2026年宣城市高考压轴卷数学试卷（含答案解析）

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1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，平面ABCD，ABCD为正方形，且，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，若关于的方程恰好有3个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
3．已知（），i为虚数单位，则（ ）
A．B．3C．1D．5
4．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则的取值范围是（ ）.

A．B．C．D．
5．已知双曲线：（，）的焦距为.点为双曲线的右顶点，若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．2D．3
6．若复数满足，则（其中为虚数单位）的最大值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
7．已知等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A．4B．8C．16D．2
8．已知，，则的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
9．“是函数在区间内单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
10．是虚数单位，复数在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
11．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠， 长五尺在粗的一端截下一尺，重斤；在细的一端截下一尺，重斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（ ）
A．斤B． 斤C．斤D．斤
12．函数（， ， ）的部分图象如图所示，则的值分别为（ ）
A．2，0B．2， C．2， D．2，
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数，若，则实数的取值范围为__________．
14．设向量，，且，则_________.
15．（5分）已知曲线的方程为，其图象经过点，则曲线在点处的切线方程是____________．
16．已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围为_____．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（m为参数），以坐标点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcs（θ+）＝1．
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；
（2）已知点M （2，0），若直线l与曲线C相交于P、Q两点，求的值．
18．（12分）已知函数，其中.
（1）当时，求在的切线方程；
（2）求证：的极大值恒大于0.
19．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b（a2+c2﹣b2）＝a2ccsC+ac2csA．
（1）求角B的大小；
（2）若△ABC外接圆的半径为，求△ABC面积的最大值.
20．（12分）如图，在斜三棱柱中，平面平面，，，，均为正三角形，E为AB的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求斜三棱柱截去三棱锥后剩余部分的体积．
21．（12分）设函数（其中），且函数在处的切线与直线平行.
（1）求的值；
（2）若函数，求证：恒成立.
22．（10分）已知函数，函数（）.
（1）讨论的单调性；
（2）证明：当时，.
（3）证明：当时，.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C
【解析】
分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系,再利用向量法求异面直线EF与BD所成角的余弦值.
【详解】
由题可知，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设.则.
故异面直线EF与BD所成角的余弦值为.
故选：C
本题主要考查空间向量和异面直线所成的角的向量求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2．D
【解析】
讨论，，三种情况，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案.
【详解】
当时，，故，函数在上单调递增，在上单调递减，且；
当时，；
当时，，，函数单调递减；
如图所示画出函数图像，则，故.
故选：.
本题考查了利用导数求函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.
3．C
【解析】
利用复数代数形式的乘法运算化简得答案.
【详解】
由，得，解得.
故选:C.
本题考查复数代数形式的乘法运算,是基础题.
4．C
【解析】
框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n.
【详解】
第一次循环：；第二次循环：；
第三次循环：；第四次循环：；
此时满足输出结果，故.
故选：C.
本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题.
5．A
【解析】
由点到直线距离公式建立的等式，变形后可求得离心率．
【详解】
由题意，一条渐近线方程为，即，∴，
，即，，．
故选：A．
本题考查求双曲线的离心率，掌握渐近线方程与点到直线距离公式是解题基础．
6．B
【解析】
根据复数的几何意义可知复数对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，再根据复数的几何意义即可确定，即可得的最大值.
【详解】
由知，复数对应的点在以原点为圆心，1为半径的圆上，
表示复数对应的点与点间的距离，
又复数对应的点所在圆的圆心到的距离为1，
所以.
故选：B
本题考查了复数模的定义及其几何意义应用，属于基础题.
7．A
【解析】
利用等差的求和公式和等差数列的性质即可求得.
【详解】
.
故选:.
本题考查等差数列的求和公式和等差数列的性质,考查基本量的计算,难度容易.
8．D
【解析】
由指数函数的图像与性质易得最小，利用作差法，结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较和的大小关系，进而得解.
【详解】
根据指数函数的图像与性质可知，
由对数函数的图像与性质可知，，所以最小；
而由对数换底公式化简可得
由基本不等式可知，代入上式可得
所以，
综上可知，
故选：D.
本题考查了指数式与对数式的化简变形，对数换底公式及基本不等式的简单应用，作差法比较大小，属于中档题.
9．C
【解析】
，令解得
当，的图像如下图
当，的图像如下图
由上两图可知，是充要条件
【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法.
10．D
【解析】
求出复数在复平面内对应的点的坐标，即可得出结论.
【详解】
复数在复平面上对应的点的坐标为，该点位于第四象限.
故选：D.
本题考查复数对应的点的位置的判断，属于基础题.
11．B
【解析】
依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，则，由此利用等差数列性质求出结果．
【详解】
设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为，设首项，则，公差，.
故选B
本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
12．D
【解析】
由题意结合函数的图象，求出周期，根据周期公式求出，求出，根据函数的图象过点，求出，即可求得答案
【详解】
由函数图象可知：
，
函数的图象过点
，
，则
故选
本题主要考查的是的图像的运用，在解答此类题目时一定要挖掘图像中的条件，计算三角函数的周期、最值，代入已知点坐标求出结果
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．
【解析】
画图分析可得函数是偶函数，且在上单调递减，利用偶函数性质和单调性可解.
【详解】
作出函数的图如下所示，
观察可知，函数为偶函数，且在上单调递增，
在上单调递减，故
，
故实数的取值范围为.
故答案为：
本题考查利用函数奇偶性及单调性解不等式. 函数奇偶性的常用结论：
(1)如果函数是偶函数，那么．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
14．
【解析】
根据向量的数量积的计算，以及向量的平方，简单计算，可得结果.
【详解】
由题可知：
且
由
所以
故答案为：
本题考查向量的坐标计算，主要考查计算，属基础题.
15．
【解析】
依题意，将点的坐标代入曲线的方程中，解得.由，得，则曲线在点处切线的斜率，所以在点处的切线方程是，即．
16．
【解析】
两函数图象上存在关于轴对称的点的等价命题是方程在区间上有解，化简方程在区间上有解，构造函数，求导，求出单调区间，利用函数性质得解.
【详解】
解：根据题意，若函数与的图象上存在关于轴对称的点，
则方程在区间上有解，
即方程在区间上有解，
设函数，其导数，
又由，可得：当时， 为减函数，
当时， 为增函数，
故函数有最小值，
又由；比较可得： ，
故函数有最大值，
故函数在区间上的值域为；
若方程在区间上有解，
必有，则有，
即的取值范围是；
故答案为：；
本题利用导数研究函数在某区间上最值求参数的问题, 函数零点问题的拓展. 由于函数的零点就是方程的根，在研究方程的有关问题时，可以将方程问题转化为函数问题解决. 此类问题的切入点是借助函数的零点，结合函数的图象，采用数形结合思想加以解决.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）l： ，C方程为 ；（2）＝
【解析】
（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
【详解】
(1)曲线C的参数方程为（m为参数），
两式相加得到，进一步转换为．
直线l的极坐标方程为ρcs（θ+）＝1，则
转换为直角坐标方程为．
（2）将直线的方程转换为参数方程为（t为参数），
代入得到（t1和t2为P、Q对应的参数），
所以，，
所以＝．
本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
18．（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）求导，代入，求出在处的导数值及函数值，由此即可求得切线方程；
（2）分类讨论得出极大值即可判断.
【详解】
（1），
当时，，，
则在的切线方程为；
（2）证明：令，解得或，
①当时，恒成立，此时函数在上单调递减，
∴函数无极值；
②当时，令，解得，令，解得或，
∴函数在上单调递增，在，上单调递减，
∴；
③当时，令，解得，令，解得或，
∴函数在上单调递增，在，上单调递减，
∴，
综上，函数的极大值恒大于0.
本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.
19．（1）B（2）
【解析】
（1）由已知结合余弦定理，正弦定理及和两角和的正弦公式进行化简可求csB，进而可求B；
（2）由已知结合正弦定理，余弦定理及基本不等式即可求解ac的范围，然后结合三角形的面积公式即可求解.
【详解】
（1）因为b（a2+c2﹣b2）＝ca2csC+ac2csA，
∴，即2bcsB＝acsC+ccsA
由正弦定理可得，2sinBcsB＝sinAcsC+sinCcsA＝sin（A+C）＝sinB，
因为，所以，
所以B；
（2）由正弦定理可得，b＝2RsinB2，
由余弦定理可得，b2＝a2+c2﹣2accsB，
即a2+c2﹣ac＝4，因为a2+c2≥2ac，
所以4＝a2+c2﹣ac≥ac，当且仅当a＝c时取等号，即ac的最大值4，
所以△ABC面积S即面积的最大值.
本题综合考查了正弦定理，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题.
20．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）要证明线面平行，需先证明线线平行，所以连接，交于点M，连接ME，证明；
（Ⅱ）由题意可知点到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离，根据体积公式剩余部分的体积是.
【详解】
（Ⅰ）如图，连接，交于点M，连接ME，则．
因为平面，平面，所以平面．
（Ⅱ）因为平面ABC，所以点到平面ABC的距离等于点到平面ABC的距离．
如图，设O是AC的中点，连接，OB．因为为正三角形，所以，
又平面平面，平面平面，所以平面ABC．
所以点到平面ABC的距离，故三棱锥的体积为
．
而斜三棱柱的体积为．
所以剩余部分的体积为．
本题考查证明线面平行，计算体积，意在考查推理证明，空间想象能力，计算能力，属于中档题型，一般证明线面平行的方法1.证明线线平行，则线面平行，2.证明面面平行，则线面平行，关键是证明线线平行，一般构造平行四边形，则对边平行，或是构造三角形中位线.
21．（1）（2）证明见解析
【解析】
（1）求导得到，解得答案.
（2）变形得到，令函数，求导得到函数单调区间得到，，得到证明.
【详解】
（1），，解得.
（2）得，变形得，
令函数，，令解得，
当时，时.
函数在上单调递增，在上单调递减，，
而函数在区间上单调递增，，
，即，
即，恒成立.
本题考查了根据切线求参数，证明不等式，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.
22．（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析（3）证明见解析
【解析】
（1）求出的定义域，导函数，对参数、分类讨论得到答案.
（2）设函数，求导说明函数的单调性，求出函数的最大值，即可得证.
（3）由（1）可知，可得，即又即可得证.
【详解】
（1）解：的定义域为，，
当，时，，则在上单调递增；
当，时，令，得，令，得，则在上单调递减，在上单调递增；
当，时，，则在上单调递减；
当，时，令，得，令，得，则在上单调递增，在上单调递减；
（2）证明：设函数，则.
因为，所以，，
则，从而在上单调递减，
所以，即.
（3）证明：当时，.
由（1）知，，所以，
即.
当时，，，
则，
即，
又，
所以，
即.
本题考查利用导数研究含参函数的单调性，利用导数证明不等式，属于难题.