湖北十堰市郧阳中学2025-2026学年高一下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）

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本试题卷共四页，十九题，全卷满分150分．考试用时120分钟
★祝考试顺利★
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上，并将考号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷和答题卡上的非答题区域均无效．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．
1. 在平行四边形中，下列关系式不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平行四边形定理，以及向量的模和数量积公式，判断选项.
【详解】对于A，根据平行四边形定理可知，，A正确；
对于B，根据向量减法可知，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，当且仅当向量和同向时等号成立，在平行四边形中，向量和不共线，所以，故D错误.
故选：D
2. 下列化简正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据诱导公式结合切化弦运算求解.
【详解】对于选项A：因为，故A正确；
对于选项B：因为，故B正确；
对于选项C：因为，故C错误；
对于选项D：因为，故D正确；
故选：ABD.
3. 已知向量，满足，，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通过平方的方法，结合向量数量积运算求得正确答案.
【详解】由得，
两边平方得，
所以.
故选：A
4. 已知中，，，则此三角形为（ ）
A. 直角三角形B. 等边三角形
C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根据即可得为等腰三角形，又因为可知，所以为等边三角形.
【详解】如下图所示：

设M为AC中点，则，
所以，即为等腰三角形，
又，所以，
即，
所以，可得，
综上可知三角形为等边三角形.
故选：B.
5. 已知函数，下列说法不正确的有（ ）
A. 若，则不等式的解集为
B. 若，则不等式的解集为
C. 若，恒成立，则整数k的取值集合为
D. 若恰有两个整数x使得不等式成立，则实数的取值范围是
【答案】C
【解析】
【详解】若，则，
故不等式的解集为，故A正确；
，
若，则，则不等式解集为，故B正确；
，
若，则对恒成立；
若，由于对恒成立，
所以，得，
故整数k的取值集合为，故C错误；
若，则，有无数个整数解，不符合；
若，则图象开口朝下，有无数个整数解，不符合；
故，则不等式的解集为，
欲使解集中仅存在两个整数，则，得，故D正确.
6. 已知定义域为，值域为，则下列说法不正确的是（ ）
A. 若，则
B. 对任意，使得
C. 对任意，的图象恒过一定点
D. 若在上单调递减，则的取值范围是
【答案】B
【解析】
【分析】对于A，根据题设得真数不能取遍所有正实数，再利用对数函数定义即得；对于B，直接代入求解即可；对于C，根据，求解即可；对于D ，根据对数型函数的单调性和真数在恒大于等于零即可解得.
【详解】对于A，因为定义域为，只需要恒成立，
所以判别式，即，
所以真数不能取遍所有正实数，所以，故A正确；
对于B，若，即，
化简，
故，解得，故B错误；
对于C，，
因为与无关，所以，解得，
可得，故定点为，故C正确；
对于D，若在上单调递减，
只需要在上单调递减，
且，即，解得，故，故D正确.
7. 已知函数的定义域为，为偶函数，当时，，则下列说法不正确的是（ ）
A. 若函数有四个零点，则的取值范围为
B. 若函数有四个零点，则的取值范围为
C. 函数的零点个数为5个
D. 函数的零点个数为4个
【答案】A
【解析】
【分析】A根据对称性画出的函数图象，根据函数值相等得出即可判断；B利用以及对勾函数的性质判断；CD数形结合求出内层函数的值即可求出.
【详解】因为函数为偶函数，即，
所以函数关于对称，
当时，，
∴函数的大致图象如图，
令，则为方程的解，
所以且，即，
则，得，
由图可知，，∴，A选项错误；
∵，∴，且，∴，
令，由双勾函数的性质可知，函数在上单调递减，
∴，B选项正确；
∵有两个零点或，∴时，或，
当时，由函数图象可知，函数有3个零点，

当时，由函数图象可知，函数有2个零点，
∴函数存在5个零点，C选项正确；
令，即，则或或，
则或或或，得或或或，
故函数有4个零点，D选项正确．
8. 如图，点是线段的中点，，点是平行四边形内(含边界)的一点，且，以下结论中不正确的是（ ）
A. 当是线段的中点时，
B. 当时，
C. 当为定值时，点的轨迹是一条线段
D. 的最大值为
【答案】B
【解析】
【分析】对A，根据条件，利用向量的线性运算，即可求解；对B，取线段，的中点，延长与直线交于点，利用几何关系得，从而得点的轨迹为线段，再取两个端点即可求解；对C，令，可得三点共线，利用几何关系可得点的轨迹是线段，即可求解；对D，利用向量的线性运算，可得，进而可得，即可求解.
【详解】对于A，当是线段的中点时，
，
所以，故A正确，
对于B，当时，如图1，取线段，的中点，分别记为，则平行于，
延长与直线交于点，则，
所以，则，又点在平行四边形内(含边界)，所以点的轨迹为线段，
当点与重合时，，
当点与重合时，，
所以．故B不正确，
对于C，当为定值2时，，令，可得三点共线，
分别取线段的中点，如图2，记为，所以，即，
连接交于点，因为，且，则，
所以点的轨迹是线段，故C正确．
对于D，由于平行四边形所在区域在的左上方，且三点共线，
所以，则，所以，
即当时，取得最大值，此时点与点重合，所以D正确．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列计算正确的有（ ）
A. B.
C. 若，，则 D. 若，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据对数运算判断A，应用指数对数运算化简求值判断B，应用换底公式及对数运算判断C，应用指数运算计算判断D.
【详解】A，，故A错误；
B，，故B正确；
C，，故C正确；
D，，所以，故D正确.
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 已知，则的最小值为6
B. 在中，若，则为钝角三角形
C. 若是的重心，则
D. 若与的夹角为，则在方向上的投影向量为
【答案】ACD
【解析】
【分析】A选项根据数量积的定义计算，B选项，由数量积判断出的外角为钝角，进一步判断三角形形状，C选项根据重心的向量表达式求解，D选项，根据投影向量公式求解.
【详解】对A，因为，
当反向共线时等号成立，故A正确；
对B，由可知的外角为钝角，所以为锐角，
故不能判断为钝角三角形，故B错误；
对C，由是的重心，可知，
所以，故C正确；
对D，因为与的夹角为，
所以在方向上的投影向量为，故D正确.
故选：ACD
11. 已知正数x，y满足，则方程有解的m的取值可以是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据换元法和均值不等式即可求解.
【详解】由对数函数定义域知且，
令，
所以，
所以可转化为，
作出函数与函数，
两个函数图像的公共交点是，
所以，
所以，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为，
方程有解的m的范围是，
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设向量，且，则m=_________.
【答案】-2
【解析】
详解】试题分析：由题意得
考点：向量的模
13. 在中，已知，点为三角形的外心，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】先根据余弦定理求出的长度，再根据外心的性质以及数量积的定义求解即可.
【详解】中，，由余弦定理可得：
，.
因为点为三角形的外心，所以在上的投影为.
.
14. 已知函数，关于的不等式对任意的恒成立，则实数m的取值范围为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据的奇偶性以及单调性，将问题转化成对任意的，恒成立，结合二倍角公式以及三角函数的值域即可最值进行求解.
【详解】由于，所以为奇函数，且由， 单调递增，故 在定义域内单调递增，故，
因此，由于，所以 ，因此 ，故对任意的，恒成立，由余弦的二倍角公式可得，所以 恒成立即可，故，
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知向量.
（1）设求；
（2）若 与垂直，求的值.
【答案】（1）;
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出，然后按向量数量积的坐标运算规则进行求解；
（2）求出的坐标，根据垂直向量的坐标表示列出等式求解.
【小问1详解】
∵，∴，
∴，∴．
【小问2详解】
，
由于与垂直，∴，∴．
16. 已知函数，且函数图象的一个对称中心为.
（1）求的值；
（2）若在区间上的值域是，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用倍角公式和辅助角公式，得，再结合条件，可得，即可求解；
（2）根据条件，利用正弦型函数的性质，即可求解.
【小问1详解】
，
因图象的一个对称中心为，则，
解得，又，则取，得．
【小问2详解】
当时，，
因为，结合函数图象可知，欲使在区间上的值域是，
则，解得．
17. 已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量共线得，再由同角三角函数的基本关系求解；
（2）由向量垂直得，求出，再由两角差的余弦公式求解．
【小问1详解】
因为，所以，
即，，
解得或（舍去）．
【小问2详解】
因为，所以，即，
，即．
因为，所以，，，
从而．
18. 如图，在中，已知，，边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），、相交于点.
（1）当点为中点时，求的余弦值；
（2）求的最小值；当取得最小值时设，求的值.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）设，由中点可得，再由数量积的运算律及夹角公式求解即可；
（2）设则可转化为关于的二次函数，求最值即可，再由及三点共线得解即可.
【小问1详解】
设，，
、分别为、的中点，
，，
，，
，
，
又
，
，
即的余弦值为.
【小问2详解】
设，
则
，
所以当即时，取最小值，即，
，
，，
，
三点共线，
，解得，
.
19. 对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”．
（1）试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由；
（2）若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数m的取值范围；
（3）试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由．
【答案】（1）是“伪奇函数”，理由见解析
（2）
（3）答案和理由见解析
【解析】
【分析】（1）由“伪奇函数”的定义判断即可；
（2）由题意可得在有解，进而结合正弦函数的性质即可求解；
（3）由题意可知在上有解，令，，可得在有解，进而分情况讨论求解即可.
【小问1详解】
∵，∴，则是“伪奇函数”．
【小问2详解】
令，
则，
即有解，
而，则，∴，
则，
又∵在时恒成立，
∴，则，即，
∴实数m的取值范围为.
【小问3详解】
当为定义域上“伪奇函数”时，
则在上有解，可化为在上有解，
令，则，当且仅当时等号成立，
而，
则在有解，即可保证为“伪奇函数”，
令，，
①当，即时，
在一定有解，满足题意；
②当，即或时，
在有解等价于，
解得.
综上所述，当时，为定义域上的“伪奇函数”，否则不是．