安徽省宣城市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷含答案（word版）

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1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑. 如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3. 考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回.
一、单选题:本大题共 8 小题, 每小题 5 分, 共计 40 分. 每小题给出的四个选项中, 只有一个选项是 正确的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 直线 2x+3y+1=0 的一个方向向量是
A. 2,3 B. 3,2 C. −2,3 D. −3,2
2. 记 Sn 为等差数列 an 的前 n 项和. 若 a4+a5+a6=9 ,则 S9=
A. 9 B. 18 C. 27 D. 36
3. 圆 C1:x−32+y2=9 与圆 C2:x2+y2+8y=0 的公切线条数为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 如图,在三棱柱 ABC−A1B1C1 中， E 是 BC 的中点， AG=2GE ，则 GC1=
第 4 题图
A. 13AB−23AC+AA1B. 13AB+23AC+AA1
C. −13AB+23AC−AA1D. −13AB+23AC+AA1
5. 已知在一个二面角的棱上有两个点 A,B ,线段 AC,BD 分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱 AB ,若 AB=3,AC=BD=2,CD=13 ，则这个二面角的大小为
A. π6 B. π3 C. 2π3 D. 5π6
6. 函数 fx=x2−lnx 的图象大致是
A. B. C. D.
7. 已知 A,B 是抛物线 y2=2pxp>0 上不同两点,点 F 是抛物线的焦点,且 △OAB ( O 为坐标原点) 的重心恰为 F ,若 AF=5 ,则 AB=
A. 8 B. 42 C. 43 D. 46
8. 记 R 上的可导函数 fx 的导函数为 f′x ,满足 xn+1=xn−fxnf′xnn∈N∗ 的数列 xn 称为函数 fx 的 “牛顿数列”. 若 fx=2x ,数列 xn 为牛顿数列,且 x1=1,xn≠0 ,数列 xn 的前 n 项和为 Sn ,则满足 90,b>0 的一条渐近线的斜率为 3 ，左右顶点分别为 A1,A2 ,右焦点为 F ,且 M,N 是双曲线 C 位于第一象限的两点, A2M//NF ,若 NF=4a , 则 tan∠A1MA2= _____.
四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (本小题 13 分) 已知圆 x2+y2=9 内有一点 P−1,2,AB 为过点 P 的弦.
(1)当 AB=42 时，求直线 AB 的方程；
(2)求弦 AB 中点 M 的轨迹方程.
16. (本小题 15 分) 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,a1=2,an+1=2Sn+2n∈N∗ .
(1)求 an 的通项公式；
(2)记 bn=12an+1 ，数列 anbnbn+1 的前 n 项和为 Sn ，若 Sn≥λ 恒成立，求实数 λ 的取值范围.
17. (本小题 15 分) 如图，点 C 在以 AB 为直径的半圆的圆周上， ∠ABC=60∘ ，且 BP⊥ 平面 ABC ， AB=2BP=4,CD=λCP0≤λ≤1 .
(1)求证:平面 PAC⊥ 平面 PBC ；
(2)当直线 AC 与平面 ABD 夹角的正弦值为 14 时，求 λ 的值.

第 17 题图
18. (本小题 17 分) 已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1a>b>0 过点 D1,32 ,离心率为 12 .
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2)若直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点.
(i) 当线段 AB 的中点坐标为 E1,−1 时,求直线 l 的方程;
(ii) 当直线 l 斜率为 1,且不过原点 O ,直线 l 与 y 轴交于点 P,T 是 A 关于 x 轴的对称点. 记直线 BT 与 x 轴交于点 Q ,求 △OPQ 周长的最小值.

第 18 题图
19. (本小题 17 分) 已知函数 fx=lnx−ax,gx=ax2+a−1x−1a∈R .
(1)讨论 fx 的单调性;
(2)若 fx 有两个零点，求 a 的取值范围；
(3)若 a∈Z ，且不等式 fx≤gx 在 0,+∞ 上恒成立，求 a 的最小值.