上海市2026年高考仿真模拟数学试卷（含答案解析）

这是一份上海市2026年高考仿真模拟数学试卷（含答案解析），共26页。试卷主要包含了集合,则集合的真子集的个数是，已知集合A，则集合，设，，，则的大小关系是，党的十九大报告明确提出等内容，欢迎下载使用。
1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．为计算， 设计了如图所示的程序框图，则空白框中应填入（ ）
A．B．C．D．
2．在复平面内，复数（，）对应向量（O为坐标原点），设，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：，已知，则（ ）
A．B．4C．D．16
3．已知，，，若，则正数可以为（ ）
A．4B．23C．8D．17
4．集合,则集合的真子集的个数是
A．1个B．3个C．4个D．7个
5．设抛物线的焦点为F,抛物线C与圆交于M,N两点,若,则的面积为( )
A．B．C．D．
6．小王因上班繁忙，来不及做午饭，所以叫了外卖.假设小王和外卖小哥都在12：00~12：10之间随机到达小王所居住的楼下，则小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．已知，其中是虚数单位，则对应的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．已知集合A，则集合（ ）
A．B．C．D．
9．设，，，则的大小关系是( )
A．B．C．D．
10．党的十九大报告明确提出：在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享，进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响，在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验，根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图，最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是（ ）
A．B．
C．D．
11．是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
12．已知函数在上有两个零点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知实数，满足约束条件则的最大值为________．
14．命题“”的否定是______．
15．某高校开展安全教育活动，安排6名老师到4个班进行讲解，要求1班和2班各安排一名老师，其余两个班各安排两名老师，其中刘老师和王老师不在一起，则不同的安排方案有________种.
16．在四面体中，与都是边长为2的等边三角形，且平面平面，则该四面体外接球的体积为_______．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（12分）已知函数
（1）求单调区间和极值；
（2）若存在实数，使得，求证：
18．（12分）选修4-5：不等式选讲
设函数．
（1） 证明:；
（2）若不等式的解集非空，求的取值范围．
19．（12分）在直角坐标系中，已知直线的直角坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），以直角坐标系原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线和直线的极坐标方程；
（2）已知直线与曲线、相交于异于极点的点，若的极径分别为，求的值.
20．（12分）已知函数．
(Ⅰ)当时，讨论函数的单调区间；
(Ⅱ)若对任意的和恒成立，求实数的取值范围．
21．（12分）金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生．新生接待其实也是和社会沟通的一个平台．校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下：
（1）根据上表说明，能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；
（2）现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中，采用按性别分层抽样的方法，选取10人．若从这10人中随机选取3人到火车站迎接新生，设选取的3人中女生人数为，写出的分布列，并求．
附：，其中．
22．（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），为上的动点，点满足，点的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．A
【解析】
根据程序框图输出的S的值即可得到空白框中应填入的内容．
【详解】
由程序框图的运行，可得：S＝0，i＝0
满足判断框内的条件，执行循环体，a＝1，S＝1，i＝1
满足判断框内的条件，执行循环体，a＝2×（﹣2），S＝1+2×（﹣2），i＝2
满足判断框内的条件，执行循环体，a＝3×（﹣2）2，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2，i＝3
…
观察规律可知：满足判断框内的条件，执行循环体，a＝99×（﹣2）99，S＝1+2×（﹣2）+3×（﹣2）2+…+1×（﹣2）99，i＝1，此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出S的值，所以判断框中的条件应是i＜1．
故选：A．
本题考查了当型循环结构，当型循环是先判断后执行，满足条件执行循环，不满足条件时算法结束，属于基础题．
2．D
【解析】
根据复数乘方公式：，直接求解即可.
【详解】
，
.
故选：D
本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形式，属于基础题.
3．C
【解析】
首先根据对数函数的性质求出的取值范围，再代入验证即可；
【详解】
解：∵，∴当时，满足，∴实数可以为8.
故选：C
本题考查对数函数的性质的应用，属于基础题.
4．B
【解析】
由题意，结合集合，求得集合，得到集合中元素的个数，即可求解，得到答案．
【详解】
由题意，集合，
则，
所以集合的真子集的个数为个，故选B．
本题主要考查了集合的运算和集合中真子集的个数个数的求解，其中作出集合的运算，得到集合，再由真子集个数的公式作出计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
5．B
【解析】
由圆过原点，知中有一点与原点重合，作出图形，由，，得，从而直线倾斜角为，写出点坐标，代入抛物线方程求出参数，可得点坐标，从而得三角形面积．
【详解】
由题意圆过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为，如图，
由于，，∴，∴，，
∴点坐标为，代入抛物线方程得，，
∴，．
故选：B.
本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点是其中一个交点，从而是等腰直角三角形，于是可得点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解．
6．C
【解析】
设出两人到达小王的时间，根据题意列出不等式组，利用几何概型计算公式进行求解即可.
【详解】
设小王和外卖小哥到达小王所居住的楼下的时间分别为，以12：00点为开始算起，则有，在平面直角坐标系内，如图所示：图中阴影部分表示该不等式组的所表示的平面区域，
所以小王在楼下等候外卖小哥的时间不超过5分钟的概率为：
.
故选：C
本题考查了几何概型中的面积型公式，考查了不等式组表示的平面区域，考查了数学运算能力.
7．C
【解析】
利用复数相等的条件求得，，则答案可求．
【详解】
由，得，．
对应的点的坐标为，，．
故选：．
本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数相等的条件，是基础题．
8．A
【解析】
化简集合,，按交集定义，即可求解.
【详解】
集合，
，则.
故选:A.
本题考查集合间的运算，属于基础题.
9．A
【解析】
选取中间值和，利用对数函数，和指数函数的单调性即可求解.
【详解】
因为对数函数在上单调递增,
所以,
因为对数函数在上单调递减,
所以，
因为指数函数在上单调递增,
所以,
综上可知,.
故选:A
本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小;考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力;选取合适的中间值是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
10．D
【解析】
根据四个列联表中的等高条形图可知，
图中D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大，
它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果，故选D．
11．B
【解析】
分别判断充分性和必要性得到答案.
【详解】
所以 （逆否命题）必要性成立
当，不充分
故是必要不充分条件，答案选B
本题考查了充分必要条件，属于简单题.
12．C
【解析】
对函数求导，对a分类讨论，分别求得函数的单调性及极值，结合端点处的函数值进行判断求解.
【详解】
∵ ，.
当时，，在上单调递增，不合题意.
当时，，在上单调递减，也不合题意.
当时，则时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，又，所以在上有两个零点，只需即可，解得.
综上，的取值范围是.
故选C.
本题考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了函数的单调性及极值问题，属于中档题．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．1
【解析】
作出约束条件表示的可行域，转化目标函数为，当目标函数经过点时，直线的截距最大，取得最大值，即得解.
【详解】
作出约束条件表示的可行域
是以为顶点的三角形及其内部，
转化目标函数为
当目标函数经过点时，直线的截距最大
此时取得最大值1．
故答案为：1
本题考查了线性规划问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于基础题.
14．，
【解析】
根据特称命题的否定为全称命题得到结果即可.
【详解】
解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题，
则该命题的否定是：，
故答案为：，．
本题考查全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题．
15．156
【解析】
先考虑每班安排的老师人数，然后计算出对应的方案数，再考虑刘老师和王老师在同一班级的方案数，两者作差即可得到不同安排的方案数.
【详解】
安排6名老师到4个班则每班老师人数为1，1，2，2，共有种，
刘老师和王老师分配到一个班，共有种，
所以种.
故答案为：.
本题考查排列组合的综合应用，难度一般.对于分组的问题，首先确定每组的数量，对于其中特殊元素，可通过 “正难则反”的思想进行分析.
16．
【解析】
先确定球心的位置，结合勾股定理可求球的半径，进而可得球的面积.
【详解】
取的外心为，设为球心，连接，则平面，取的中点，连接，，过做于点，易知四边形为矩形，连接，，设，.连接，则，，三点共线，易知，所以，.在和中，，，即，，所以，，得.所以.
本题主要考查几何体的外接球问题，外接球的半径的求解一般有两个思路：一是确定球心位置，利用勾股定理求解半径；二是利用熟悉的模型求解半径,比如长方体外接球半径是其对角线的一半.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（1）时，函数单调递增，，函数单调递减，；（2）见解析
【解析】
（1）求出函数的定义域与导函数，利用导数求函数的单调区间，即可得到函数的极值；
（2）易得且，要证明，即证，即证，即对恒成立，构造函数
，，利用导数研究函数的单调性与最值，即可得证；
【详解】
解：（1）因为定义域为，
所以，
时，，即在和上单调递增，当时，，即函数在单调递减，
所以在处取得极小值，在处取得极大值；
，；
（2）易得，
要证明，即证，即证
即证对恒成立，
令，，
则
令，解得，即在上单调递增；
令，解得，即在上单调递减；
则在取得极小值，也就是最小值，
从而结论得证.
本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，利用导数证明不等式，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．
18． (1)见解析.
(1) .
【解析】
试题分析：（1）直接计算，由绝对值不等式的性质及基本不等式证之即可；
（1），分区间讨论去绝对值符号分别解不等式即可.
试题解析： （1）证明：函数f（x）=|x﹣a|，a＜2，
则f（x）+f（﹣）=|x﹣a|+|﹣﹣a|=|x﹣a|+|+a|≥|（x﹣a）+（+a）|
=|x+|=|x|+≥1=1．
（1）f（x）+f（1x）=|x﹣a|+|1x﹣a|，a＜2．
当x≤a时，f（x）=a﹣x+a﹣1x=1a﹣3x，则f（x）≥﹣a；
当a＜x＜时，f（x）=x﹣a+a﹣1x=﹣x，则﹣＜f（x）＜﹣a；
当x时，f（x）=x﹣a+1x﹣a=3x﹣1a，则f（x）≥﹣．则f（x）的值域为[﹣，+∞）.
不等式f（x）+f（1x）＜的解集非空，即为＞﹣，解得，a＞﹣1，由于a＜2，
则a的取值范围是．
考点：1.含绝对值不等式的证明与解法.1.基本不等式.
19．（1），.（2）
【解析】
（1）先将曲线的参数方程化为直角坐标方程，即可代入公式化为极坐标；根据直线的直角坐标方程，求得倾斜角，即可得极坐标方程.
（2）将直线的极坐标方程代入曲线、可得，进而代入可得的值.
【详解】
（1）曲线的参数方程为（为参数），
消去得，
把，代入得，
从而得的极坐标方程为，
∵直线的直角坐标方程为，其倾斜角为，
∴直线的极坐标方程为.
（2）将代入曲线的极坐标方程分别得到
，
则.
本题考查了参数方程化为普通方程的方法，直角坐标方程化为极坐标方程的方法，极坐标的几何意义，属于中档题.
20． (Ⅰ)见解析(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)首先求得导函数，然后结合导函数的解析式分类讨论函数的单调性即可； (Ⅱ)将原问题进行等价转化为，，恒成立，然后构造新函数，结合函数的性质确定实数的取值范围即可．
【详解】
解：(Ⅰ)当时，，
当时，在上恒成立，函数在上单调递减；
当时，由得：；由得：．
∴当时，函数的单调递减区间是，无单调递增区间：
当时，函数的单调递减区间是，函数的单调递增区间是．
(Ⅱ)对任意的和，恒成立等价于：
，，恒成立．
即，，恒成立．
令：，，，
则得，
由此可得：在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴当时，，即
又∵，
∴实数的取值范围是：．
本题主要考查导函数研究函数的单调性和恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，等价转化的数学思想等知识，属于中等题．
21．（1）有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关；（2）详见解析.
【解析】
（1）计算得到，由此可得结论；
（2）根据分层抽样原则可得男生和女生人数，由超几何分布概率公式可求得的所有可能取值所对应的概率，由此得到分布列；根据数学期望计算公式计算可得期望.
【详解】
（1）∵的观测值，
有的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关．
（2）根据分层抽样方法得：男生有人，女生有人，
选取的人中，男生有人，女生有人．
则的可能取值有，
，，
，，
的分布列为：
．
本题考查独立性检验、分层抽样、超几何分布的分布列和数学期望的求解；关键是能够明确随机变量服从于超几何分布，进而利用超几何分布概率公式求得随机变量每个取值所对应的概率.
22．（Ⅰ）（为参数）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）设点，，则，代入化简得到答案.
（Ⅱ）分别计算，的极坐标方程为，，取代入计算得到答案.
【详解】
（Ⅰ）设点，，，故，
故的参数方程为：（为参数）.
（Ⅱ），故，极坐标方程为：；
，故，极坐标方程为：.
，故，，故.
本题考查了参数方程，极坐标方程，弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力.
愿意
不愿意
男生
60
20
女士
40
40
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828