湖南省长沙市明德中学2025-2026学年高一下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份湖南省长沙市明德中学2025-2026学年高一下学期3月月考数学试卷（Word版附解析），共22页。
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应区域.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无
效.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合要求的.
1. 已知全集 ，集合 ，则图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由图可知影部分所表示的集合为 ，再结合条件，利用集合的运算，即可求解.
【详解】由图知，影部分所表示的集合为 ，
又 ， ，
所以图中阴影部分所表示的集合为 ，
故选：A.
2. 设 ， ， ，则 的大小关系是（ ）
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A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过构造指数函数和对数函数比较大小.
【详解】因为函数 在 上单调递增，且 ，所以 ，即 ，
因为函数 在 上单调递减，且 ，所以 ，即 ；
因为函数 在 上单调递增，且 ，所以 ，即 ；
所以 .
故选 B.
3. 函数 的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性排除 B，C，利用函数的单调性排除 A 即可.
【详解】对于函数 ，定义域为 ，
因为 ，
所以函数 为偶函数，故 B，C 错误，
当 时， ，
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又 在 上单调递增， 在 上单调递减，
故 在 上单调递增，故 A 错误，D 正确．
故选：D．
4. 在 中， ，则 的面积为（ ）
A. 6 B. 8 C. 24 D. 48
【答案】C
【解析】
【分析】先根据余弦定理求出 边的长度，再利用三角形面积公式求出三角形面积即可.
【详解】设 ，根据余弦定理 ，
已知 ， ， ，代入可得：
，即 ，解得 ，
由于 ，则 为直角三角形，
则 .
故选：C.
5. 已知函数 满足：对任意的 ，有 ，则实数 a 的取值
范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据单调性的定义，可得 在 R 上单调递增，根据 解析式，结合单调性，列出不等式，
即可得答案.
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【详解】因为对任意的 ，有 ，
所以 在 R 上单调递增，
因为 ，
所以 ，解得 ，
则实数 的取值范围是 .
6. 在梯形 中， ，点 在对角线 上，且 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平面向量线性运算在几何图形中的应用，结合题意，直接表示即可.
【详解】根据题意，作图如下所示：
由题意得， .
故选：A.
7. 在 中， ， ，AD，BC 的交点为 M，过 M 作动直线 l 分别交线段 AC，BD
于 E，F 两点.若 ， ( )，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用平面向量共线定理的推论得到 的关系，进而利用均值定理即可求得 的最小值
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【详解】由 三点共线，可得存在实数 t，使
又由 三点共线，可得存 实数 m，使得
则 ，解之得 ，则
又 ， ( )，
则 ，由 三点共线，可得
则
（当且仅当 时等号成立）
则 的最小值为
故选：D
8. 我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长 与太阳天顶距 的
对应数表，这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知，晷影长 等于表高 与太阳天顶
距 正切值的乘积，即 .对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为 ，若第
一次的“晷影长”是“表高”的 2 倍，且 ，则第二次的“晷影长”是“表高”的（ ）
A. 倍 B. 3 倍 C. 倍 D. 7 倍
【答案】D
【解析】
【分析】由二倍角公式和两角差的正切公式得出结论.
【详解】由题意得 ，
则 ；
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又 ，
所以 ，
故第二次的“晷影长”是“表高”的 7 倍.
故选：D.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求
.全部选对得 6 分，部分选对得部分分，选错得 0 分.
9. 下列化简正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用两角和的余弦公式计算可得 A 错误，根据二倍角的正弦公式计算可得 B 正确，将式子分解结
合二倍角的余弦公式可计算 C 错误，根据二倍角的正切公式的逆运用可计算 D 正确.
【详解】对于 A，易知 ，可得 A 错误；
对于 B，易知 ，即 B 正确；
对于 C，易知
，即可得 C 错误；
对于 D， ，可得 D 正确.
故选：BD
10. 已知函数 ，则（ ）
A. 的图象关于点 对称 B. 的图象关于直线 对称
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C. 在 单调递增 D. 函数 有两个零点
【答案】ACD
【解析】
【分析】先求出函数 的定义域，然后将函数 利用对数的运算变形，再利用复合函数的单调性的
判断法则以及二次函数的性质依次判断 A,B,C 即可；分析函数 与函数 的单调性结合图象
的交点，即可判断函数 零点个数，从而判断 D.
【详解】函数 定义域为 ，又 ，
令 ， ， 在 上单调递增， 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增， 所以 在 上单调递增，故选项 C 正确；
因为 ，
所以函数 的对称中心为 对称，故选项 B 错误，选项 A 正确；
因为 ，所以 函数 ， 函数 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，又函数 在 上为增函数，
则函数 与函数 在平面直角坐标系中的图象如下图所示：
故函数 与函数 在区间 上有两个交点，即函数 有两个零点，故 D 正确
.
故选：ACD．
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11. 窗花是中国古老的传统民间艺术之一，它最初用于民俗活动中的剪贴画，后发展为独立的艺术门类，图
1 是一个正八边形窗花，图 2 是从窗花图中抽象出的几何图形，已知正八边形 ABCDEFGH 的边长为 4，P
是正八边形 ABCDEFGH 边上任意一点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B. 在 方向上的投影向量为
C. 的最大值为
D. 若函数 ，则函数 的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于 A，由向量的线性运算可得；对于 B，由 在 方向上的投影向量为 代入坐
标运算即可；对于 C，由 ，根据几何意义求
的最大值即可；对于 D，设设 ，则 ，即当 时， 取得
最小值，根据图形求 最小值即可.
【详解】根据题意，每个小三角形为全等的等腰三角形，顶角为 ，
，以 为原点， 分别为 轴，设 ，
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则 ，解得 ，
，
对于 A，因为 ， ，所以 ，故 A 正确；
对于 B， ，
在 方向上的投影向量为 ，故 B 错
误；
对于 C，设 中点为 ，
，所以 取最大即 取最大，
由题知，当 在点 或点 处时， 取最大，
此时 ， ，
，
所以 ，故 C 正确；
对于 D，设 ， ，
所以当 时， 取的最小值，
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根据题意， ，所以 在 延长线上，
又 ，则 ，
所以 ，故 D 正确；
故选：ACD.
三．填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知向量 ．若 ，则 ________．
【答案】 .
【解析】
【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量 的坐标，利用向量的数量积为零求得 的值
【详解】 ,
，解得 ,
故答案为： .
【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量
垂直的充分必要条件是其数量积 .
13. 已知一个扇形的圆心角为 ，所对的弧长为 ，则该扇形的面积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据扇形的弧长，面积公式计算即可求解.
【详解】由题意，圆心角 ，弧长 ，
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由弧长公式 ，得扇形的半径 ，
则扇形面积 .
故答案为：
14. 将函数 的图象向右平移 个单位后，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的 ，
纵坐标不变，得到函数 的图象，若 在区间 内没有零点，则 的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数图象的平移伸缩变换可得 ，进而 ，
结合正弦函数的图象与性质建立关于 的不等式组，解之即可求解.
【详解】由题意知， ，
由 ，得 ，
若 在区间 内没有零点，
则 ，解得 ，
由 ，当 时， ，当 时， ，当 时，不符合，
所以 的取值范围为 .
故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答过程应写出文字说明、证明过程、演算步骤等.
15. 设 ，已知 是平面内两个不共线的向量， ，且
， ， 三点共线．
（1）求 的值：
（2）若 ，
①求向量 与 的夹角的余弦值；
②已知点 的坐标为 ，若四边形 为平行四边形．求点 的坐标．
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【答案】（1）
（2）① ；②
【解析】
【分析】（1）求出 ，根据 ， ， 三点共线满足的关系求解即可；
（2）①利用平面向量夹角的余弦公式求解即可.②由平行四边形得 ，利用相等向量满足的关系即
可求解．
【小问 1 详解】
由已知得 ，
因为 三点共线，所以 ，即 .
【小问 2 详解】
由已知得 ，
；
②由平行四边形得 ，又 ，
所以 ，解得 ，即
16. 已知函数 .
（1）求函数 的单调递增区间及在 上的值域；
（2）若 为锐角且 ，求 的值.
【答案】（1）单调递增区间为 ，值域为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解.
（2）由（1）的信息，利用同角公式及差角余弦公式求解.
【小问 1 详解】
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依题意，函数
由 ，解得 ，
所以函数 的单调递增区间为 ；
由 ，得 ， ，
所以当 的值域为 .
【小问 2 详解】
由（1）知， ，由 ，得 ，
由 ，得 ，所以 ， ，
所以
.
17. 函数 是定义在 上的奇函数，且 ．
（1）求 的解析式，并用函数单调性的定义证明 在区间 上为增函数；
（2）解不等式 ．
【答案】（1） ，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据奇函数的定义可求得 ，根据 可求得 ，进而根据函数单调性的定义判断
的符号即可；
（2）根据函数的奇偶性将已知不等式等价转化，再利用单调性列不等式求解即可.
【小问 1 详解】
∵函数 在 上是奇函数，
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∴ ，即 ，∴ ， .
又∵ ，即 ，解得 ，
∴ 的解析式为 .
函数 在区间 上为增函数，证明如下：
证明：任取 ，且 ，
则 ，
∵ ，∴ ， ， ，
， ，故 ，
∴ ，即 ，
∴函数 在区间 上为增函数.
【小问 2 详解】
∵函数 在 上是奇函数，
∴不等式 等价于 .
又∵ 在 上是增函数，
，解得 ．
18. 在梯形 中， ，满足 ．
（1）求 的大小；
（2）若 ，且 ， ，求 的面积；
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（3）若 ， ， ，动点 ， 分别在线段 ， 上运动，且 ，
，求 的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
分析】（1）由正弦定理和正弦和角公式，诱导公式得到 ，求出 ；
（2）在（1）基础上，利用余弦定理得到 ，由三角形面积公式求出答案；
（3）建立平面直角坐标系，设 ，表达出 ，求出
，得到最小值.
【小问 1 详解】
因为 ，
由正弦定理得 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ；
【小问 2 详解】
因为 ， ，所以 ， ，
又 ，由余弦定理得 ，
即 ，解得 或-1（舍去），
所以 的面积为 ；
【小问 3 详解】
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以 为坐标原点， 所在直线为 轴，垂直 的直线为 轴，建立平面直角坐标系，
因为 ， ，所以 ，
由 得， ，所以 ，
因为 ， ， ，所以设 ，
由 得 ，
由 得， ，
所以
，
当 时， 取得最小值，最小值为 ，
所以 的最小值为 .
19. 定义函数 ， ，若存在实数 ，使得方程 在 上恰有两个不同的实
数 根 ， 则 称 为 在 D 上 的 一 个 “二 重 值 ”.记 所 有 “二 重 值 ”组 成 的 集 合 为 .已 知
，其中 ， .
（1）当 时，求函数 的值域；
（2）若 ，求实数 取值范围；
（3）设函数 ，且对任意 ，均有 ，求实数 取值范围.
【答案】（1）
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（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出二次函数的值域，再结合对数函数得出值域；
（2）方法一：根据复合函数的单调性得出对数复合型函数的值域进而求出参数范围；方法二：由值域得出
方程 在 内有两个不同的实数根，进而结合判别式得出参数范围；
（3）根据对数复合型函数的值域得出参数范围.
【小问 1 详解】
当 时， ，
∵ ，当 时取得最大值 ，∴ .
∴函数 的值域为 .
【小问 2 详解】
方法一、令 ，则 在 上递增，在 上递减
又 为增函数，所以 在 上递增，在 上递减.
∵ ， ，
故由题意得： ，使 ， ，
∴ ，得 ，实数 取值范围是 .
方法二、方程 ，即
由题意知方程 在 内有两个不同的实数根.
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令 ，对称轴为 ，且开口向下，
则应满足 ，解得 .
∵ ，故 ，即 ，∴
实数 取值范围是 .
【小问 3 详解】
由（2）知： 在 上递增，在 上递减
且 ， ，
令 ，则 ，
1° 当 ，即 时， 在 上递减，
在 上递增，则 ，
对任意 ，方程 恰有两解，即满足
2° 当 ，即 时， 在 上递增，
在 上递减，则 ，
对任意 ，方程 恰有两解，即满足
3° 当 时， ，使
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即有 ，
所以函数 在 上存在两个不同 零点，设为 ，
此时 在 上递减， 上递增， 上递减， 上递增.
则当 时，方程 有四解，不合题意.
综上所述，实数 取值范围是 .
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