山东省潍坊市2025届高三下学期二模数学试题（Word版附解析）

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2025.4
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则的子集的个数是（ ）
A. 4B. 8C. 16D. 32
【答案】B
【解析】
【分析】首先解不等式化简集合，再根据含有个元素的集合有个子集计算可得.
【详解】由，解得，
所以，
所以的子集有个.
故选：B
2. 某校高二年级组织了一次数学素养测试，随机抽取位学生的成绩，制成如图所示的茎叶图，该组数据的第百分位数是，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】结合百分位数的定义可得出关于的等式，解之即可.
【详解】由题设有，而，
这八个数据由小到大排列依次为、、、、、、、，
则样本数据的第百分位数为，解得，合乎题意.
综上所述，.
故选：C.
3. 已知是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）
A. B. C. 1D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】利用一元二次方程根的性质得到另一个根，再结合韦达定理求出参数值，最后求解的值即可.
【详解】因为是关于的实系数方程的一个复数根，
所以是关于的实系数方程的另一个复数根，
由韦达定理得，解得，
，则，故D正确.
故选：D
4. 已知向量在向量上的投影向量为，若，则（ ）
A. B. C. 3D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】根据计算投影向量的公式及，求得，再利用数量积的运算律即可得答案.
【详解】，∴,
,
故选：A.
5. 已知数列满足，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据递推公式逐项计算可得的值.
【详解】因为数列满足，且，
所以，，，.
故选：D.
6. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，其终边与圆交于点．若角终边沿逆时针方向旋转角，交圆于点，则角可能为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用任意角三角函数的定义结合两角差的正弦公式得到，再利用正弦函数的性质得到的可能值即可.
【详解】因为角的终边与圆交于点，
所以由任意角三角函数定义得，，
设旋转后的角为，且旋转后的角交圆于点，
则由任意三角函数的定义得，，
得到，
，
故，当时，，故D正确.
故选：D
7. 现安排甲、乙、丙、丁、戊位志愿者到三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排人，每位志愿者只到一个社区，其中甲、乙安排在同一个社区的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出将位志愿者到三个社区做志愿服务工作的分法种数，然后就甲、乙所安排的小区的志愿者人数进行分类讨论，利用计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】将甲、乙、丙、丁、戊位志愿者到三个社区做志愿服务工作，
每个社区的人数分别为、、或、、，
所以不同的分法种数为种；
现在考虑甲、乙安排在同一个社区，若甲、乙所安排的小区有人，则还需从另外人中抽人，
此时分法种数为种；
若甲、乙所安排的小区只有他们两人，此时只需将剩余人分为两组，则分法种数为种.
综上所述，甲、乙安排在同一个社区的概率为.
故选：C.
8. 在中，，为边上一点，满足，以为焦点作一个椭圆，若经过两点，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆的离心率公式进行求解即可.
【详解】设，，则，，
设该椭圆长半轴长为，由椭圆的定义可知：
，解得
所以，，，
在中，显然有，所以，
设，由余弦定理可知：，
即解得
因此椭圆的焦距为，
所以椭圆的离心率为：.
故选：C.
二、多项选择题：本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．
9. 在正方体中，、分别为线段、的中点，则（ ）
A. 与异面B. 平面
C. D. 平面
【答案】AC
【解析】
【分析】利用异面直线的定义可判断A选项；建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断BCD选项.
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示空间直角坐标系，
不妨设正方体的棱长为，则、、、、
、、，
对于A选项，、既不平行，也不相交，故与异面，A对；
对于B选项，，易知平面的一个法向量为，
则，故与平面不平行，B错；
对于C选项，，所以，，故，C对；
对于D选项，，所以，，所以，、不垂直，
故与平面不垂直，D错.
故选：AC.
10. 已知函数，函数的图象由的图象向左平移个单位得到，则（ ）
A. 与在上有相同的单调性
B. 的图象关于直线对称
C. 设，则一个对称中心为
D. 当时，与的图象有6个交点
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据平移规则得到函数即可判断A正确，由余弦函数对称轴方程可得B错误，再由正切函数对称中心方程可得C正确，画出函数图像即可求得交点个数，可得D正确.
【详解】易知的图象向左平移个单位可以得到，
对于A，当时，，
由正弦函数和余弦函数图像性质可知，与在上均是单调递减的，即它们有相同的单调性，可得A正确；
对于B，由可知，令，解得，
因此可得的图象关于直线对称，即B错误；
对于C，易知，
令，解得，
即则的对称中心为，
当时，可知的一个对称中心为，即C正确；
对于D，当时，，又；
画出函数的图象如下图所示：
结合图像可知，与的图象有6个交点，即D正确.
故选：ACD
11. 曲线的曲率定义如下：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率，则（ ）
A. 曲线上不存在曲率大于的点
B. 曲线在点处的曲率最大
C. 曲线在点处的曲率为
D. 曲线在点与处曲率相等，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用曲率的定义可判断ABC选项；由题意得出，令，结合基本不等式可得出关于的不等式，解之可判断D选项.
【详解】对于A选项，设，则，，
所以，，
所以，曲线上不存在曲率大于的点，A对；
对于B选项，令，则，，
所以，，
故当时，取最小值，此时取最大值，且，
所以，曲线在点处的曲率最大，B对；
对于C选项，由可得，
令，则，
则，所以，，，
所以，曲线在点处的曲率为，C错；
对于D选项，设，则，，
则在点处的曲率，
因为曲线在点与处曲率相等，
即，即，
即，
整理可得，
因为且、均为正数，所以，，
由基本不等式可得，
即，令，则，
即，由于，解得，即，D对.
故选：ABD.
三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．
12. 若抛物线的准线与直线之间的距离是2，写出一个满足条件的抛物线的标准方程：____________．
【答案】或（填一个答案即可）
【解析】
【分析】根据题意，判断抛物线的准线方程为或，分别求出焦准距，写出抛物线方程即可.
【详解】依题意，抛物线的准线与直线平行，且距离为2，
故抛物线的准线方程为或，
当抛物线的准线方程为时，抛物线的焦点在轴的负半轴上，且，，故抛物线方程为：；
当抛物线的准线方程为时，抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，，故抛物线方程为：.
综上可知，满足条件的抛物线的标准方程可以是或.
故答案为：或（填一个答案即可）
13. ，，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据绝对值三角不等式得到，从而得到，解得即可.
【详解】因为（当且仅当时取等号），
又，，所以，则或，
解得或，即实数的取值范围是.
故答案为：
14. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，其下底面与半球的底面重合，上底面圆周在半球的球面上，则圆台的侧面积为____________；半球被该圆台的上底面所在的平面截得两部分，其体积分别为，则____________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第一空利用已知条件可求得圆台的高，进而可求出圆台的母线长，再求侧面积即可；第二空先求出球冠的体积，再求出半球的体积，进而可求出，最后可求出的值.
【详解】
作出圆台的轴截面如图，设圆台的上底面半径为，下底面半径为，球的半径为，
圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，，，
又下底面与半球的底面重合，，
圆台的高，圆台的母线长为，
圆台的侧面积为；
半球体积为，
球心到圆台的上底面所在的平面的距离为，
球冠的高度为，
球冠的体积为，
，
.
故答案为：；.
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在中，角的对边分别为，已知．
（1）求角的大小；
（2）若外接圆的半径为，且，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；
（2）由正弦定理求出，再由余弦定理及求出、，最后由面积公式计算可得.
【小问1详解】
因为
由正弦定理得．
所以，
因为，所以．
所以．
因为，所以，
因为，所以．
【小问2详解】
因为外接圆半径为，
由正弦定理得，由（1）知，即，所以，
由余弦定理得，所以，
因为，代入上式得．
因为，所以，则，所以．
16. 已知函数．
（1）若在处取得极值0，求的值；
（2）若有两个零点．
（i）当时，曲线在点处的切线斜率为1，求的值；
（ii）证明：．
【答案】（1）
（2）（i）；（ii）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，由题意得，求得的值并利用单调性进行验证；
（2）（i）根据导数的几何意义得，，求得的值并进行验证；
（ii）利用导数求得极小值，再根据有两个零点，即可得证.
【小问1详解】
，
由题意即解得．
当时，，
单调递减，单调递增，
所以在处取极值．
【小问2详解】
（i）时，
，所以，
又，
所以，解得或．
若只有一个零点，不符合题意，舍去，所以．
（ii），若，则在上单调递增，不合题意，
若，令，得，
且单调递减，
单调递增，
所以处取极小值，
因为函数有两个零点，则，
所以，
即．
17. 如图，四棱锥的底面为矩形，．
（1）设平面与平面的交线为，证明：平面；
（2）若点满足，求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行判定、性质推理得证.
（2）取的中点，过作垂线于，以为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法求解.
【小问1详解】
由为矩形，得，而平面，
平面，则平面，
又平面平面，平面，
则，又平面，平面，
所以平面．
【小问2详解】
设中点分别为，连接，
由题意得，
得，又，则，
在中，过作垂线，垂足为，
过作垂线，垂足为，则．
由，得，
又平面，则平面，
而平面，则，过作平行线交于，
以为原点，的方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，
，设，
由，得，
得，，
设平面的法向量为，则，
取，得，
又，得到，
故与平面所成角的正弦值为．
18. 有个依次进行的试验、、、，每个试验的结果为成功或失败．试验：成功的概率为，其中为前次试验中的成功次数，待别地，当时，，的成功概率为（即必定成功），记前次试验中恰有次失败的概率为．
（1）当时，求恰好有次成功的概率；
（2）令，若，证明：；
（3）当时，请判断与的大小关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3），理由见解析
【解析】
【分析】（1）分情况讨论：①失败，成功；②成功，失败.分别计算出两种情况下的概率，相加即可得解；
（2）当时，恰有次失败，假设失败发生在第次，其余成功，求出失败发生在第次的概率为，即可得出，即可证得结论成立；
（3）判断出，求出的表达式，然后证明这个不等式成立，即证，结合不等式的基本性质证明即可.
【小问1详解】
当时，恰有次成功即恰有次失败，
由于必成功，因此失收只能发生在或上，
当失败，成功时，概率为，
当成功，失败时，概率为，
所以恰有次成功的概率．
【小问2详解】
当时，恰有次失败，假设失败发生在第次，其余成功．
则前次均成功的概率为．
第次失败的概为，
后续次成功的概率为，
所以失败发生在第次的概率为，
则.
【小问3详解】
，理由如下：
所有试验均成功的概率为，
即证，即．①
因为当时，即，
所以．
即，
所以①式成立，即．
19. 双曲线的左、右顶点分别为、，点到的渐近线的距离为．
（1）求的方程；
（2）按照如下方式依次构造点（且）：过点作斜率为的直线交于另一点，设是点关于实轴的对称点，记点的坐标为．
（i）证明：数列、是等比数列，并求数列和的通项公式；
（ii）记的面积为，的面积为，求的最大值．
【答案】（1）
（2）（i）证明见解析，，（ii）．
【解析】
【分析】（1）求出双曲线的渐近线方程，结合点到直线的距离公式可求出的值，即可得出双曲线的方程；
（2）（i）写出直线方程，将该直线方程与双曲线方程联立，列出韦达定理可得出，，再利用等比数列的定义可证得结论成立；
（ii）求出、的表达式，可得出的表达式，结合数列的单调性可求得的最大值.
【小问1详解】
双曲线的渐近线方程为，，
则点到渐近线的距离为，所以，所以的方程为．
【小问2详解】
（i）因为，所以、，
直线的方程为，即，
代入，得，
根据韦达定理得．
所以，，
由题设有，
因为，
所以是公比为的等比数列．
因为，
所以是公比为的等比数列，
所以，所以，.
（ii）先证明结论：若，为两个不共线的非零向量，
则
.
本题中，因为．，
所以．
因为，，
，
又因为，
，
所以，，
所以，
设，则，
所以，所以，所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为．