x−y+1=0
【考点】
利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
x−y+1=0
三、解答题
【答案】
解：(1)集合A，B化简得A=x|−1当a=3时，B=x|2所以A∪B=x|−1(2)因为p是q的必要不充分条件，所以B⫋A，
所以a−1≥−1,a+1≤3,⇒a≥0,a≤2,验证当a=0,2时满足B⫋A，
所以实数a的取值范围为0,2 .
【考点】
并集及其运算
一元二次不等式的解法
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)集合A，B化简得A=x|−1当a=3时，B=x|2所以A∪B=x|−1(2)因为p是q的必要不充分条件，所以B⫋A，
所以a−1≥−1,a+1≤3,⇒a≥0,a≤2,验证当a=0,2时满足B⫋A，
所以实数a的取值范围为0,2 .
【答案】
解：（1）设等差数列an的首项为a1，公差为d，
由题意得： 2a1+9d=29,4a1+4×32d=a1+7d,
∴ 2a1+9d=29d=3a1，
即a1=1,d=3，
∴ an=3n−2.
（2）由（1）知an+1=3n+1，
∴ bn=1anan+1=13n−23n+1=1313n−2−13n+1，
∴ Tn=131−14+14−17+⋯+13n−2−13n+1
=131−13n+1=n3n+1.
【考点】
等差数列的通项公式
等差数列的前n项和
数列的求和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：（1）设等差数列an的首项为a1，公差为d，
由题意得： 2a1+9d=29,4a1+4×32d=a1+7d,
∴ 2a1+9d=29d=3a1，
即a1=1,d=3，
∴ an=3n−2.
（2）由（1）知an+1=3n+1，
∴ bn=1anan+1=13n−23n+1=1313n−2−13n+1，
∴ Tn=131−14+14−17+⋯+13n−2−13n+1
=131−13n+1=n3n+1.
【答案】
解：(1)因为acsB+bcsA=2ccsB，
由正弦定理可得：
sinAcsB+sinBcsA=2sinCcsB，
即sin(A+B)=2sinCcsB，
即sinC=2sinCcsB.
因为0所以sinC>0，故csB=12.
因为0(2)由(1)可知∠ABD=∠CBD=π6，
又A=π4，
所以∠ADB=7π12，∠CDB=5π12，
可得∠BCD=5π12，
所以BC=BD=6，
在△BCD中，由余弦定理可得：
CD2=BD2+BC2−2BD⋅BCcs∠CBD，
即CD2=6+6−2×6×6×32
=12−63=(3−3)2，
解得CD=3−3．
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】


【解答】
解：(1)因为acsB+bcsA=2ccsB，
由正弦定理可得：
sinAcsB+sinBcsA=2sinCcsB，
即sin(A+B)=2sinCcsB，
即sinC=2sinCcsB.
因为0所以sinC>0，故csB=12.
因为0(2)由(1)可知∠ABD=∠CBD=π6，
又A=π4，
所以∠ADB=7π12，∠CDB=5π12，
可得∠BCD=5π12，
所以BC=BD=6，
在△BCD中，由余弦定理可得：
CD2=BD2+BC2−2BD⋅BCcs∠CBD，
即CD2=6+6−2×6×6×32
=12−63=(3−3)2，
解得CD=3−3．
【答案】
解：如图，建立空间直角坐标系D−xyz，
则B2,2,0,C0,2,0，E0,2,1,A12,0,4,
DE→=0,2,1,DB→=2,2,0，A1C→=−2,2,−4,DA1→=2,0,4，
（1）∵ AA1 // BB1，
∴ ∠AA1D是异面直线A1D与B1B所成角，
∵ 在Rt△AA1D中，A1A＝4，AD＝2，
∴ tan∠AA1D=12，
即异面直线A1D与B1B所成角的正切值为12．
（2）证明：∵ A1C→⋅DB→=−4+4+0=0，A1C→⋅DE→=0+4−4=0，
∴ A1C⊥BD，A1C⊥DE，
又DB∩DE＝D，
∴ A1C⊥平面DBE．
（3）由（2）知向量A1C→为平面DBE的一个法向量，
设平面DA1E的法向量n→=(x, y, z)，
由n→⊥DE→，n→⊥DA1→得2y+z＝0，2x+4z＝0，
令z＝−2，得x＝4，y＝1，
∴ n→=(4, 1, −2)，cs⟨n→,A1C→⟩=n→⋅A1C→|n→||A1C→|=1442，
又二面角A1−DE−B为锐角，
∴ 二面角A1−DE−B的余弦值为1442.
【考点】
异面直线及其所成的角
直线与平面垂直的判定
用空间向量求直线间的夹角、距离
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
（1）说明∠AA1D是异面直线A1D与B1B所成角，解三角形AA1D，直接求异面直线A1D与B1B所成角的正切值；
（2）建立空间直角坐标系D−xyz，求出DE→,DB→,A1C→，计算A1C→⋅DB→=0,A1C→⋅DE→=0，即可证明A1C⊥平面DBE；
（3）向量A1C→为平面DBE的一个法向量，求出平面DA1E的法向量n→，利用cs⟨n→,A1C→⟩=n→⋅A1C→|n→||A1C→|求二面角A1−DE−B的余弦值．
【解答】
解：如图，建立空间直角坐标系D−xyz，
则B2,2,0,C0,2,0，E0,2,1,A12,0,4,
DE→=0,2,1,DB→=2,2,0，A1C→=−2,2,−4,DA1→=2,0,4，
（1）∵ AA1 // BB1，
∴ ∠AA1D是异面直线A1D与B1B所成角，
∵ 在Rt△AA1D中，A1A＝4，AD＝2，
∴ tan∠AA1D=12，
即异面直线A1D与B1B所成角的正切值为12．
（2）证明：∵ A1C→⋅DB→=−4+4+0=0，A1C→⋅DE→=0+4−4=0，
∴ A1C⊥BD，A1C⊥DE，
又DB∩DE＝D，
∴ A1C⊥平面DBE．
（3）由（2）知向量A1C→为平面DBE的一个法向量，
设平面DA1E的法向量n→=(x, y, z)，
由n→⊥DE→，n→⊥DA1→得2y+z＝0，2x+4z＝0，
令z＝−2，得x＝4，y＝1，
∴ n→=(4, 1, −2)，cs⟨n→,A1C→⟩=n→⋅A1C→|n→||A1C→|=1442，
又二面角A1−DE−B为锐角，
∴ 二面角A1−DE−B的余弦值为1442.
【答案】
(1)解：设椭圆的焦距为2c，
则ca=22①，
4a2+2b2=1②，
又a2=b2+c2③，
由①②③解得a2=8，b2=4，c2=4，
所以椭圆M的标准方程为x28+y24=1．
(2)证明：易得A(0，2)，B(0，−2)，
直线l的方程为y=kx−2.
因为直线l不过点(22,0)，
所以k≠22.
由y=kx−2,x2+2y2=8,
得(2k2+1)x2−8kx=0，
所以xN=8k2k2+1，
从而N8k2k2+1,4k2−22k2+1，P2k,0，
直线AN的斜率为4k2−22k2+1−28k2k2+1=−12k，
故直线AN的方程为y=−12kx+2.
令x=22，得Q22,−2k+2.
直线PQ的斜率kPQ=−2k+222−2k
=−2+2k22k−2
=2(2k−1)2(2k−1)
=22，
所以直线PQ的斜率为定值22．
【考点】
圆锥曲线中的定点与定值问题
椭圆的离心率
椭圆的标准方程
【解析】
左侧图片未给出解析．
左侧图片未给出解析．
【解答】
(1)解：设椭圆的焦距为2c，
则ca=22①，
4a2+2b2=1②，
又a2=b2+c2③，
由①②③解得a2=8，b2=4，c2=4，
所以椭圆M的标准方程为x28+y24=1．
(2)证明：易得A(0，2)，B(0，−2)，
直线l的方程为y=kx−2.
因为直线l不过点(22,0)，
所以k≠22.
由y=kx−2,x2+2y2=8,
得(2k2+1)x2−8kx=0，
所以xN=8k2k2+1，
从而N8k2k2+1,4k2−22k2+1，P2k,0，
直线AN的斜率为4k2−22k2+1−28k2k2+1=−12k，
故直线AN的方程为y=−12kx+2.
令x=22，得Q22,−2k+2.
直线PQ的斜率kPQ=−2k+222−2k
=−2+2k22k−2
=2(2k−1)2(2k−1)
=22，
所以直线PQ的斜率为定值22．
【答案】
(1)解：f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=aex−1x．
由题设知，f′(2)=0，所以a=12e2．
从而f(x)=12e2ex−ln x−1，
f′(x)=12e2ex−1x=xex−2e22e2x．
易知当0当x>2时，f′(x)>0．
所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，
单调递增区间为(2,+∞)．
(2)证明：当a≥1e时，f(x)≥exe−ln x−1．
设g(x)=exe−ln x−1，则g′(x)=exe−1x．
易知当01时，g′(x)>0．
所以x=1是g(x)的最小值点．
故当x>0时，g(x)≥g(1)=0．
因此，当a≥1e时，f(x)≥0．
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
利用导数研究函数的单调性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
(1)解：f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=aex−1x．
由题设知，f′(2)=0，所以a=12e2．
从而f(x)=12e2ex−ln x−1，
f′(x)=12e2ex−1x=xex−2e22e2x．
易知当0当x>2时，f′(x)>0．
所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，
单调递增区间为(2,+∞)．
(2)证明：当a≥1e时，f(x)≥exe−ln x−1．
设g(x)=exe−ln x−1，则g′(x)=exe−1x．
易知当01时，g′(x)>0．
所以x=1是g(x)的最小值点．
故当x>0时，g(x)≥g(1)=0．
因此，当a≥1e时，f(x)≥0．