安徽省宣城市2026届高三上学期期末调研测试数学试卷含答案（word版+pdf版）

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1. 本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟。
2. 答题前，考生先将自己的姓名、考号在答题卷指定位置填写清楚并将条形码粘贴在指定区域。
3. 考生作答时，请将答案答在答题卷上。选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4. 考试结束时，务必将答题卡交回。
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。
1. 已知复数 z 满足 1−2iz=1+i ,则 z=
A. 105 B. 25 C. 255 D. 55
2. 已知集合 A=0,tanπ3,sin3,cs4,B={x∣00,b>0,A4,0 ,若圆 M:x+42+y−32=4 上存在点 P ,使得 PA 的中点在双曲线 C 的渐近线上,则双曲线 C 离心率的取值范围为
A. (1,3] B. [3,+∞) C. 1,32 D. 32,+∞
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项中, 有多项是符合题目要求的。全部选对得 6 分, 选对但不全的得部分分, 有选错的得 0 分。
9. 某校进行数学竞赛, 将 120 名参赛学生的成绩整理如下:
根据表中数据,下列结论正确的是
A. 这 120 名学生成绩的极差一定为 60 分
B. 这 120 名学生成绩的平均数大于 65 分
C. 这 120 名学生成绩的中位数不小于 70 分
D. 这 120 名学生成绩大于 70 分的人数所占比例不超过 50%
第 10 题图
10. 已知正四棱台 ABCD−A1B1C1D1 中， AB=4,A1B1=2,AA1=22 ， 则下述正确的是
A. 该四棱台的高为 6
B. AA1⊥CC1
C. 该四棱台的表面积为 20+127
D. 该四棱台外接球的表面积为 32π
11. 已知 A−3,0,B3,0 ,动点 Px,y 满足直线 PA 与 PB 的斜率乘积为 −13 ,设点 P 的运动轨迹为曲线 C ,过点 P 的直线 l 与曲线 C 的另一个交点为 Q ,则
A. 点 P 的轨迹方程为 x23+y2=1 B. △PAB 面积的最大值为 3
C. 不存在点 P ，使得 ∠APB=π2 D. 若直线 l 过原点,则 PQ 的最小值为 2
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12. 现将 A,B,C,D,4 位民警派往甲，乙，丙，丁 4 个学校进行“反校园欺凌” 普法宣讲，每人只到 1 个学校，每个学校只去 1 人. 已知 A 民警不能去甲学校， B ，C 两位民警不能去乙学校，则不同的分派方法共有_____种(用数字作答).
13. 已知正项数列 an 满足 lg2an+1=lg2an+1n∈N∗ ,且 a1+a3+a5=2 ,则 lg12a5+a7 +a9 )的值是_____.
14. 已知函数 fx=ln3+x+ln1−ax 是偶函数，则函数 fx 的取值范围是_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. (13 分) 在 △ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ，已知 2bcsC=2a−3c .
(1)求角 B 的大小；
(2)若 a=4,AC 边上的中线 BM 长为 13,∠BAC 的角平分线 AD 交 BC 于点 D ，求线段 AD 的长.
16. (15 分)某社区举办“公益知识闯关赛”，共有 100 名居民报名参赛，每位参赛者需完成“第一轮基础知识作答”和“第二轮拓展知识比拼”两项任务. 已知每位参赛者第一轮基础知识作答成功的概率为 12 ,且不同参赛者第一轮成功与否相互独立; 若某位参赛者第一轮基础知识作答成功时,他第二轮拓展知识比拼成功的概率为 34 ; 若他第一轮基础知识作答失败时,第二轮拓展知识比拼成功的概率为 14 ,若两项任务均成功,则视为最终闯关成功.
(1)若随机抽取一名参赛居民，求其第二轮拓展知识比拼成功的概率；
(2)记 X 为参赛居民中闯关成功的人数，求 X 的数学期望与方差.
17. (15 分) 如图，在三棱锥 P−ABC 中， PA⊥ 平面 ABC,AB⊥BC,D 为 PB 的中点， E 为 AD 上靠近 D 点的三等分点, PA=AB=3,BC=2 .
(1)求证: AD⊥ 平面 PBC ；
(2)求 PE 与平面 ACD 所成角的正弦值；
(3)在线段 PC 上是否存在点 F ，使得 EF// 平面 ABC ，若存在，请说明点 F 的位置，若不存在, 请说明理由.
第 17 题图
18. (17 分) 已知函数 fx=eax−3x+2a∈R .
(1)当 a=1 时，求函数 fx 的极值；
(2)求函数 fx 的单调区间；
(3)若对任意的实数 k ， b ，曲线 y=fx+kx+b 与直线 y=kx+b 总相切，则称函数 fx 是 “A 函数”. 若当 a=1 时，函数 gx=exfx+x−2+m 是 “ A 函数”，求实数 m 的值.
19. (17 分) 已知定点 P1,1 ,过点 P 作直线 PQ⊥x 轴于点 Q,M 是直线 OP(O 为坐标原点) 上任意一点,过 M 作 MN⊥x 轴于点 N ,作 ME⊥PQ 于点 E ,直线 OE 与 MN 相交于点 W ,设点 W 的轨迹为曲线 Γ .
(1)求曲线 Γ 的方程；
(2)过点 H0,1 的直线 m 交曲线 Γ 于 A,B 两点，过点 H 且与直线 m 垂直的直线 n 交曲线 Γ 于 C ， D 两点(其中点 A ， D 在 y 轴右侧)，证明:直线 AD 与直线 BC 的交点在定直线上.
宣城市 2025-2026 学年度第一学期期末调研测试 高三数学参考答案
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
二、选择题:本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的。全部选对得 6 分, 选对但不全的得部分分, 有选错的得 0 分。
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分。
12.10 13. -5 14. (−∞,ln3]
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 解析:(1)根据题意 2bcsC=2a−3c ，
由正弦定理得2sinBcsC=2sinA−3sinC=2sinBcsC+2sinCcsB−3sinC
化简得 2sinCcsB=3sinC ,
因为 sinC>0 ,所以 csB=32 ,
又 B∈0,π 所以 B=π6.5 分
(2)根据题意，在 △ABC 中， AC 边上的中线 BM 长为 13 ，得 2BM=BC+BA ，
两边平方得 4BM2=BC2+BA2+2BC⋅BAcsB=a2+c2+2ac×32=52
化简 52=42+c2+2×4×c×32=c2+43c+16 ,故有 c2+43c−36=0 ,
解得c=−63 (舍去) 或 c=23 .
在 △ABC 中, b2=a2+c2−2accsB=4
又由a2=42=22+232=b2+c2 ,故 △ABC 为直角三角形. 9 分
在 △ADC 中, ∠CAD=π4,∠C=π3 ,所以 ∠CDA=π−π4−π3=5π12 ,
又sin∠CDA=sin5π12=sinπ4+π6=sinπ4csπ6+sinπ6csπ4=6+24 ，
所以根据正弦定理得bsin∠CDA=ADsinC=26+24=AD32 ，解得 AD=32−6 . 13 分
16. 解析: (1) 设事件 A 为 “第一轮基础知识作答成功”,事件 B 为 “第二轮拓展知识比拼成功”,
由题意可知, PA=12 ,则 PA=1−12=12,PB∣A=34,PB∣A=14 .
根据全概率公式,第二轮拓展知识比拼成功的概率为:
PB=PAPB∣A+PAPB∣A=12×34+12×14=12 .7 分
(2)闯关成功需要两项任务均成功，即事件 A∩B ，其概率为:
PA∩B=PAPB∣A=12×34=38 .
因不同参赛者的第一轮结果相互独立, 且第二轮成功概率仅依赖于自身第一轮结果, 故各参赛者的闯关成功事件相互独立. 记 X 为 100 名居民中闯关成功的人数,则 X∼B100,38 .
所以数学期望 EX=np=100×38=752 ;
方差: DX=np1−p=100×38×1−38=37516 15 分
17. 解析: (1) 证明:因为 PA⊥ 平面 ABC,BC⊂ 平面 ABC ,所以 PA⊥BC ,又 AB⊥BC,PA∩AB= A ,所以 BC⊥ 平面 PAB . 因为 AD⊂ 平面 PAB ,所以 AD⊥BC .
因为 D 为 PB 的中点, PA=AB ,所以 AD⊥PB . 又 PB∩BC=B , 所以 AD⊥ 平面 PBC . 4 分
(2)由题意，以点 A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则 A0,0,0,B(0,3,0),C−2,3,0,P0,0,3 ,
D0,32,32 ,所以 AD=0,32,32,AC=−2,3,0,AE=23AD=0,1,1

故 E0,1,1,PE=0,1,−2 .
设平面 ACD 的法向量为 n=x,y,z ,
则 n⋅AC=−2x+3y=0n⋅AD=32y+32z=0 ,
取 n=3,2,−2 . 设 PE 与平面 ACD 所成角为 θ ,
则 sinθ=cs⟨PE,n⟩=PE⋅nPE⋅n =65×17=68585 .
所以 PM 与平面 ACD 所成角的正弦值为 68585 . 10 分
(3)假设在线段 PC 上存在点 F ，使得 EF// 平面 ABC . 设 PF=λPC ，
则 PC=−2,3,−3,PF=λ−2,3,−3=−2λ,3λ,−3λ .
由 (2) 知 PE=0,1,−2 ,所以 EF=PF−PE=−2λ,3λ−1,−3λ+2 ,
因为 EF// 平面 ABC ,平面 ABC 的法向量为 AP=0,0,3 ,故 EF⋅AP=−9λ+6 =0 ,解得 λ=23 .
所以当点 F 是线段 PC 上靠近 C 点的三等分点时, EF// 平面 ABC . 15 分
18. 解析: (1) 当 a=1 时,函数 fx=ex−3x+2,f′x=ex−3=0,x=ln3 .
当 x0 ， fx 单调递增， 故 fx 有极小值 fln3=eln3−3ln3+2=5−3ln3 ，无极大值. 4 分
(2) f′x=aeax−3 ,
①当 a≤0 时， f′x=aeax−30 时，令 f′x=aeax−3=0 ，得 aeax=3,x=ln3aa=ln3−lnaa ，
又 f′x=aeax−3 为增函数,所以当 x0,fx 在 ln3−lnaa,+∞ 上单调递增;
综上,当 a≤0 时, fx 的单调递减区间为 −∞,+∞ ,无单调递增区间;
当 a>0 时, fx 的单调递减区间为 −∞,ln3−lnaa ,单调递增区间为 ln3−lnaa,+∞ . 10 分
(3)当 a=1 时，函数 gx=exfx+x−2+m=exex−2x+m 是 “ A 函数”,
g′x=2exex−x−1 ,设曲线 y=gx+kx+b 与直线 y=kx+b 的切点为 x0,y0 ,
则 y0=gx0+kx0+b=kx0+bg′x0+k=k ,故 gx0=0g′x0=0 ,即 ex0ex0−2x0+m=02ex0ex0−x0−1=0 ,
所以 ex0=x0+1 且 m=−ex0ex0−2x0 ,
设 hx=ex−x−1,h′x=ex−1=0 ,解得 x=0 ,又 h′x=ex−1 是增函数,
故当 x∈0,+∞ 时, h′x>0,hx 单调递增,当 x∈−∞,0 时, h′x