福州市2025-2026学年高考全国统考预测密卷数学试卷（含答案解析）

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1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知不重合的平面 和直线 ，则“ ”的充分不必要条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行B． 且
C． 且D．内的任何直线都与平行
2．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km/h的频率分别为（ ）
A．300，B．300，C．60，D．60，
3．已知直线y＝k（x﹣1）与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，直线y＝2k（x﹣2）与抛物线D：y2＝8x交于M，N两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（ ）
A．λ＜﹣16B．λ＝﹣16C．﹣12＜λ＜0D．λ＝﹣12
4．已知x，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知为虚数单位，若复数，则
A．B．
C．D．
6．平行四边形中，已知，，点、分别满足，，且，则向量在上的投影为（ ）
A．2B．C．D．
7．已知数列满足,(),则数列的通项公式( )
A．B．C．D．
8．集合的子集的个数是（ ）
A．2B．3C．4D．8
9．设，其中a，b是实数，则（ ）
A．1B．2C．D．
10．已知复数z满足i•z＝2+i，则z的共轭复数是（）
A．﹣1﹣2iB．﹣1+2iC．1﹣2iD．1+2i
11．若复数，，其中是虚数单位，则的最大值为( )
A．B．C．D．
12．设集合，，则（ ）．
A．B．
C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知为等比数列，是它的前项和.若，且与的等差中项为，则__________.
14．执行以下语句后，打印纸上打印出的结果应是：_____．
15．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．
16．某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习，抛一枚硬币两次，若两次都是正面朝上，就在家学习，否则出去看电影，则该同学在家学习的概率为____________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数
（1）解不等式；
（2）若函数，若对于任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围.
18．（12分）已知函数.
（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）当时，若方程有两个不相等的实数根，求证：.
19．（12分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）设，求不等式的解集；
（2）已知，且的最小值等于，求实数的值.
20．（12分）已知函数
（1）若对任意恒成立，求实数的取值范围；
（2）求证：
21．（12分）已知函数的最小正周期是，且当时，取得最大值．
（1）求的解析式；
（2）作出在上的图象（要列表）．
22．（10分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设直线交椭圆于两点，线段的中点在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．B
【解析】
根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.
【详解】
A. 内有无数条直线与平行，则相交或，排除；
B. 且，故，当，不能得到 且，满足；
C. 且，，则相交或，排除；
D. 内的任何直线都与平行，故，若，则内的任何直线都与平行，充要条件，排除.
故选：.
本题考查了充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的综合应用能力.
2．B
【解析】
由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过的频率．
【详解】
由频率分布直方图得：
在此路段上汽车行驶速度在区间的频率为，
∴在此路段上汽车行驶速度在区间的车辆数为：，
行驶速度超过的频率为：．
故选：B．
本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
3．D
【解析】
分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得，，然后计算，可得结果.
【详解】
设，
联立
则，
因为直线经过C的焦点，
所以.
同理可得，
所以
故选：D.
本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。
4．D
【解析】
，不能得到， 成立也不能推出，即可得到答案.
【详解】
因为x，，
当时，不妨取，，
故时，不成立，
当时，不妨取，则不成立，
综上可知，“”是“”的既不充分也不必要条件，
故选：D
本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题.
5．B
【解析】
因为，所以，故选B．
6．C
【解析】
将用向量和表示，代入可求出，再利用投影公式可得答案.
【详解】
解：
，
得，
则向量在上的投影为.
故选：C.
本题考查向量的几何意义，考查向量的线性运算，将用向量和表示是关键，是基础题.
7．A
【解析】
利用数列的递推关系式，通过累加法求解即可．
【详解】
数列满足：，，
可得
以上各式相加可得：
，
故选：．
本题考查数列的递推关系式的应用，数列累加法以及通项公式的求法，考查计算能力．
8．D
【解析】
先确定集合中元素的个数，再得子集个数．
【详解】
由题意，有三个元素，其子集有8个．
故选：D．
本题考查子集的个数问题，含有个元素的集合其子集有个，其中真子集有个．
9．D
【解析】
根据复数相等，可得，然后根据复数模的计算，可得结果.
【详解】
由题可知：，
即，所以
则
故选：D
本题考查复数模的计算，考验计算，属基础题.
10．D
【解析】
两边同乘-i，化简即可得出答案．
【详解】
i•z＝2+i两边同乘-i得z=1-2i,共轭复数为1+2i，选D.
的共轭复数为
11．C
【解析】
由复数的几何意义可得表示复数，对应的两点间的距离，由两点间距离公式即可求解.
【详解】
由复数的几何意义可得，复数对应的点为，复数对应的点为，所以，其中，
故选C
本题主要考查复数的几何意义，由复数的几何意义，将转化为两复数所对应点的距离求值即可，属于基础题型.
12．D
【解析】
根据题意，求出集合A，进而求出集合和，分析选项即可得到答案.
【详解】
根据题意，
则
故选：D
此题考查集合的交并集运算，属于简单题目,
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
设等比数列的公比为，根据题意求出和的值，进而可求得和的值，利用等比数列求和公式可求得的值.
【详解】
由等比数列的性质可得，，
由于与的等差中项为，则，则，，
，，，
因此，.
故答案为：.
本题考查等比数列求和，解答的关键就是等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题.
14．1
【解析】
根据程序框图直接计算得到答案.
【详解】
程序在运行过程中各变量的取值如下所示：
是否继续循环 i x
循环前 1 4
第一圈 是 4 4+2
第二圈 是 7 4+2+8
第三圈 是 10 4+2+8+14
退出循环，所以打印纸上打印出的结果应是：1
故答案为：1．
本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.
15．9
【解析】
分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.
详解：由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此
当且仅当时取等号，则的最小值为.
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.
16．
【解析】
采用列举法计算古典概型的概率.
【详解】
抛掷一枚硬币两次共有4种情况，即（正，正），（正，反），（反，正），（反，反），
在家学习只有1种情况，即（正，正），故该同学在家学习的概率为.
故答案为：
本题考查古典概型的概率计算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）（2）
【解析】
（1）将表示为分段函数的形式，由此求得不等式的解集.
（2）利用绝对值三角不等式，求得的取值范围，根据分段函数解析式，求得的取值范围，结合题意列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】
（1），
由得或或；
解得.故所求解集为.
（2）
，
即.
由（1）知，
所以，即.
∴，∴.
本小题考查了绝对值不等式，绝对值三角不等式和函数最值问题，考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想.
18．（1）；（2）当时，在上是减函数；当时，在上是增函数；（3）证明见解析.
【解析】
（1）当时，，求得其导函数 ，，可求得函数的图象在处的切线方程；
（2）由已知得，得出导函数，并得出导函数取得正负的区间，可得出函数的单调性；
（3）当时，，，由（2）得的单调区间，以当方程有两个不相等的实数根，不妨设，且有，，构造函数，分析其导函数的正负得出函数的单调性，得出其最值，所证的不等式可得证.
【详解】
（1）当时，，
所以 ，，
所以函数的图象在处的切线方程为，即；
（2）由已知得，，令，得，
所以当时，，当时，，
所以在上是减函数，在上是增函数；
（3）当时，，，由（2）得在上单调递减，在单调递增，
所以，且时，，当时，，，
所以当方程有两个不相等的实数根，不妨设，且有，，
构造函数，则，
当时，所以，
在上单调递减，且，，
由 ，在上单调递增，
.
所以.
本题考查运用导函数求函数在某点的切线方程，讨论函数的单调性，以及证明不等式，关键在于构造适当的函数，得出其导函数的正负，得出所构造的函数的单调性，属于难度题.
19． (1) (2)
【解析】
（1）把f（x）去绝对值写成分段函数的形式，分类讨论，分别求得解集，综合可得结论．
（2）把f（x）去绝对值写成分段函数，画出f（x）的图像，找出利用条件求得a的值．
【详解】
（1）时，.
当时，即为，解得.
当时， ，解得.
当时， ，解得.
综上，的解集为.
（2）.，
由的图象知，
，.
本题主要考查含绝对值不等式的解法及含绝对值的函数的最值问题，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题
20．（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）将问题转化为对任意恒成立，换元构造新函数即可得解；
（2）结合（1）可得，令，求导后证明其导函数单调递增，结合，即可得函数的单调区间和最小值，即可得证.
【详解】
（1）对任意恒成立等价于对任意恒成立，
令，，则，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
有最大值，
.
（2）证明：由（1）知，当时，即，
，，
令，则，
令，则，
在上是增函数，又，
当时，；当时，，
在上是减函数，在上是增函数，
，即，
．
本题考查了利用导数解决恒成立问题，考查了利用导数证明不等式，考查了计算能力和转化化归思想，属于中档题.
21．（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）根据函数的最小正周期可求出的值，由该函数的最大值可得出的值，再由，结合的取值范围可求得的值，由此可得出函数的解析式；
（2）由计算出的取值范围，据此列表、描点、连线可得出函数在区间上的图象.
【详解】
（1）因为函数的最小正周期是，所以．
又因为当时，函数取得最大值，所以，
同时，得，
因为，所以，所以；
（2）因为，所以，
列表如下：
描点、连线得图象：
本题考查正弦函数解析式的求解，同时也考查了利用五点作图法作图，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.
22．（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ）把点代入椭圆方程，结合离心率得到关于的方程，解方程即可；
（Ⅱ）联立直线与椭圆方程得到关于的一元二次方程，利用韦达定理和中垂线的定义求出线段的中垂线方程即可证明.
【详解】
（Ⅰ）由已知椭圆过点得，，
又，得，
所以，即椭圆方程为.
（Ⅱ）证明： 由，得，
由，得，
由韦达定理可得，，
设的中点为，得，即，
，
的中垂线方程为，即，
故得中垂线恒过点.
本题考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系及椭圆中的定值问题；考查运算求解能力和知识的综合运用能力；正确求出椭圆方程和利用中垂线的定义正确表示出中垂线方程是求解本题的关键;属于中档题.