哈尔滨市尚志市2024-2025学年高考仿真模拟数学试卷含解析

这是一份哈尔滨市尚志市2024-2025学年高考仿真模拟数学试卷含解析，共22页。试卷主要包含了若时，，则的取值范围为，曲线在点处的切线方程为，则，设，满足约束条件，则的最大值是等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在中，，分别为，的中点，为上的任一点，实数，满足，设、、、的面积分别为、、、，记（），则取到最大值时，的值为（ ）
A．－1B．1C．D．
2．已知函数的图像上有且仅有四个不同的关于直线对称的点在的图像上，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
3．3本不同的语文书，2本不同的数学书，从中任意取出2本，取出的书恰好都是数学书的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．若时，，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
5．已知方程表示的曲线为的图象，对于函数有如下结论：①在上单调递减；②函数至少存在一个零点；③的最大值为；④若函数和图象关于原点对称，则由方程所确定；则正确命题序号为( )
A．①③B．②③C．①④D．②④
6．若将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递增B．函数的周期是
C．函数的图象关于点对称D．函数在上最大值是1
7．如图，在矩形中的曲线分别是，的一部分，，，在矩形内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为，取自非阴影部分的概率为，则（ ）
A．B．C．D．大小关系不能确定
8．曲线在点处的切线方程为，则（ ）
A．B．C．4D．8
9．若非零实数、满足，则下列式子一定正确的是（ ）
A．B．
C．D．
10．设，满足约束条件，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
11．计算等于( )
A．B．C．D．
12．已知向量，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．若函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围有___________.
14．的三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知，则________.
15．已知全集，集合则_____．
16．若变量，满足约束条件则的最大值为________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）设函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若对恒成立，求的取值范围.
18．（12分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线：.过点的直线：（为参数）与曲线相交于，两点.
（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）若，求实数的值.
19．（12分）已知函数，其中为自然对数的底数.
（1）若函数在区间上是单调函数，试求的取值范围；
（2）若函数在区间上恰有3个零点，且，求的取值范围.
20．（12分）正项数列的前n项和Sn满足：
(1)求数列的通项公式；
(2)令，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn＜ .
21．（12分）已知矩阵,二阶矩阵满足.
（1）求矩阵;
（2）求矩阵的特征值．
22．（10分）如图，椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，且，为等边三角形，过点的直线与椭圆在轴右侧的部分交于、两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求四边形面积的取值范围．
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．D
【解析】
根据三角形中位线的性质，可得到的距离等于△的边上高的一半，从而得到，由此结合基本不等式求最值，得到当取到最大值时，为的中点，再由平行四边形法则得出，根据平面向量基本定理可求得，从而可求得结果.
【详解】
如图所示：
因为是△的中位线，
所以到的距离等于△的边上高的一半，
所以，
由此可得，
当且仅当时，即为的中点时，等号成立，
所以，
由平行四边形法则可得，，
将以上两式相加可得，
所以，
又已知，
根据平面向量基本定理可得，
从而.
故选：D
本题考查了向量加法的平行四边形法则，考查了平面向量基本定理的应用，考查了基本不等式求最值，属于中档题.
2．D
【解析】
根据对称关系可将问题转化为与有且仅有四个不同的交点；利用导数研究的单调性从而得到的图象；由直线恒过定点，通过数形结合的方式可确定；利用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得和，进而得到结果.
【详解】
关于直线对称的直线方程为：
原题等价于与有且仅有四个不同的交点
由可知，直线恒过点
当时，
在上单调递减；在上单调递增
由此可得图象如下图所示：
其中、为过点的曲线的两条切线，切点分别为
由图象可知，当时，与有且仅有四个不同的交点
设，，则，解得：
设，，则，解得：
，则
本题正确选项：
本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题；涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题，通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解.
3．D
【解析】
把5本书编号，然后用列举法列出所有基本事件．计数后可求得概率．
【详解】
3本不同的语文书编号为，2本不同的数学书编号为，从中任意取出2本，所有的可能为：共10个，恰好都是数学书的只有一种，∴所求概率为．
故选：D.
本题考查古典概型，解题方法是列举法，用列举法写出所有的基本事件，然后计数计算概率．
4．D
【解析】
由题得对恒成立，令，然后分别求出即可得的取值范围.
【详解】
由题得对恒成立，
令，
在单调递减，且，
在上单调递增，在上单调递减，
，
又在单调递增，，
的取值范围为.
故选：D
本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变量分离法去求解.
5．C
【解析】
分四类情况进行讨论，然后画出相对应的图象，由图象可以判断所给命题的真假性.
【详解】
（1）当时，，此时不存在图象；
（2）当时，，此时为实轴为轴的双曲线一部分；
（3）当时，，此时为实轴为轴的双曲线一部分；
（4）当时，，此时为圆心在原点，半径为1的圆的一部分；
画出的图象，
由图象可得：
对于①，在上单调递减，所以①正确；
对于②，函数与的图象没有交点，即没有零点，所以②错误；
对于③，由函数图象的对称性可知③错误；
对于④，函数和图象关于原点对称，则中用代替，用代替，可得，所以④正确.
故选：C
本题主要考查了双曲线的简单几何性质，函数的图象与性质，函数的零点概念，考查了数形结合的数学思想.
6．A
【解析】
根据三角函数伸缩变换特点可得到解析式；利用整体对应的方式可判断出在上单调递增，正确；关于点对称，错误；根据正弦型函数最小正周期的求解可知错误；根据正弦型函数在区间内值域的求解可判断出最大值无法取得，错误.
【详解】
将横坐标缩短到原来的得：
当时，
在上单调递增 在上单调递增，正确；
的最小正周期为： 不是的周期，错误；
当时，，
关于点对称，错误；
当时，
此时没有最大值，错误.
本题正确选项：
本题考查正弦型函数的性质，涉及到三角函数的伸缩变换、正弦型函数周期性、单调性和对称性、正弦型函数在一段区间内的值域的求解；关键是能够灵活应用整体对应的方式，通过正弦函数的图象来判断出所求函数的性质.
7．B
【解析】
先用定积分求得阴影部分一半的面积，再根据几何概型概率公式可求得．
【详解】
根据题意，阴影部分的面积的一半为：，
于是此点取自阴影部分的概率为．
又，故．
故选B．
本题考查了几何概型，定积分的计算以及几何意义，属于中档题．
8．B
【解析】
求函数导数，利用切线斜率求出，根据切线过点求出即可.
【详解】
因为，
所以，
故，
解得，
又切线过点，
所以，解得，
所以，
故选：B
本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.
9．C
【解析】
令，则，，将指数式化成对数式得、后，然后取绝对值作差比较可得．
【详解】
令，则，，，，
，因此，.
故选：C.
本题考查了利用作差法比较大小，同时也考查了指数式与对数式的转化，考查推理能力，属于中等题．
10．D
【解析】
作出不等式对应的平面区域，由目标函数的几何意义，通过平移即可求z的最大值．
【详解】
作出不等式组的可行域，如图阴影部分，作直线：在可行域内平移当过点时，取得最大值.
由得：，
故选：D
本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法，属于基础题.
11．A
【解析】
利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值.
【详解】
原式.
故选：A
本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题.
12．A
【解析】
投影即为，利用数量积运算即可得到结论.
【详解】
设向量与向量的夹角为，
由题意，得，，
所以，向量在向量方向上的投影为.
故选：A.
本题主要考察了向量的数量积运算，难度不大，属于基础题.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．或
【解析】
函数的零点方程的根，求出方程的两根为，，从而可得或，即或.
【详解】
函数在区间的零点方程在区间的根，所以，解得：，，
因为函数在区间上有且仅有一个零点，
所以或，即或.
本题考查函数的零点与方程根的关系，在求含绝对值方程时，要注意对绝对值内数的正负进行讨论.
14．
【解析】
利用正弦定理边化角可得，从而可得，进而求解.
【详解】
由，
由正弦定理可得，
即，
整理可得，
又因为，所以，
因为，
所以，
故答案为：
本题主要考查了正弦定理解三角形、两角和的正弦公式，属于基础题.
15．
【解析】
根据补集的定义求解即可.
【详解】
解：
．
故答案为．
本题主要考查了补集的运算,属于基础题.
16．7
【解析】
画出不等式组表示的平面区域，数形结合，即可容易求得目标函数的最大值.
【详解】
作出不等式组所表示的平面区域，如下图阴影部分所示.
观察可知，当直线过点时，有最大值，.
故答案为：.
本题考查二次不等式组与平面区域、线性规划，主要考查推理论证能力以及数形结合思想，属基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）或；（2）或.
【解析】
试题分析：（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集（2）根据绝对值三角不等式得最小值，再解含绝对值不等式可得的取值范围.
试题解析：（1）等价于或或，
解得：或.故不等式的解集为或.
（2）因为：
所以，由题意得：，解得或.
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．
18．（1），；（2）.
【解析】
（1）将代入求解，由（为参数）消去即可.
（2）将（为参数）与联立得，设，两点对应的参数为，，则，，再根据，即，利用韦达定理求解.
【详解】
（1）把代入，
得，
由（为参数），
消去得，
∴曲线的直角坐标方程和直线的普通方程分别是，.
（2）将（为参数）代入得，
设，两点对应的参数为，，则，，
由得，
所以，即，
所以，而，
解得.
本题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的转化和直线参数方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
19．（1）；（2）.
【解析】
（1）求出，再求恒成立，以及恒成立时，的取值范围；
（2）由已知，在区间内恰有一个零点，转化为在区间内恰有两个零点，由（1）的结论对分类讨论，根据单调性，结合零点存在性定理，即可求出结论.
【详解】
（1）由题意得，则，
当函数在区间上单调递增时，
在区间上恒成立.
∴（其中），解得.
当函数在区间上单调递减时，
在区间上恒成立，
∴（其中），解得.
综上所述，实数的取值范围是.
（2）.
由，知在区间内恰有一个零点，
设该零点为，则在区间内不单调.
∴在区间内存在零点，
同理在区间内存在零点.
∴在区间内恰有两个零点.
由（1）易知，当时，在区间上单调递增，
故在区间内至多有一个零点，不合题意.
当时，在区间上单调递减，
故在区间内至多有一个零点，不合题意，
∴.令，得，
∴函数在区间上单凋递减，
在区间上单调递增.
记的两个零点为，
∴，必有.
由，得.
∴
又∵，
∴.
综上所述，实数的取值范围为.
本题考查导数的综合应用，涉及到函数的单调性、零点问题，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.
20．（1）（2）见解析
【解析】
（1）因为数列的前项和满足：，
所以当时，，
即
解得或，
因为数列都是正项，
所以，
因为，
所以，
解得或，
因为数列都是正项，
所以，
当时，有，
所以，
解得，
当时，，符合
所以数列的通项公式，;
（2）因为，
所以
，
所以数列的前项和为：
，
当时，
有，
所以，
所以对于任意，数列的前项和.
21．（1）（2）特征值为或．
【解析】
（1）先设矩阵,根据,按照运算规律,即可求出矩阵.
（2）令矩阵的特征多项式等于,即可求出矩阵的特征值．
【详解】
解：（1）设矩阵由题意,
因为,
所以
,即
所以,
（2）矩阵的特征多项式,
令,解得或,
所以矩阵的特征值为1或．
本题主要考查矩阵的乘法和矩阵的特征值,考查学生的划归与转化能力和运算求解能力.
22．（1）；（2）.
【解析】
（1）根据坐标和为等边三角形可得，进而得到椭圆方程；
（2）①当直线斜率不存在时，易求坐标，从而得到所求面积；②当直线的斜率存在时，设方程为，与椭圆方程联立得到韦达定理的形式，并确定的取值范围；利用，代入韦达定理的结论可求得关于的表达式，采用换元法将问题转化为，的值域的求解问题，结合函数单调性可求得值域；结合两种情况的结论可得最终结果.
【详解】
（1），，
为等边三角形，，椭圆的标准方程为．
（2）设四边形的面积为．
①当直线的斜率不存在时，可得，，
．
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
设，，
联立得：，
，，．
，，，，
面积．
令，则，，
令，则，，
在定义域内单调递减，．
综上所述：四边形面积的取值范围是．
本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、椭圆中的四边形面积的取值范围的求解问题；关键是能够将所求面积表示为关于某一变量的函数，将问题转化为函数值域的求解问题.