山东省潍坊市2025届高三下学期4月高考模拟考试（二模）数学试题（含答案解析）

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一、单选题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1. 已知集合，则的子集的个数是（ ）
2. 某校高二年级组织了一次数学素养测试，随机抽取位学生的成绩，制成如图所示的茎叶图，该组数据的第百分位数是，则的值为（ ）
3. 已知是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）
4. 已知向量在向量上的投影向量为，若，则（ ）
5. 已知数列满足，若，则（ ）
6. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴非负半轴重合，其终边与圆交于点．若角终边沿逆时针方向旋转角，交圆于点，则角可能为（ ）
7. 现安排甲、乙、丙、丁、戊位志愿者到三个社区做志愿服务工作，每个社区至少安排人，每位志愿者只到一个社区，其中甲、乙安排在同一个社区的概率为（ ）
8. 在中，，为边上一点，满足，以为焦点作一个椭圆，若经过两点，则的离心率为（ ）
二、多选题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分)
9. 在正方体中，、分别为线段、的中点，则（ ）
10. 已知函数，函数的图象由的图象向左平移个单位得到，则（ ）
11. 曲线的曲率定义如下：若是的导数，是的导数，则曲线在点处的曲率，则（ ）
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分)
12. 若抛物线的准线与直线之间的距离是2，写出一个满足条件的抛物线的标准方程：____________．
13. ，，则实数的取值范围是____________．
14. 已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，其下底面与半球的底面重合，上底面圆周在半球的球面上，则圆台的侧面积为____________；半球被该圆台的上底面所在的平面截得两部分，其体积分别为，则____________．
四、解答题(本大题共 5 小题，每小题 10 分，共 50 分)
15. 在中，角的对边分别为，已知．
(1)求角的大小；
(2)若外接圆的半径为，且，求的面积．
16. 已知函数．
(1)若在处取得极值0，求的值；
(2)若有两个零点．
（i）当时，曲线在点处的切线斜率为1，求的值；
（ii）证明：．
17. 如图，四棱锥的底面为矩形，．
(1)设平面与平面的交线为，证明：平面；
(2)若点满足，求与平面所成角的正弦值．
18. 有个依次进行的试验、、、，每个试验的结果为成功或失败．试验：成功的概率为，其中为前次试验中的成功次数，特别地，当时，，的成功概率为（即必定成功），记前次试验中恰有次失败的概率为．
(1)当时，求恰好有次成功的概率；
(2)令，若，证明：；
(3)当时，请判断与的大小关系，并说明理由．
19. 双曲线的左、右顶点分别为、，点到的渐近线的距离为．
(1)求的方程；
(2)按照如下方式依次构造点（且）：过点作斜率为的直线交于另一点，设是点关于实轴的对称点，记点的坐标为．
（i）证明：数列、是等比数列，并求数列和的通项公式；
（ii）记的面积为，的面积为，求的最大值．
山东省潍坊市2025届高三下学期4月高考模拟考试（二模）数学试题
整体难度：适中
考试范围：集合与常用逻辑用语、等式与不等式、计数原理与概率统计、复数、平面向量、数列、三角函数与解三角形、平面解析几何、空间向量与立体几何、函数与导数、不等式选讲
试卷题型
试卷难度
细目表分析
知识点分析
试题答案解析
第1题：
第2题：
第3题：
第4题：
第5题：
第6题：
第7题：
第8题：
第9题：
第10题：
第11题：
第12题：
第13题：
第14题：
第15题：
第16题：
第17题：
第18题：
第19题：
A．4
B．8
C．16
D．32
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．1
D．5
A．
B．
C．3
D．9
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．
B．
C．
D．
A．与异面
B．平面
C．
D．平面
A．与在上有相同的单调性
B．的图象关于直线对称
C．设，则的一个对称中心为
D．当时，与的图象有6个交点
A．曲线上不存在曲率大于的点
B．曲线在点处的曲率最大
C．曲线在点处的曲率为
D．曲线在点与处曲率相等，则
题型
数量
单选题
8
多选题
3
填空题
3
解答题
5
难度
题数
较易
8
适中
6
较难
4
困难
1
题号
难度系数
详细知识点
一、单选题
1
0.85
判断集合的子集（真子集）的个数；高次不等式
2
0.85
总体百分位数的估计
3
0.85
复数代数形式的乘法运算；复数范围内方程的根；共轭复数的概念及计算
4
0.85
数量积的运算律；求投影向量
5
0.85
根据数列递推公式写出数列的项
6
0.65
由终边或终边上的点求三角函数值；已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦
7
0.65
分组分配问题；计算古典概型问题的概率
8
0.65
椭圆定义及辨析；求椭圆的离心率或离心率的取值范围；余弦定理解三角形
二、多选题
9
0.65
空间向量垂直的坐标表示；空间位置关系的向量证明；异面直线的判定
10
0.65
余弦函数图象的应用；求正弦（型）函数的对称轴及对称中心；求图象变化前（后）的解析式；求sinx型三角函数的单调性
11
0.4
导数新定义
三、填空题
12
0.85
根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
13
0.85
绝对值三角不等式；几何意义解绝对值不等式
14
0.15
圆台表面积的有关计算；球的体积的有关计算；求旋转体的体积
四、解答题
15
0.85
正弦定理边角互化的应用；余弦定理解三角形；用和、差角的正弦公式化简、求值；三角形面积公式及其应用
16
0.65
已知切线（斜率）求参数；根据极值求参数；利用导数证明不等式；利用导数研究函数的零点
17
0.4
证明线面平行；线面角的向量求法；证明线面垂直；线面平行的性质
18
0.4
利用互斥事件的概率公式求概率；独立事件的乘法公式
19
0.4
由递推关系证明等比数列；求双曲线中三角形（四边形）的面积问题；根据双曲线的渐近线求标准方程；求双曲线中的最值问题
序号
知识点
对应题号
1
集合与常用逻辑用语
1
2
等式与不等式
1
3
计数原理与概率统计
2,7,18
4
复数
3
5
平面向量
4
6
数列
5,19
7
三角函数与解三角形
6,8,10,15
8
平面解析几何
8,12,19
9
空间向量与立体几何
9,14,17
10
函数与导数
11,16
11
不等式选讲
13