2025届久治县高三一诊考试数学试卷含解析

这是一份2025届久治县高三一诊考试数学试卷含解析，共16页。试卷主要包含了考生必须保证答题卡的整洁，设复数满足，则，设复数满足为虚数单位)，则，已知平面向量，，满足等内容，欢迎下载使用。
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在中，角、、所对的边分别为、、，若，则（ ）
A．B．C．D．
2．两圆和相外切，且，则的最大值为（ ）
A．B．9C．D．1
3．已知集合A＝{0，1}，B＝{0，1，2}，则满足A∪C＝B的集合C的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
4．设复数满足，则（ ）
A．B．C．D．
5．设复数满足为虚数单位)，则（ ）
A．B．C．D．
6．已知平面向量，，满足：，，则的最小值为( )
A．5B．6C．7D．8
7．在直三棱柱中，己知，，，则异面直线与所成的角为（ ）
A．B．C．D．
8．泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：
甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；
乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；
丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；
事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（ ）
A．甲走桃花峪登山线路B．乙走红门盘道徒步线路
C．丙走桃花峪登山线路D．甲走天烛峰登山线路
9．某校为提高新入聘教师的教学水平，实行“老带新”的师徒结对指导形式，要求每位老教师都有徒弟，每位新教师都有一位老教师指导，现选出3位老教师负责指导5位新入聘教师，则不同的师徒结对方式共有（ ）种.
A．360B．240C．150D．120
10．函数f(x)＝sin(wx＋)(w＞0，＜)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于直线x＝对称，则函数f(x)的解析式为（ ）
A．f(x)＝sin(2x＋)B．f(x)＝sin(2x－)
C．f(x)＝sin(2x＋)D．f(x)＝sin(2x－)
11．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，三角形AOB的面积为，则p=（ ）．
A．1B．C．2D．3
12．已知，则（ ）
A．2B．C．D．3
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，，是平面向量，是单位向量.若，，且，则的取值范围是________.
14．在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则_______，项的系数等于________.
15．己知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则__________.
16．的展开式中，的系数是__________. (用数字填写答案)
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，且，求的值.
18．（12分）曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）过原点且倾斜角为的射线与曲线分别交于两点（异于原点），求的取值范围.
19．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程是（是参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）在曲线上取一点，直线绕原点逆时针旋转，交曲线于点，求的最大值.
20．（12分）已知矩阵,二阶矩阵满足.
（1）求矩阵;
（2）求矩阵的特征值．
21．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程是为参数），曲线的参数方程是为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求直线和曲线的极坐标方程；
（2）已知射线与曲线交于两点，射线与直线交于点，若的面积为1，求的值和弦长．
22．（10分）某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依次类推）.抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元.
（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望;
（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
利用余弦定理角化边整理可得结果.
【详解】
由余弦定理得：，
整理可得：，.
故选：.
本题考查余弦定理边角互化的应用，属于基础题.
2．A
【解析】
由两圆相外切，得出，结合二次函数的性质，即可得出答案.
【详解】
因为两圆和相外切
所以，即
当时，取最大值
故选：A
本题主要考查了由圆与圆的位置关系求参数，属于中档题.
3．A
【解析】
由可确定集合中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.
【详解】
由可知集合中一定有元素2，所以符合要求的集合有，共4种情况，所以选A项.
考查集合并集运算，属于简单题.
4．D
【解析】
根据复数运算，即可容易求得结果.
【详解】
.
故选：D.
本题考查复数的四则运算，属基础题.
5．B
【解析】
易得，分子分母同乘以分母的共轭复数即可.
【详解】
由已知，，所以.
故选：B.
本题考查复数的乘法、除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.
6．B
【解析】
建立平面直角坐标系，将已知条件转化为所设未知量的关系式，再将的最小值转化为用该关系式表达的算式，利用基本不等式求得最小值.
【详解】
建立平面直角坐标系如下图所示，设，，且，由于，所以.
.所以
，即.
.当且仅当时取得最小值，此时由得，当时，有最小值为，即，，解得.所以当且仅当时有最小值为.
故选：B
本小题主要考查向量的位置关系、向量的模，考查基本不等式的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.
7．C
【解析】
由条件可看出，则为异面直线与所成的角，可证得三角形中，，解得从而得出异面直线与所成的角．
【详解】
连接，，如图：
又，则为异面直线与所成的角.
因为且三棱柱为直三棱柱，∴∴面，
∴，
又，，∴，
∴，解得.
故选C
考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
8．D
【解析】
甲乙丙三人陈述中都提到了甲的路线,由题意知这三句中一定有一个是正确另外两个错误的,再分情况讨论即可.
【详解】
若甲走的红门盘道徒步线路,则乙,丙描述中的甲的去向均错误,又三人的陈述都只对一半,则乙丙的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”,“乙走红门盘道徒步线路”正确,与“三人走的线路均不同”矛盾.
故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误,“甲走天烛峰登山线路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误,“丙走红门盘道徒步线路”正确.
综上所述,甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路, 丙走红门盘道徒步线路
故选：D
本题主要考查了判断与推理的问题,重点是找到三人中都提到的内容进行分类讨论,属于基础题型.
9．C
【解析】
可分成两类，一类是3个新教师与一个老教师结对，其他一新一老结对，第二类两个老教师各带两个新教师，一个老教师带一个新教师，分别计算后相加即可．
【详解】
分成两类，一类是3个新教师与同一个老教师结对，有种结对结对方式，第二类两个老教师各带两个新教师，有．
∴共有结对方式60＋90＝150种．
故选：C．
本题考查排列组合的综合应用．解题关键确定怎样完成新老教师结对这个事情，是先分类还是先分步，确定方法后再计数．本题中有一个平均分组问题．计数时容易出错．两组中每组中人数都是2，因此方法数为．
10．D
【解析】
由函数的周期求得，再由平移后的函数图像关于直线对称，得到 ，由此求得满足条件的的值，即可求得答案.
【详解】
分析：由函数的周期求得，再由平移后的函数图像关于直线对称，得到，由此求得满足条件的的值，即可求得答案.
详解：因为函数的最小正周期是，
所以，解得，所以，
将该函数的图像向右平移个单位后，
得到图像所对应的函数解析式为，
由此函数图像关于直线对称，得：
，即，
取，得，满足，
所以函数的解析式为，故选D.
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及函数的解析式的求解，其中解答中根据三角函数的图象变换得到，再根据三角函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
11．C
【解析】
试题分析：抛物线的准线为，双曲线的离心率为2，则，
，渐近线方程为，求出交点，，
，则；选C
考点：1.双曲线的渐近线和离心率；2.抛物线的准线方程；
12．A
【解析】
利用分段函数的性质逐步求解即可得答案．
【详解】
，；
；
故选：．
本题考查了函数值的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，是基础题，解题时注意函数性质的合理应用．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
先由题意设向量的坐标，再结合平面向量数量积的运算及不等式可得解．
【详解】
由是单位向量．若，，
设，
则，，
又，
则，
则，
则，
又，
所以，（当或时取等）
即的取值范围是，，
故答案为：，．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
14．8 1
【解析】
根据二项式系数和的性质可得n,再利用展开式的通项公式求含项的系数即可.
【详解】
由于所有项的二项式系数之和为，，
故的二项展开式的通项公式为，
令，求得，可得含x项的系数等于，
故答案为：8；1．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于中档题．
15．
【解析】
先求导，再根据导数的几何意义，有求解.
【详解】
因为函数，
所以，
所以，
解得.
故答案为：
本题考查导数的几何意义，还考查运算求解能力以及数形结合思想，属于基础题.
16．
【解析】
根据组合的知识，结合组合数的公式，可得结果.
【详解】
由题可知：项来源可以是：（1）取1个，4个
（2）取2个，3个
的系数为：
故答案为：
本题主要考查组合的知识，熟悉二项式定理展开式中每一项的来源，实质上每个因式中各取一项的乘积，转化为组合的知识，属中档题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）直接代入再由诱导公式计算可得；
（Ⅱ）先得到，再根据利用两角差的余弦公式计算可得．
【详解】
解：（Ⅰ）
；
（Ⅱ）因为
所以，
由得，
又因为，故，所以，
所以.
本题考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题．
18．（1），；（2）.
【解析】
（1）先将曲线化为普通方程，再由直角坐标系与极坐标系之间的转化关系：，可得极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）由已知可得出射线的极坐标方程为，联立和的极坐标方程可得点A和点B的极坐标，从而得出，由的范围可求得的取值范围.
【详解】
（1）曲线的普通方程为，即，
其极坐标方程为；
曲线的极坐标方程为，即，
其直角坐标方程为；
（2）射线的极坐标方程为，
联立，联立
，
的取值范围是
本题考查圆的参数方程与普通方程互化，圆，抛物线的极坐标方程与普通方程的互化，以及在极坐标下的直线与圆和抛物线的位置关系，属于中档题.
19．（1）（2）最大值为
【解析】
（1）利用消去参数，求得曲线的普通方程，再转化为极坐标方程.
（2）设出两点的坐标，求得的表达式，并利用三角恒等变换进行化简，再结合三角函数最值的求法，求得的最大值.
【详解】
（1）由消去得曲线的普通方程为.
所以的极坐标方程为，
即.
（2）不妨设，，，，，
则
当时，取得最大值，最大值为.
本小题主要考查参数方程化为普通方程，普通方程化为极坐标方程，考查极坐标系下线段长度的乘积的最值的求法，考查三角恒等变换，考查三角函数最值的求法，属于中档题.
20．（1）（2）特征值为或．
【解析】
（1）先设矩阵,根据,按照运算规律,即可求出矩阵.
（2）令矩阵的特征多项式等于,即可求出矩阵的特征值．
【详解】
解：（1）设矩阵由题意,
因为,
所以
,即
所以,
（2）矩阵的特征多项式,
令,解得或,
所以矩阵的特征值为1或．
本题主要考查矩阵的乘法和矩阵的特征值,考查学生的划归与转化能力和运算求解能力.
21．（1）,；（2） .
【解析】
（1）先把直线和曲线的参数方程化成普通方程，再化成极坐标方程；
（2）联立极坐标方程，根据极径的几何意义可得，再由面积可解得极角，从而可得．
【详解】
（1）直线的参数方程是为参数），
消去参数得直角坐标方程为：．
转换为极坐标方程为：，即．
曲线的参数方程是（为参数），
转换为直角坐标方程为：，
化为一般式得
化为极坐标方程为：．
（2）由于，得，．
所以，
所以，
由于，所以，
所以．
本题主要考查参数方程与普通方程的互化、直角坐标方程与极坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.
22．（1）分布见解析，期望为；（2）.
【解析】
（1）先明确X的可能取值，分别求解其概率，然后写出分布列，利用期望公式可求期望；
（2）获得的奖金恰好为60元，可能是三次二等奖，也可能是一次一等奖，两次三等奖，然后分别求解概率即可.
【详解】
（1）由题意知，随机变量X的可能取值为10，20，40
且，，
所以，
即随机变量X的概率分布为
所以随机变量X的数学期望.
（2）由题意知，赵四有三次抽奖机会，设恰好获得60元为事件A，
因为60＝20×3＝40＋10＋10，
所以．
本题主要考查随机变量的分布列及数学期望，明确随机变量的所有取值是求解的第一步，再求解对应的概率，侧重考查数学建模的核心素养.
X
10
20
40
P