2025年河南省平顶山市卫东区高三一诊考试数学试卷含解析

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1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．关于函数，有下述三个结论：
①函数的一个周期为；
②函数在上单调递增；
③函数的值域为.
其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②B．②C．②③D．③
2．已知集合，，且、都是全集（为实数集）的子集，则如图所示韦恩图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A．B．或
C．D．
3．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点的（ ）
A．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
B．横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
4．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
5．函数的图象可能是下列哪一个？（ ）
A．B．
C．D．
6．函数在内有且只有一个零点，则a的值为（ ）
A．3B．－3C．2D．－2
7．已知分别为圆与的直径，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
8．复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
9．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为，直线与其相交于，两点，若中点的横坐标为，则此双曲线的方程是
A．B．
C．D．
10．若直线与曲线相切，则（ ）
A．3B．C．2D．
11．复数满足 (为虚数单位),则的值是( )
A．B．C．D．
12．已知定义在上的函数满足，且在上是增函数，不等式对于恒成立，则的取值范围是
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知是抛物线的焦点，过作直线与相交于两点，且在第一象限，若，则直线的斜率是_________．
14．设、满足约束条件，若的最小值是，则的值为__________.
15．若函数在和上均单调递增，则实数的取值范围为________．
16．正项等比数列|满足，且成等差数列，则取得最小值时的值为_____
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数有两个极值点，.
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：.
18．（12分）以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位，建立极坐标系，已知曲线，曲线（为参数），求曲线交点的直角坐标.
19．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若点在曲线上，点在曲线上，求的最小值及此时点的坐标.
20．（12分）如图,四棱锥,侧面是边长为2的正三角形,且与底面垂直,底面是的菱形, 为棱上的动点,且.
(I)求证：为直角三角形；
(II)试确定的值，使得二面角的平面角余弦值为.
21．（12分）已知函数，函数.
（Ⅰ）判断函数的单调性；
（Ⅱ）若时，对任意，不等式恒成立，求实数的最小值.
22．（10分）以直角坐标系的原点为极坐标系的极点，轴的正半轴为极轴．已知曲线的极坐标方程为，是上一动点，，点的轨迹为．
（1）求曲线的极坐标方程，并化为直角坐标方程；
（2）若点，直线的参数方程（为参数），直线与曲线的交点为，当取最小值时，求直线的普通方程．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
①用周期函数的定义验证.②当时，，，再利用单调性判断.③根据平移变换，函数的值域等价于函数的值域，而，当时，再求值域.
【详解】
因为，故①错误；
当时，，所以，所以在上单调递增，故②正确；
函数的值域等价于函数的值域，易知，故当时，，故③正确.
故选：C.
本题考查三角函数的性质，还考查推理论证能力以及分类讨论思想，属于中档题.
2．C
【解析】
根据韦恩图可确定所表示集合为，根据一元二次不等式解法和定义域的求法可求得集合，根据补集和交集定义可求得结果.
【详解】
由韦恩图可知：阴影部分表示，
，，
.
故选：.
本题考查集合运算中的补集和交集运算，涉及到一元二次不等式和函数定义域的求解；关键是能够根据韦恩图确定所求集合.
3．C
【解析】
根据三角函数图像的变换与参数之间的关系，即可容易求得.
【详解】
为得到，
将横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
故可得；
再将 向左平移个单位长度，
故可得.
故选：C.
本题考查三角函数图像的平移，涉及诱导公式的使用，属基础题.
4．B
【解析】
由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可.
【详解】
函数，可得，
时，，单调递增，
∵，
故不等式的解集等价于不等式的解集．
．
∴．
故选：B．
本题主要考查了利用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.
5．A
【解析】
由排除选项;排除选项；由函数有无数个零点，排除选项,从而可得结果.
【详解】
由，可排除选项，可排除选项；由可得，即函数有无数个零点，可排除选项,故选A.
本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.
6．A
【解析】
求出，对分类讨论，求出单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.
【详解】
，
若，，
在单调递增，且，
在不存在零点；
若，，
在内有且只有一个零点，
.
故选:A.
本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.
7．A
【解析】
由题先画出基本图形，结合向量加法和点乘运算化简可得，结合的范围即可求解
【详解】
如图，其中，所以
.
故选：A
本题考查向量的线性运算在几何中的应用，数形结合思想，属于中档题
8．B
【解析】
利用复数的四则运算以及几何意义即可求解.
【详解】
解：，
则复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：，
位于第二象限.
故选：B.
本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题.
9．D
【解析】
根据点差法得，再根据焦点坐标得，解方程组得，，即得结果.
【详解】
设双曲线的方程为，由题意可得，设，，则的中点为，由且，得 ， ，即，联立，解得，，故所求双曲线的方程为．故选D．
本题主要考查利用点差法求双曲线标准方程，考查基本求解能力，属于中档题.
10．A
【解析】
设切点为，对求导，得到，从而得到切线的斜率，结合直线方程的点斜式化简得切线方程，联立方程组，求得结果.
【详解】
设切点为，
∵，∴
由①得，
代入②得，
则，，
故选A.
该题考查的是有关直线与曲线相切求参数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，直线方程的点斜式，属于简单题目.
11．C
【解析】
直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可．
【详解】
由得：
本题正确选项：
本题考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力．
12．A
【解析】
根据奇偶性定义和性质可判断出函数为偶函数且在上是减函数，由此可将不等式化为；利用分离变量法可得，求得的最大值和的最小值即可得到结果.
【详解】
为定义在上的偶函数，图象关于轴对称
又在上是增函数 在上是减函数
，即
对于恒成立 在上恒成立
，即的取值范围为：
本题正确选项：
本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到恒成立问题的求解；解题关键是能够利用函数单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，从而利用分离变量法来处理恒成立问题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
作出准线，过作准线的垂线，利用抛物线的定义把抛物线点到焦点的距离转化为点到准线的距离，利用平面几何知识计算出直线的斜率．
【详解】
设是准线，过作于，过作于，过作于，如图，
则，，∵，∴，∴，
∴，，
∴，∴直线斜率为．
故答案为：．
本题考查抛物线的焦点弦问题，解题关键是利用抛物线的定义，把抛物线上点到焦点距离转化为该点到准线的距离，用平面几何方法求解．
14．
【解析】
画出满足条件的平面区域，求出交点的坐标，由得，显然直线过时，最小，代入求出的值即可．
【详解】
作出不等式组所表示的可行域如下图所示：
联立，解得，则点.
由得，显然当直线过时，该直线轴上的截距最小，此时最小，
，解得.
故答案为：．
本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题．
15．
【解析】
化简函数，求出在上的单调递增区间，然后根据在和上均单调递增，列出不等式求解即可．
【详解】
由知，
当时，在和上单调递增，
在和上均单调递增，
，
，
的取值范围为：．
故答案为：．
本题主要考查了三角函数的图象与性质，关键是根据函数的单调性列出关于m的方程组，属中档题．
16．2
【解析】
先由题意列出关于的方程，求得的通项公式，再表示出即可求解.
【详解】
解：设公比为，且，
时，上式有最小值，
故答案为：2.
本题考查等比数列、等差数列的有关性质以及等比数列求积、求最值的有关运算，中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1） （2）证明见解析
【解析】
（1）先求得导函数，根据两个极值点可知有两个不等实根，构造函数，求得；讨论和两种情况，即可确定零点的情况，即可由零点的情况确定的取值范围；
（2）根据极值点定义可知，，代入不等式化简变形后可知只需证明；构造函数，并求得，进而判断的单调区间，由题意可知，并设，构造函数，并求得，即可判断在内的单调性和最值，进而可得，即可由函数性质得，进而由单调性证明
，即证明，从而证明原不等式成立.
【详解】
（1）函数
则，
因为存在两个极值点，，
所以有两个不等实根.
设，所以.
①当时，，
所以在上单调递增，至多有一个零点，不符合题意.
②当时，令得，
所以，即.
又因为，，
所以在区间和上各有一个零点，符合题意，
综上，实数的取值范围为.
（2）证明：由题意知，，
所以，.
要证明，
只需证明，
只需证明.
因为，，所以.
设，则，
所以在上是增函数，在上是减函数.
因为，
不妨设，
设，，
则，
当时，，，
所以，所以在上是增函数，
所以，
所以，即.
因为，所以，
所以.
因为，，且在上是减函数，
所以，
即，
所以原命题成立，得证.
本题考查了利用导数研究函数的极值点，由导数证明不等式，构造函数法的综合应用，极值点偏移证明不等式成立的应用，是高考的常考点和热点，属于难题.
18．
【解析】
利用极坐标方程与普通方程、参数方程间的互化公式化简即可.
【详解】
因为，所以，
所以曲线的直角坐标方程为.
由，得，
所以曲线的普通方程为.
由，得，
所以（舍），
所以，
所以曲线的交点坐标为.
本题考查极坐标方程与普通方程，参数方程与普通方程间的互化，考查学生的计算能力，是一道容易题.
19．（1）；（2）最小值为，此时
【解析】
（1）消去曲线参数方程的参数，求得曲线的普通方程.利用极坐标和直角坐标相互转化公式，求得曲线的直角坐标方程.
（2）设出的坐标，结合点到直线的距离公式以及三角函数最值的求法，求得的最小值及此时点的坐标.
【详解】
（1）消去得，曲线的普通方程是：；
把，代入得，曲线的直角坐标方程是
（2）设，的最小值就是点到直线的最小距离.
设
在时，，是最小值，
此时，
所以，所求最小值为，此时
本小题主要考查参数方程化为普通方程，考查极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用圆锥曲线的参数求最值，属于中档题.
20．（1）见解析；(II) .
【解析】
试题分析：（1）取中点,连结,以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明为直角三角形；（2）设，由，得，求出平面的法向量和平面的法向量，，根据空间向量夹角余弦公式能求出结果.
试题解析：(I)取中点,连结，依题意可知均为正三角形，所以,
又平面平面，
所以平面，
又平面，所以,
因为,所以，即,
从而为直角三角形.
(II)法一：由(I)可知,又平面平面,平面平面,
平面，所以平面.
以为原点，建立空间直角坐标系如图所示,则
,
由可得点的坐标
所以,
设平面的法向量为，则,
即解得，
令，得，
显然平面的一个法向量为,
依题意，
解得或（舍去），
所以，当时，二面角的余弦值为.
法二：由(I)可知平面,所以,
所以为二面角的平面角，
即,
在中，,
所以
，
由正弦定理可得，即
解得，
又,所以,
所以，当时，二面角的余弦值为.
21． (1) 故函数在上单调递增，在上单调递减;(2).
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）根据题意得到的解析式和定义域，求导后根据导函数的符号判断单调性．（Ⅱ）分析题意可得对任意，恒成立，构造函数，则有对任意，恒成立，然后通过求函数的最值可得所求．
试题解析：
（I）由题意得，， ∴ .
当时，，函数在上单调递增；
当时，令，解得；令，解得.
故函数在上单调递增，在上单调递减.
综上，当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（II）由题意知.
，
当时，函数单调递增．
不妨设 ，又函数单调递减，
所以原问题等价于：当时，对任意，不等式 恒成立，
即对任意，恒成立.
记，
由题意得在上单调递减.
所以对任意，恒成立.
令，，
则在上恒成立.
故，
而在上单调递增，
所以函数在上的最大值为.
由，解得.
故实数的最小值为．
22．（1），；（2）.
【解析】
（1）设点极坐标分别为,，由可得,整理即可得到极坐标方程,进而求得直角坐标方程；
（2）设点对应的参数分别为，则，，将直线的参数方程代入的直角坐标方程中,再利用韦达定理可得，，则，求得取最小值时符合的条件,进而求得直线的普通方程.
【详解】
（1）设点极坐标分别为，，
因为,则，
所以曲线的极坐标方程为，
两边同乘,得，
所以的直角坐标方程为,即.
（2）设点对应的参数分别为，则,，将直线的参数方程（参数），代入的直角坐标方程中，整理得.
由韦达定理得，，
所以，当且仅当时，等号成立，则，
所以当取得最小值时，直线的普通方程为.
本题考查极坐标与直角坐标方程的转化,考查利用直线的参数方程研究直线与圆的位置关系．
0
减
极小值
增