黑龙江省齐齐哈尔市2025届高三一模[高考模拟]数学试卷（解析版）

这是一份黑龙江省齐齐哈尔市2025届高三一模[高考模拟]数学试卷（解析版），共17页。试卷主要包含了单项选择题，多项选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为集合，，则.
故选：D.
2. 已知，则在复平面内所对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以对应的点的坐标是，位于第一象限.
故选：A.
3. 双曲线的渐近线方程为，则的关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得，
因为双曲线渐近线方程为，所以，
所以.
故选：A
4. 圆柱的母线长为4，底面半径为2，该圆柱的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为圆柱的母线长为4，底面半径为2，所以圆柱的体积为.
故选：C.
5. 如图，在平面四边形中，，建立如图所示的平面直角坐标系，且，，，则（ ）
A. 3B. 1C. 2D. 4
【答案】C
【解析】在平面四边形中，，可以建立如图平面直角坐标系，
，，设，
因为，所以，解得，所以，
又，所以，所以，，
所以．
故选：C．
6. 为了分析某次数学模拟考试成绩，在90分及以上的同学中随机抽取了100名同学的成绩，得到如下成绩分布表：
根据表中的数据，下列结论中正确的是（ ）
A. 所抽取的100名同学的成绩的中位数小于120
B. 所抽取的100名同学的成绩低于130所占比例超过
C. 所抽取的100名同学的成绩的极差不小于40且不大于60
D. 所抽取的100名同学的成绩的平均分数介于100至110之间
【答案】C
【解析】对于A选项，根据人数分布可知，所以所抽取的100名同学的成绩的中位数不小于120，所以A选项不正确；
对于B选项，所抽取的100名同学的成绩低于130的人数为，
故所抽取的名同学的成绩低于所占比例低于，所以B选项不正确；
对于C选项，所抽取的100名同学的成绩的极差最大值为，极差最小值大于，所以C选项正确；
对于D选项，成绩的平均分数，所以D选项不正确，
故选：C.
7. 已知曲线，从曲线上任意一点向轴作垂线，垂足为，且，则点的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设点，由轴于点，且，得，则，
又点是曲线上的任意一点，因此，
所以点的轨迹方程为.
故选：A
8. 函数结构是值得关注的对象为了研究的结构，两边取对数，可得，即，两边取指数，得，即，这样我们就得到了较为熟悉的函数类型结合上述材料，的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，两边取对数，可得，即，
令，则，
当时，，为减函数，
当时，，为增函数，
∴，
∴，，的最小值为，
故选：C.
二、多项选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 对于函数和，下列说法中正确的有（ ）
A. 与有相同的零点B. 与有相同的最大值
C. 与最小正周期不相同D. 与的图象存在相同的对称轴
【答案】BCD
【解析】因为，
，
对于A选项，对于函数，由，可得，
对于函数，由，可得，
故函数的零点为，函数的零点为，
所以，函数、没有相同的零点，A错；
对于B选项，的最大值为，的最大值为，故与的最大值相同，B对；
对于C选项，函数的最小正周期为，函数的最小正周期为，
这两个函数的最小正周期不同，C对；
对于D选项，因为，，
所以，函数与的图象存在相同的对称轴，D对.
故选：BCD.
10. 泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互瞭望的星星；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的2倍，若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ）
A. 点的轨迹方程是
B. 直线是“最远距离直线”
C. 圆的方程为：，其上一动点，则的最小值为
D. 点的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（也就是没有交点）
【答案】AC
【解析】对于A，设，则有，整理可得，
故点的轨迹方程是，故A正确；
对于B，由点的轨迹方程是知，双曲线的渐近线为，
可得直线为其一条渐近线，故直线与点的轨迹方程没有交点，
则直线不是“最远距离直线”，故B错误；
对于C，圆方程为：，其圆心，半径为，
由点与圆的位置关系可知，，又即，
根据点与双曲线的位置关系可得，
故，故C正确；
对于D，联立圆与点的轨迹方程，有，可得，
，故点的轨迹与圆有交点，故D错误.
故选：AC.
11. 已知函数，则（ ）
A. 当时，函数有两个极值
B. 过点且与曲线相切的直线有且仅有一条
C. 当时，若是与的等差中项，直线与曲线有三个交点，则
D. 当时，若，则
【答案】BCD
【解析】由得，
对于A，当时，则有，
所以当时，，所以单调递增，
此时函数没有两个极值，故A错误；
对于B，设过点且与曲线相切于点，
则斜率为，可得切线方程为，
代入得，整理得，
令，则，令得或，
令得，所以和上单调递增，
在上单调递减，又，，，
所以函数只有一个零点，即方程只有一个解，
所以过点且与曲线相切的直线有且仅有一条，故B正确；
对于C，当时，，又因为是与的等差中项，
所以直线即为直线，即，
该直线过定点，且此点在曲线上，
又，令得或，
令得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
由题意作出函数的示意图，
设函数的对称中心为，则，即，
整理得，
所以，解得，
所以函数图象关于点中心对称，设，
则有，所以，故C正确；
对于D，当时，，则，
令得或，令得，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
又，，作出作出函数的示意图
所以在上单调递减，所以，即，
令，当时，，则在上单调递减，
所以，所以，即，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 设数列满足，且，则____________．
【答案】4
【解析】由以及可得：
，
故，
故答案为：4
13. 在中内角的对边分别为，已知，则____________．
【答案】3
【解析】由可得,
故,
,
由正弦定理可得，
故答案为：3
14. 在如图的的方格表中随机选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则事件“选中方格中的4个数之和为”的概率为______.
【答案】
【解析】在如图的的方格表中随机选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，
则所有的可能为：
共24种可能；
其中满足“选中方格中的4个数之和为”的可能为：
，共3种可能；
故所求为.
故答案为：.
四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 阶行列式是一种二阶方阵的行列式，其计算方法如下：，函数，（其中），若，函数的最小正周期为．
（1）求函数的解析式；
（2）中，若，为锐角，三个内角分别对应边，面积为，则的最小值为？
解：（1）由题知
∴
∵的最小正周期为，∴，∴
∴
（2）∵为锐角，∴
∴，∴，
∵，∴
∴当且仅当时，取最小值4
16. 已知函数.
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）若，求实数的取值范围.
解：（1）当时，，，
则，
所以所求切线方程为，即；
（2），即，
即，即对恒成立，
令，则，
当时，，当，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以.
17. 如图，在直三棱柱中，．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
（1）证明：由题知平面，又平面，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以，
又，所以四边形是正方形，得到，
又，平面，所以平面.
（2）解：如图，建立空间直角坐标系，因为，
则，
得到
平面与平面夹角为，
设平面的法向量为，则，
令，则，
所以平面的法向量为，
设平面的法向量为，则：，
令，则，所以平面的法向量为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18. 现市场上治疗某种疾病的药品有两种，其治愈率与患者占比如表所示，为试验一种新药，在有关部门批准后，某医院把此药给100个病人服用．设药的治愈率为，且每位病人是否被治愈相互独立．
（1）记100个病人中恰有80人被治愈的概率为，求的最大值点；
（2）设用新药的患者占比为（药品减少的患者占比，均为新药增加占比的一半，，以（1）问中确定的作为的值，从已经用药的患者中随机抽取一名患者，求该患者痊愈的概率（结果用表示）
（3）按照市场预测，使用新药的患者占比能达到以上，不足的概率为，不低于且不超过的概率为，超过的概率为，某药企计划引入药品的生产线，但生产线运行的条数受患者占比的影响，关系如下表：
若某条生产线运行，年利润为1000万，若某条生产线未运行，年亏损300万，欲使该药企生产药品的年总利润均值最大，应引入几条生产线？
解：（1）100个病人中恰好有80人被治愈的概率为，
则，
令，得，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以的最大值点为.
（2）设事件“从患者人群中抽一名痊愈者”，事件“该患者服用药品治疗”，
事件“该患者服用药品治疗”，事件“该患者服用药品治疗”，
则
因此：
所以.
（3）设随机变量为生产药品产生的年利润
①若投入1条生产线，由于服用药品的患者的占比总大于，所以一条生产线总能运行，
此时对应的年利润
②若投入2条生产线，当，1条生产线运行，
年利润，当时，2条生产线运行，
年利润，
此时的分布列如下：
所以；
③若投入3条生产线，当时，1条生产线运行，
年利润 ，
当时2条生产线运行，年利润，
当时，3条生产线运行，年利润，
此时的分布列如下：
所以
综上所述，欲使该药企生产药品的年度总利润均值最大，应引入两条生产线.
19. 如图所示，已知动圆与直线相切，并与定圆相内切．
（1）求动圆圆心的轨迹的方程；
（2）过原点作斜率为1直线交曲线于（为第一象限点），又过作斜率为2的直线交曲线于，再过作斜率为4的直线交曲线于，…，如此继续，过作斜率为的直线交曲线于，设．
①令，求证：数列是等比数列；
②数列的前项和为，试比较与的大小．
（1）解：方法1：由题意知，点到原点的距离等于点到直线的距离，
由抛物线定义知，点轨迹是以原点为焦点，直线为准线的抛物线，
其轨迹方程为．
方法2：设，动圆的半径为，
由题意知：，
所以，
由题意知，∴，即
所以动圆圆心的轨迹的方程为.
（2）证明：①设，则，
又因为直线的斜率为，有，
所以，即，
所以，
所以数列是以为公比的等比数列；
②由①知，，
所以，下面只要比较与的大小；
当时，，有；
当时，，有；
当时，，有；
猜测当时，时，．
利用二项式定理，得
，
所以时，，即：，
所以．
综上：当时，；
当时，；
当且时，.分数区间
人数
14
16
18
30
20
2
11
13
13
15
20
22
23
24
31
32
33
35
41
42
42
44
A
B
C（新药）
治愈率
患者占比
患者占比
最多投入生产线条数
1
2
3
700
2000
400
1700
3000